Scambiatori di calore (LMTD): esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Scambiatori di calore (LMTD) con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: LMTD, area richiesta, progetto completo.

Esercizio gratuitoFacile
lunghezzaT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore controcorrente il fluido caldo si raffredda da 115 a 100 °C mentre il fluido freddo si riscalda da 15 a 100 °C. Trova la differenza di temperatura media logaritmica ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
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Su cosa ti eserciti

  1. FacileLMTD
  2. Mediaarea richiesta
  3. Difficileprogetto completo

Formule chiave

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

Impara Scambiatori di calore (LMTD) da zero

Prima di questo: Bilancio energetico

1Che cosa fa uno scambiatore di calore

Uno scambiatore di calore trasferisce calore da un fluido caldo a un fluido freddo attraverso una parete metallica, per esempio un tubo con olio caldo all’interno e acqua di raffreddamento all’esterno.

Quanto calore può trasferire dipende da tre cose: quanto bene la parete lascia passare il calore, quanta parete c’è e quanto è grande la differenza di temperatura tra i fluidi.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: la potenza termica scambiata in W.
  • U: il coefficiente globale di scambio termico in W/(m²·K). Un U più grande significa uno scambiatore migliore.
  • A: l’area di scambio termico in m².
  • ΔTlm: la differenza di temperatura media logaritmica, la “media” giusta della differenza di temperatura.

I flussi possono scorrere nello stesso verso (flusso in equicorrente) o in versi opposti (flusso in controcorrente).

hc⇉hc⇄

Nella figura, lo scambiatore a sinistra è in equicorrente e quello a destra è in controcorrente. La controcorrente mantiene un salto di temperatura più grande lungo tutta la lunghezza, quindi trasferisce più calore a parità di area.

2Perché una media logaritmica

La differenza di temperatura tra i fluidi non è uguale ovunque. Lungo lo scambiatore il fluido caldo si raffredda e quello freddo si riscalda, quindi il salto cambia da un’estremità all’altra.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Chiama ΔT1 e ΔT2 le differenze alle due estremità. Il salto non varia secondo una retta, quindi la semplice media non è corretta. La media giusta è la media logaritmica:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

Quali temperature si fronteggiano a ciascuna estremità dipende dalla disposizione:

  • Controcorrente: ΔT1 = Th,in − Tc,out e ΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • Equicorrente: ΔT1 = Th,in − Tc,in e ΔT2 = Th,out − Tc,out.

La media logaritmica è sempre un po’ sotto la media aritmetica. Se ΔT1 = ΔT2, ΔTlm è semplicemente quel valore.

Autoverifica Controcorrente: il fluido caldo va da 100 a 60 °C, il fluido freddo da 20 a 50 °C. Quali sono le differenze alle estremità?
  1. 40 K e 30 K
  2. 50 K e 10 K
  3. 50 K e 40 K
  4. 80 K e 10 K

Risposta: 50 K e 40 K. In controcorrente l’ingresso caldo fronteggia l’uscita fredda (100 − 50 = 50 K) e l’uscita calda fronteggia l’ingresso freddo (60 − 20 = 40 K). 80 K e 10 K è l’accoppiamento dell’equicorrente.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi le quattro temperature e controlla se il flusso è in controcorrente o in equicorrente.
  2. Se manca una temperatura di uscita, trovala prima con un bilancio energetico: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. Trova le differenze alle estremità ΔT1 e ΔT2 con l’accoppiamento corretto.
  4. Calcola ΔTlm con il logaritmo naturale.
  5. Per l’area: A = Q/(U·ΔTlm). Metti Q in W (kW × 1000) quando U è in W/(m²·K).
Autoverifica Le differenze alle estremità sono ΔT₁ = 40 K e ΔT₂ = 20 K. Quanto vale ΔTlm?
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

Risposta: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. La media aritmetica, 30 K, è vicina ma troppo alta.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Uno scambiatore di calore in controcorrente trasferisce 100 kW. Il fluido caldo si raffredda da 120 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 50 °C. Il coefficiente globale di scambio termico è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A.

