Bilancio di massa: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Bilancio di massa con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: miscelazione di due correnti, miscelazione a un obiettivo, evaporatore.

Esercizio gratuitoFacile
MiscelatoreCorrente 1450 kg/h · 25% saleCorrente 2700 kg/h · 15% saleCorrente 3ṁ₃ = ? kg/h

Due soluzioni di sale vengono miscelate in regime stazionario. Trova la portata in uscita ṁ3.

ṁ1 = 450 kg/hx1 = 25 %ṁ2 = 700 kg/hx2 = 15 %
kg/h
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilemiscelazione di due correnti
  2. Mediamiscelazione a un obiettivo
  3. Difficileevaporatore

Formule chiave

Regime stazionario
entrata = uscita
Bilancio totale
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
Bilancio per componente
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
Evaporatore
F·xF = P·xP, W = F − P

Impara Bilancio di massa da zero

1Che cos’è un bilancio di massa

La massa non può comparire né sparire. Tutto ciò che entra in un’unità di processo (un miscelatore, un serbatoio, un evaporatore) deve uscire di nuovo, oppure restare dentro.

Molte unità lavorano in regime stazionario: le portate non cambiano nel tempo e nulla si accumula all’interno. Allora la regola è semplice:

entrante = uscente

Pensa a una vasca con il rubinetto aperto e il tappo tolto. Se il livello dell’acqua resta uguale, l’acqua che esce ogni minuto è uguale a quella che entra.

Le portate si scrivono come portate massiche ṁ, per esempio in kg/h. Leggi ṁ come “m punto”: il punto significa “per unità di tempo”.

Autoverifica Un miscelatore in regime stazionario riceve 300 kg/h e 200 kg/h. Quanto ne esce?
  1. 100 kg/h
  2. 250 kg/h
  3. 500 kg/h
  4. 600 kg/h

Risposta: 500 kg/h. In regime stazionario nulla si accumula, quindi uscita = ingresso = 300 + 200 = 500 kg/h. 250 kg/h è la media, che qui non ha significato.

2Bilanci totali e bilanci per componente

Una corrente è spesso una miscela, per esempio sale sciolto in acqua. La frazione massica x è la quota di un componente: 20% di sale significa 0,20 kg di sale in ogni kg di soluzione.

La massa di quel componente in una corrente è ṁ·x. Senza reazione chimica, anche ogni componente obbedisce a ingresso = uscita. Quindi puoi scrivere due bilanci:

ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ1·x1 + ṁ2·x2 = ṁ3·x3

Il primo è il bilancio totale, il secondo il bilancio per componente (qui per il sale). Due equazioni indipendenti possono determinare due incognite.

Esempio: 300 kg/h al 10% di sale si miscelano con 200 kg/h al 20% di sale. Sale in ingresso: 30 + 40 = 70 kg/h. Totale in uscita: 500 kg/h. Quindi x3 = 70/500 = 14%.

Autoverifica Miscela 300 kg/h di soluzione salina al 10% con 200 kg/h di soluzione salina al 20%. Qual è la frazione di sale della miscela?
  1. 14%
  2. 15%
  3. 30%
  4. 7%

Risposta: 14%. Sale in ingresso = 300·0,10 + 200·0,20 = 70 kg/h, e 70/500 = 14%. La semplice media delle frazioni, 15%, ignora che la corrente al 10% è più grande.

3L’evaporatore: un componente di legame

Un evaporatore fa bollire via l’acqua da una soluzione per renderla più concentrata. Il vapore W è acqua pura, quindi tutto il soluto esce con il prodotto P.

F1000 kg/h · 10%P40%W0%

Il soluto passa invariato, solo da F a P. Un componente di questo tipo è un componente di legame (tie component): il suo bilancio collega direttamente due portate.

F·xF = P·xP, W = F − P

Nella figura: P = 1000 · 0,10/0,40 = 250 kg/h, e W = 1000 − 250 = 750 kg/h di acqua evaporano.

Autoverifica Un evaporatore riceve 1000 kg/h di una soluzione di zucchero al 10% e produce un prodotto al 40%. Quanta acqua viene evaporata?
  1. 250 kg/h
  2. 300 kg/h
  3. 4000 kg/h
  4. 750 kg/h

Risposta: 750 kg/h. Bilancio dello zucchero: P = 1000·0,10/0,40 = 250 kg/h. Poi W = 1000 − 250 = 750 kg/h. 250 kg/h è il prodotto, non l’acqua rimossa.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Disegna un riquadro per l’unità con ogni corrente come una freccia. Scrivi accanto a ciascuna ogni portata e frazione nota.
  2. Segna le incognite. Contale: servono altrettanti bilanci indipendenti.
  3. Scrivi il bilancio totale: somma delle portate in ingresso = somma delle portate in uscita.
  4. Scrivi il bilancio per componente del soluto: somma di ṁ·x in ingresso = somma di ṁ·x in uscita. Usa le frazioni come decimali (20% = 0,20) oppure in percentuale su entrambi i lati.
  5. Risolvi. Se c’è un componente di legame, parti da quello.
  6. Controlla: rimetti i numeri in entrambi i bilanci.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

La corrente 1 è di 400 kg/h di una soluzione salina al 10%. Quanta corrente 2 (sale al 40%) va aggiunta ogni ora perché il prodotto miscelato contenga il 20% di sale? Trova ṁ2.

1

Disegna l’unità

ṁ₁ = 400 kg/h10%ṁ₂ = ?40%ṁ₃20%

Ci sono due incognite, ṁ2 e ṁ3, quindi servono due bilanci.

