Wärmeübertrager (LMTD): Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Wärmeübertrager (LMTD) mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: LMTD, erforderliche Fläche, vollständige Auslegung.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
LängeT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager kühlt das heiße Fluid von 115 auf 100 °C ab, während sich das kalte Fluid von 15 auf 100 °C erwärmt. Bestimme die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
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Was du übst

  1. LeichtLMTD
  2. Mittelerforderliche Fläche
  3. Schwervollständige Auslegung

Wichtige Formeln

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

Wärmeübertrager (LMTD) von Grund auf lernen

Davor: Energiebilanz

1Was ein Wärmeübertrager tut

Ein Wärmeübertrager überträgt Wärme durch eine Metallwand von einem heißen Fluid auf ein kaltes Fluid, zum Beispiel in einem Rohr mit heißem Öl innen und Kühlwasser außen.

Wie viel Wärme er übertragen kann, hängt von drei Dingen ab: wie gut die Wand Wärme durchlässt, wie viel Wand es gibt und wie groß der Temperaturunterschied zwischen den Fluiden ist.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: die Wärmeleistung in W.
  • U: der Wärmedurchgangskoeffizient in W/(m²·K). Ein größeres U bedeutet einen besseren Wärmeübertrager.
  • A: die Wärmeübertragungsfläche in m².
  • ΔTlm: die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz, der richtige „Mittelwert“ der Temperaturdifferenz.

Die Ströme können in dieselbe Richtung (Gleichstrom) oder in entgegengesetzte Richtungen (Gegenstrom) fließen.

hc⇉hc⇄

In der Abbildung ist der linke Wärmeübertrager im Gleichstrom und der rechte im Gegenstrom. Der Gegenstrom behält über seine Länge einen größeren Temperaturabstand und überträgt daher bei gleicher Fläche mehr Wärme.

2Warum ein logarithmisches Mittel

Die Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden ist nicht überall gleich. Entlang des Wärmeübertragers kühlt das heiße Fluid ab und das kalte erwärmt sich, sodass sich der Abstand von einem Ende zum anderen ändert.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Nenne die Differenzen an den beiden Enden ΔT1 und ΔT2. Der Abstand ändert sich nicht linear, der einfache Mittelwert ist also nicht richtig. Der richtige Mittelwert ist das logarithmische Mittel:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

Welche Temperaturen sich an jedem Ende gegenüberstehen, hängt von der Anordnung ab:

  • Gegenstrom: ΔT1 = Th,in − Tc,out und ΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • Gleichstrom: ΔT1 = Th,in − Tc,in und ΔT2 = Th,out − Tc,out.

Das logarithmische Mittel liegt immer etwas unter dem arithmetischen Mittel. Ist ΔT1 = ΔT2, ist ΔTlm einfach dieser Wert.

Selbsttest Gegenstrom: Das heiße Fluid geht von 100 auf 60 °C, das kalte von 20 auf 50 °C. Wie groß sind die Differenzen an den Enden?
  1. 40 K und 30 K
  2. 50 K und 10 K
  3. 50 K und 40 K
  4. 80 K und 10 K

Antwort: 50 K und 40 K. Im Gegenstrom steht der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber (100 − 50 = 50 K) und der heiße Austritt dem kalten Eintritt (60 − 20 = 40 K). 80 K und 10 K ist die Paarung im Gleichstrom.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Schreibe die vier Temperaturen auf und prüfe, ob es Gegenstrom oder Gleichstrom ist.
  2. Fehlt eine Austrittstemperatur, bestimme sie zuerst mit einer Energiebilanz: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. Bestimme die Differenzen an den Enden ΔT1 und ΔT2 mit der richtigen Paarung.
  4. Berechne ΔTlm mit dem natürlichen Logarithmus.
  5. Für die Fläche: A = Q/(U·ΔTlm). Setze Q in W ein (kW × 1000), wenn U in W/(m²·K) angegeben ist.
Selbsttest Die Differenzen an den Enden sind ΔT₁ = 40 K und ΔT₂ = 20 K. Wie groß ist ΔTlm?
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

Antwort: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. Das arithmetische Mittel, 30 K, ist nahe dran, aber zu hoch.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 100 kW. Das heiße Fluid kühlt von 120 auf 60 °C ab und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 50 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die Wärmeübertragungsfläche A.