1

Disegna le temperature

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Controcorrente, quindi l’ingresso caldo (120 °C) fronteggia l’uscita fredda (50 °C).

2

Differenze alle estremità

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

Area

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

Controlla il risultato

ΔTlm = 53,61 K sta tra 40 e 70 K e appena sotto la loro media di 55 K, come deve essere.

In equicorrente le estremità sarebbero 100 K e 10 K, con ΔTlm = 39,09 K e A = 5,12 m². La controcorrente richiede meno area.

Risposta

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5Errori comuni

  • Accoppiare le temperature come per l’equicorrente in uno scambiatore in controcorrente, o viceversa.
  • Usare la media aritmetica invece della media logaritmica.
  • Usare la variazione di temperatura di un solo flusso (per esempio 120 − 60) come ΔT1. ΔT è sempre caldo meno freddo alla stessa estremità.
  • Lasciare Q in kW mentre U è in W/(m²·K). L’area risulta 1000 volte troppo piccola.
  • Usare log₁₀ invece di ln.
Autoverifica Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) e ΔTlm = 25 K. Che area serve?
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

Risposta: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Lasciando Q in kW si ottengono 0,004 m², 1000 volte troppo piccoli. 0,25 m² deriva dal capovolgere la frazione.

6Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: trova ΔTlm per uno scambiatore in controcorrente dalle quattro temperature.
  • Medio: trova l’area A per una data potenza e U, in controcorrente o in equicorrente, come nell’esempio.
  • Difficile: un progetto completo. La temperatura di uscita dell’acqua non è data: trova Q dal flusso caldo, la temperatura di uscita dell’acqua dal bilancio energetico, poi ΔTlm e A.

Alcune domande usano un condensatore: il lato caldo condensa a un’unica temperatura costante. Allora entrambe le differenze alle estremità usano quella temperatura, e controcorrente o equicorrente danno lo stesso ΔTlm.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
lunghezzaT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore controcorrente il fluido caldo si raffredda da 100 a 80 °C mentre il fluido freddo si riscalda da 30 a 85 °C. Trova la differenza di temperatura media logaritmica ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

Calcola ΔTlm (K)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova la differenza di temperatura tra le due correnti a ciascun estremo dello scambiatore.
  2. In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Risposta

ΔTlm = 29,07 K
Esempio 2Media
lunghezzaT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 60 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 115 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 80 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

Calcola A (m²)

Mostra i suggerimenti
  1. Usa Q̇ = U·A·ΔTlm e risolvi per A.
  2. In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Risposta

A = 1,488 m²
Esempio 3Difficile
lunghezzaT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 3 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

Calcola Tc,out (°C)

Mostra i suggerimenti
  1. La temperatura di uscita è incognita, quindi la LMTD non si può calcolare direttamente. Combina Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) con Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. Si ottiene ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Risposta

Tc,out = 72,63 °C

Calore trasferito: Q̇ = 261,8 kW.

Domande e risposte

Scambiatori di calore (LMTD): di cosa si tratta?

Uno scambiatore di calore trasferisce calore da un fluido caldo a un fluido freddo attraverso una parete metallica, per esempio un tubo con olio caldo all’interno e acqua di raffreddamento all’esterno.

Quanto calore può trasferire dipende da tre cose: quanto bene la parete lascia passare il calore, quanta parete c’è e quanto è grande la differenza di temperatura tra i fluidi.

Scambiatori di calore (LMTD): come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Scambiatori di calore (LMTD): quali sono gli errori più comuni?
  • La differenza di temperatura decresce esponenzialmente: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
Scambiatori di calore (LMTD): che cosa si esercita?
  • Facile: LMTD
  • Media: area richiesta
  • Difficile: progetto completo

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