2

Bilancio totale

ṁ3 = 400 + ṁ2
3

Bilancio del sale

400 · 0,10 + ṁ2 · 0,40 = (400 + ṁ2) · 0,20
40 + 0,40·ṁ2 = 80 + 0,20·ṁ2
4

Risolvi

0,20·ṁ2 = 40 ⇒ ṁ2 = 200 kg/h

Allora ṁ3 = 400 + 200 = 600 kg/h.

5

Controlla il risultato

Sale in ingresso: 40 + 200 · 0,40 = 120 kg/h. Sale in uscita: 600 · 0,20 = 120 kg/h. Entrambi i bilanci tornano.

Il 20% richiesto sta tra il 10% e il 40%, come deve essere per una miscela.

Risposta

Aggiungi ṁ2 = 200 kg/h di soluzione al 40%.

6Errori comuni

  • Fare la media delle frazioni invece di pesarle con le portate.
  • Scrivere solo il bilancio totale e poi indovinare la seconda incognita.
  • Mescolare percentuali e decimali nella stessa equazione.
  • Nell’evaporatore, dare il prodotto P quando è richiesta l’acqua evaporata W, o viceversa.
  • Capovolgere il rapporto del componente di legame: P = F·xF/xP, quindi P è più piccolo di F.
Autoverifica Miscela 100 kg/h di una soluzione al 10% con 300 kg/h di una soluzione al 30%. Qual è la frazione in uscita?
  1. 20%
  2. 25%
  3. 33,3%
  4. 40%

Risposta: 25%. Soluto in uscita = 100·0,10 + 300·0,30 = 100 kg/h, e 100/400 = 25%. La semplice media di 10% e 30% è 20%, che ignora che la corrente al 30% è tre volte più grande.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: due correnti vengono miscelate. Trova la portata in uscita (bilancio totale) o la sua frazione (bilancio per componente).
  • Medio: miscelazione fino a una frazione obiettivo. Trova la portata della seconda corrente con entrambi i bilanci, come nell’esempio.
  • Difficile: un evaporatore. Usa il soluto come componente di legame per trovare P, poi W = F − P.

Una scorciatoia per la miscelazione: ṁ2 = ṁ1·(x1 − x3)/(x3 − x2). Nell’esempio: 400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
MiscelatoreCorrente 1300 kg/h · 30% saleCorrente 2250 kg/h · 40% saleCorrente 3x₃ = ? %

Due soluzioni di sale vengono miscelate in regime stazionario. Trova la frazione massica di sale in uscita x3.

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 30 %ṁ2 = 250 kg/hx2 = 40 %

Calcola x3 (%)

Mostra i suggerimenti
  1. In regime stazionario, ciò che entra esce: scrivi un bilancio totale e un bilancio per il componente disciolto.
  2. Totale: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃. Componente: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. ṁ3 = 550 kg/h.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Bilancio di massa stazionario: entrata = uscita, per la massa totale e separatamente per ogni componente (senza reazione).

Bilancio totale

ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 300 + 250 = 550 kg/h

Bilancio di Sale

ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
x3 = (300·30 + 250·40)/550 = 34,55 %

Risposta

x3 = 34,55 %
Esempio 2Media
MiscelatoreCorrente 1850 kg/h · 50% zuccheroCorrente 2ṁ₂ = ? · 15% zuccheroProdotto40% zucchero

Quanta corrente 2 bisogna aggiungere ogni ora alla corrente 1 perché il prodotto miscelato contenga il 40% di zucchero? Trova ṁ2.

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 40 %

Calcola ṁ2 (kg/h)

Mostra i suggerimenti
  1. Due incognite (ṁ₂ e ṁ₃) richiedono due bilanci: totale e di componente.
  2. Sostituisci ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ in ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. Riordinando: ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Bilancio di massa stazionario: entrata = uscita per il totale e per ogni componente. I problemi di miscelazione combinano entrambi.

Bilanci

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
zucchero: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

Risolvi per ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(50 − 40)/(40 − 15) = 340 kg/h

Risposta

ṁ2 = 340 kg/h
Esempio 3Difficile
EvaporatoreAlimentazione F2000 kg/h · 10% NaOHProdotto P65% NaOHVapore W (acqua pura)W = ? kg/h

Un evaporatore concentra una soluzione di NaOH facendo evaporare acqua pura. Trova l’acqua evaporata W in kg/h.

F = 2000 kg/hxF = 10 %xP = 65 %

Calcola W (kg/h)

Mostra i suggerimenti
  1. Il vapore non contiene soluto, quindi tutto il soluto dell’alimentazione esce con il prodotto.
  2. Bilancio del soluto: F·xF = P·xP. Poi bilancio totale: F = W + P.
  3. P = 307,7 kg/h.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Componente chiave: un componente che passa invariato in una sola corrente (qui il soluto) collega direttamente le portate. Poi il bilancio totale dà il resto.

Bilancio del soluto

F·xF = P·xP → P = 2000·10/65 = 307,7 kg/h

Bilancio totale

W = F − P = 2000 − 307,7 = 1692 kg/h

Risposta

W = 1692 kg/h

Domande e risposte

Bilancio di massa: di cosa si tratta?

La massa non può comparire né sparire. Tutto ciò che entra in un’unità di processo (un miscelatore, un serbatoio, un evaporatore) deve uscire di nuovo, oppure restare dentro.

Molte unità lavorano in regime stazionario: le portate non cambiano nel tempo e nulla si accumula all’interno. Allora la regola è semplice:

Bilancio di massa: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Bilancio di massa stazionario: entrata = uscita, per la massa totale e separatamente per ogni componente (senza reazione).

Bilancio di massa: che cosa si esercita?
  • Facile: miscelazione di due correnti
  • Media: miscelazione a un obiettivo
  • Difficile: evaporatore

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