1

Die Temperaturen skizzieren

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Gegenstrom, also steht der heiße Eintritt (120 °C) dem kalten Austritt (50 °C) gegenüber.

2

Differenzen an den Enden

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

Fläche

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

Antwort prüfen

ΔTlm = 53,61 K liegt zwischen 40 und 70 K und knapp unter ihrem Mittelwert von 55 K, wie es sein muss.

Im Gleichstrom wären die Enddifferenzen 100 K und 10 K, was ΔTlm = 39,09 K und A = 5,12 m² ergibt. Der Gegenstrom braucht weniger Fläche.

Antwort

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5Häufige Fehler

  • Die Temperaturen für Gleichstrom in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager paaren oder umgekehrt.
  • Das arithmetische Mittel statt des logarithmischen Mittels verwenden.
  • Die Temperaturänderung eines Stroms (zum Beispiel 120 − 60) als ΔT1 verwenden. ΔT ist immer heiß minus kalt am selben Ende.
  • Q in kW lassen, während U in W/(m²·K) angegeben ist. Die Fläche wird dann 1000-mal zu klein.
  • log₁₀ statt ln verwenden.
Selbsttest Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) und ΔTlm = 25 K. Welche Fläche wird benötigt?
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

Antwort: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Lässt man Q in kW, erhält man 0,004 m², 1000-mal zu klein. 0,25 m² entsteht, wenn man den Bruch auf den Kopf stellt.

6So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: bestimme ΔTlm für einen Gegenstrom-Wärmeübertrager aus den vier Temperaturen.
  • Mittel: bestimme die Fläche A für eine gegebene Leistung und U, im Gegenstrom oder Gleichstrom, wie im Beispiel.
  • Schwer: eine vollständige Auslegung. Die Austrittstemperatur des Wassers ist nicht gegeben: Bestimme Q aus dem heißen Strom, die Wasseraustrittstemperatur aus der Energiebilanz, dann ΔTlm und A.

Manche Aufgaben verwenden einen Kondensator: Die heiße Seite kondensiert bei einer konstanten Temperatur. Dann verwenden beide Enddifferenzen diese Temperatur, und Gegenstrom oder Gleichstrom ergeben dasselbe ΔTlm.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
LängeT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager kühlt das heiße Fluid von 100 auf 80 °C ab, während sich das kalte Fluid von 30 auf 85 °C erwärmt. Bestimme die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

Gesucht: ΔTlm (K)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme an jedem Ende des Wärmeübertragers die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Strömen.
  2. Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Antwort

ΔTlm = 29,07 K
Beispiel 2Mittel
LängeT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 60 kW. Das heiße Fluid kühlt von 165 auf 115 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 80 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

Gesucht: A (m²)

Tipps anzeigen
  1. Verwende Q̇ = U·A·ΔTlm und löse nach A auf.
  2. Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Antwort

A = 1,488 m²
Beispiel 3Schwer
LängeT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 3 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 10 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

Gesucht: Tc,out (°C)

Tipps anzeigen
  1. Die Austrittstemperatur ist unbekannt, daher lässt sich die LMTD nicht direkt berechnen. Kombiniere Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) mit Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. Daraus folgt ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Antwort

Tc,out = 72,63 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 261,8 kW.

Fragen und Antworten

Wärmeübertrager (LMTD): Worum geht es?

Ein Wärmeübertrager überträgt Wärme durch eine Metallwand von einem heißen Fluid auf ein kaltes Fluid, zum Beispiel in einem Rohr mit heißem Öl innen und Kühlwasser außen.

Wie viel Wärme er übertragen kann, hängt von drei Dingen ab: wie gut die Wand Wärme durchlässt, wie viel Wand es gibt und wie groß der Temperaturunterschied zwischen den Fluiden ist.

Wärmeübertrager (LMTD): Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeübertrager (LMTD): Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Die Temperaturdifferenz nimmt exponentiell ab: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
Wärmeübertrager (LMTD): Was wird geübt?
  • Leicht: LMTD
  • Mittel: erforderliche Fläche
  • Schwer: vollständige Auslegung

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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