記数法：ステップごとの解答つき練習問題

1記数法とは

日常生活では、10 進法（基数 10）で数えます。数字は 0 から 9 までの 10 個で、各桁は右隣の桁の 10 倍の値をもちます。

352 では、3 は 300、5 は 50、2 は 2 を表します。右から順に、各桁の重みは 1、10、100 です。

コンピュータは、すべてをオンとオフのスイッチとして記憶します。そのため、数字が 0 と 1 だけの2 進法（基数 2）で数えます。

2 進数の 1 桁をビットといいます。8 ビットのまとまりがバイトです。

規則はどの基数でも同じです：各桁は、その数字の値に基数のべき乗を掛けた値を表します。

22 進数と 16 進数

2 進数では、右から各桁の重みが 1、2、4、8、16、… となります。各桁は右隣の桁の 2 倍の値です。

8 ビットの数では、各桁の重みは 128、64、32、16、8、4、2、1 です。

2 進数を読むには、1 になっているビットの重みをすべて足します。0011 0010 なら 32 + 16 + 2 = 50 です。

ビットが長く並ぶと読みにくくなります。プログラマーは代わりに、16 進数（hex、基数 16）で書くことがよくあります。

16 進数には 16 個の数字が必要です。0 から 9 に続いて、アルファベット A = 10、B = 11、C = 12、D = 13、E = 14、F = 15 を使います。

16 進数の各桁の重みは、右から 1、16、256、4096 です。16 進数は、たとえば 0x2F のように、先頭に 0x をつけて書くことがよくあります。

16 進数の 1 桁は、ちょうど 4 ビットです。したがって 0011 0010 は 0x32 です：0011 が 3、0010 が 2 です。

3負の数：2 の補数

すべての桁が正の重みをもつ 1 バイトは、0 から 255 を記憶します。これを符号なしといいます。

負の数を記憶するために、コンピュータは2 の補数を使います。違いは、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になる点だけです。

したがって 1000 0011 は −128 + 2 + 1 = −125 です。最上位ビットは符号ビットと呼ばれ、これが 1 のとき、その数は負です。

8 ビットの 2 の補数は、−128（1000 0000）から +127（0111 1111）までを表します。

負の数 −x を書くには、2 進数の +x から始めて、すべてのビットを反転し（0 は 1 に、1 は 0 に）、1 を加えます。

−5 の例：5 は 0000 0101 です。反転すると 1111 1010 です。1 を加えると 1111 1011 になります。

同じビットパターンを符号なしとして読むと、値は 256 − x です。−5 なら 251 で、1111 1011 は確かに 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251 です。

4ステップごとの方法

2 進数または 16 進数から 10 進数へ：

1. 各桁の下に桁の重みを書きます：2 進数なら 2 のべき乗、16 進数なら 16 のべき乗を、右端の 1 から始めて書きます。
2. 16 進数では、文字をそれぞれの値に置き換えます：A = 10 から F = 15 まで。
3. 各桁にその桁の重みを掛け、すべてを足します。

2 の補数：

1. ビットパターンを読むには、最上位ビットの値を −128（8 ビットの場合）とし、1 のビットの重みをすべて足します。
2. −x を書くには、+x を 8 ビットで書き、すべてのビットを反転して 1 を加えます。
3. そのパターンを符号なしとして読んだ値は 256 − x です。これでビットの確認ができます。

ビット、範囲、メモリ：

1. n ビットで 2ⁿ 通りのパターンが表せます。
2. 符号なしでは 0 から 2ⁿ − 1 を表します。2 の補数では −2ⁿ⁻¹ から 2ⁿ⁻¹ − 1 を表します。
3. k 個の項目にそれぞれ固有のコードを与えるには、2^b ≥ k となる最小の b を求めます。
4. メモリでは、項目数に 1 項目あたりのビット数を掛け、バイトにするには 8 で、KiB にするには 1024 で割ります。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• ビットを反転した後に 1 を加え忘れる。結果が 1 小さくなります。
• 2 の補数のパターンを符号なしとして読む。たとえば 1111 1111 を −1 ではなく 255 と読んでしまう。
• 符号ビットを、他のビットの前にあるマイナス記号として扱う。2 の補数では、その重みは −128 です。
• 桁の重みを逆の順序で書く。重み 1 の桁は常に右端です。
• 16 進数で A = 11 とする。文字は A = 10 から始まります。
• メモリの問題で、ビットとバイトを混同する。ビット数を 8 で割ります。

7試験問題の例

• やさしい：2 進数・16 進数から 10 進数へ。8 ビットの 2 進数、または 3 桁の 16 進数を 10 進数に変換します。
• ふつう：2 の補数。符号つき 8 ビットのパターンの値を読む、または負の数をパターンで書いてその符号なしの値を答えます。
• むずかしい：ビット、範囲、メモリ。n ビットに収まる最大値や最小の（絶対値が最大の負の）値、k 個のコードに必要なビット数、画像が占めるメモリを求めます。

むずかしい問題の例：256 × 256 の画像で 1 画素あたり 24 ビットなら、256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB を占めます。