Šilumokaičiai (LMTD): uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Q: Šilumokaičiai (LMTD): kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

LMTD metodas: temperatūrų skirtumas tarp srautų kinta išilgai šilumokaičio, todėl šilumos perdavimo lygtyje naudojamas jo logaritminis vidurkis: Q̇ = U·A·ΔTlm, kur ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), o ΔT₁ ir ΔT₂ – skirtumai abiejuose galuose. Esant toms pačioms įėjimo ir išėjimo temperatūroms, priešpriešinis srautas duoda didesnį ΔTlm nei lygiagretus.

Q: Šilumokaičiai (LMTD): ką lavinsite?

Lengvas: LMTD Vidutinis: reikiamas plotas Sunkus: pilnas projektavimas Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Nemokami uždaviniai tema Šilumokaičiai (LMTD) su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: LMTD, reikiamas plotas, pilnas projektavimas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas

Priešpriešinio srauto šilumokaityje karštasis skystis atvėsta nuo 115 iki 100 °C, o šaltasis įšyla nuo 15 iki 100 °C. Raskite vidutinį logaritminį temperatūrų skirtumą ΔT_lm.

T_h: 115 → 100 °CT_c: 15 → 100 °C

Kitas uždavinys →

Praktikuokitės nemokamai: Šilumokaičiai (LMTD)Praktikuokitės dabar: Šilumokaičiai (LMTD)Kasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

LengvasLMTD
Vidutinisreikiamas plotas
Sunkuspilnas projektavimas

Pagrindinės formulės

Šiluminė galia: Q = U·A·ΔT_lm
Vidutinis logaritminis temperatūrų skirtumas: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Srautų balansas: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

Išmokite Šilumokaičiai (LMTD) nuo nulio

Prieš tai: Energijos balansas

1Ką veikia šilumokaitis

Šilumokaitis perduoda šilumą iš karšto skysčio į šaltą per metalinę sienelę, pavyzdžiui, vamzdyje karštas aliejus, o išorėje aušinamasis vanduo.

Kiek šilumos jis gali perduoti, priklauso nuo trijų dalykų: kaip gerai sienelė praleidžia šilumą, kiek sienelės yra ir koks didelis temperatūrų skirtumas tarp skysčių.

Q = U · A · ΔT_lm

Q: šiluminė galia W.
U: bendrasis šilumos perdavimo koeficientas W/(m²·K). Didesnis U reiškia geresnį šilumokaitį.
A: šilumos perdavimo plotas m².
ΔT_lm: logaritminis vidutinis temperatūrų skirtumas, teisingas „vidutinis“ temperatūrų skirtumas.

Srautai gali tekėti ta pačia kryptimi (lygiagrečioji srovė) arba priešingomis kryptimis (priešsrovė).

Paveiksle kairysis šilumokaitis yra lygiagrečiosios srovės, o dešinysis – priešsrovės. Priešsrovėje visu ilgiu išlieka didesnis temperatūrų skirtumas, todėl tam pačiam plotui perduodama daugiau šilumos.

2Kodėl logaritminis vidurkis

Temperatūrų skirtumas tarp skysčių ne visur vienodas. Šilumokaičiu einant karštas skystis vėsta, o šaltas šyla, taigi skirtumas keičiasi iš vieno galo į kitą.

Skirtumus dviejuose galuose pavadinkime ΔT₁ ir ΔT₂. Skirtumas kinta ne tiesiškai, todėl paprastas vidurkis netinka. Teisingas vidurkis yra logaritminis vidurkis:

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂) / ln(ΔT₁ / ΔT₂)

Kurios temperatūros kiekviename gale atsiduria viena prieš kitą, priklauso nuo išdėstymo:

Priešsrovė: ΔT₁ = T_h,in − T_c,out ir ΔT₂ = T_h,out − T_c,in.
Lygiagretusis srautas: ΔT₁ = T_h,in − T_c,in ir ΔT₂ = T_h,out − T_c,out.

Logaritminis vidurkis visada yra šiek tiek mažesnis už aritmetinį. Jei ΔT₁ = ΔT₂, ΔT_lm tiesiog lygus tai reikšmei.

Savikontrolė Priešsrovė: karštas skystis vėsta nuo 100 iki 60 °C, šaltas šyla nuo 20 iki 50 °C. Kokie yra galų skirtumai?

40 K ir 30 K
50 K ir 10 K
50 K ir 40 K
80 K ir 10 K

Atsakymas: 50 K ir 40 K. Priešsrovėje karšto įėjimas yra prieš šalto išėjimą (100 − 50 = 50 K), o karšto išėjimas – prieš šalto įėjimą (60 − 20 = 40 K). 80 K ir 10 K yra lygiagrečiosios srovės poros.

3Metodas žingsnis po žingsnio

Užrašykite keturias temperatūras ir patikrinkite, ar srautas yra priešsrovė, ar lygiagretusis.
Jei trūksta išėjimo temperatūros, pirmiausia raskite ją pagal energijos balansą: Q = ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(T_c,out − T_c,in).
Raskite galų skirtumus ΔT₁ ir ΔT₂ su teisinga pora.
Apskaičiuokite ΔT_lm naudodami natūrinį logaritmą.
Plotui: A = Q/(U·ΔT_lm). Kai U yra W/(m²·K), Q rašykite W (kW × 1000).

Savikontrolė Galų skirtumai yra ΔT₁ = 40 K ir ΔT₂ = 20 K. Kiek yra ΔT_lm?

13,86 K
20 K
28,85 K
30 K

Atsakymas: 28,85 K. ΔT_lm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. Aritmetinis vidurkis, 30 K, artimas, bet per didelis.

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Priešsrovis šilumokaitis perduoda 100 kW. Karštas skystis vėsta nuo 120 iki 60 °C, o šaltas šyla nuo 20 iki 50 °C. Bendrasis šilumos perdavimo koeficientas yra 500 W/(m²·K). Raskite šilumos perdavimo plotą A.

Nubraižykite temperatūras

Priešsrovė, taigi karšto įėjimas (120 °C) yra prieš šalto išėjimą (50 °C).

Galų skirtumai

ΔT₁ = 120 − 50 = 70 K

ΔT₂ = 60 − 20 = 40 K

Vidutinis logaritminis temperatūrų skirtumas

ΔT_lm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K

Plotas

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔT_lm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²

Patikrinkite atsakymą

ΔT_lm = 53,61 K yra tarp 40 ir 70 K ir šiek tiek mažesnis už jų vidurkį 55 K, kaip ir turi būti.

Lygiagrečiojoje srovėje galai būtų 100 K ir 10 K, todėl ΔT_lm = 39,09 K ir A = 5,12 m². Priešsrovei reikia mažesnio ploto.

Atsakymas

A ≈ 3,73 m² (ΔT_lm = 53,61 K).

5Dažnos klaidos

Priešsrovės šilumokaityje temperatūros suporuojamos kaip lygiagrečiojoje srovėje arba atvirkščiai.
Vietoj logaritminio vidurkio naudojamas aritmetinis.
Vieno srauto temperatūros pokytis (pavyzdžiui, 120 − 60) naudojamas kaip ΔT₁. ΔT visada yra karštas minus šaltas tame pačiame gale.
Q paliekamas kW, kai U yra W/(m²·K). Plotas gaunamas 1000 kartų per mažas.
Vietoj ln naudojamas log₁₀.

Savikontrolė Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) ir ΔT_lm = 25 K. Koks plotas reikalingas?

0,004 m²
0,25 m²
4 m²
4000 m²

Atsakymas: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Palikus Q kW gaunama 0,004 m², tai 1000 kartų per mažai. 0,25 m² gaunama apvertus trupmeną.

6Kaip atrodo egzamino uždaviniai

Lengvi: raskite ΔT_lm priešsrovės šilumokaičiui pagal keturias temperatūras.
Vidutiniai: raskite plotą A duotai galiai ir U, priešsrovėje ar lygiagrečiojoje srovėje, kaip pavyzdyje.
Sunkūs: pilnas projektavimas. Vandens išėjimo temperatūra nenurodyta: raskite Q pagal karštą srautą, vandens išėjimą pagal energijos balansą, tada ΔT_lm ir A.

Kai kuriuose klausimuose naudojamas kondensatorius: karštoji pusė kondensuojasi vienoje pastovioje temperatūroje. Tada abu galų skirtumai naudoja tą temperatūrą, o priešsrovė ar lygiagretusis srautas duoda tą patį ΔT_lm.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas

Priešpriešinio srauto šilumokaityje karštasis skystis atvėsta nuo 100 iki 80 °C, o šaltasis įšyla nuo 30 iki 85 °C. Raskite vidutinį logaritminį temperatūrų skirtumą ΔT_lm.

T_h: 100 → 80 °CT_c: 30 → 85 °C

Raskite ΔT_lm (K)

Rodyti užuominas

Raskite temperatūrų skirtumą tarp srautų kiekviename šilumokaičio gale.
Priešpriešiniame sraute karštasis įėjimas yra prieš šaltąjį išėjimą, o karštasis išėjimas – prieš šaltąjį įėjimą.
ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

LMTD metodas: temperatūrų skirtumas tarp srautų kinta išilgai šilumokaičio, todėl šilumos perdavimo lygtyje naudojamas jo logaritminis vidurkis: Q̇ = U·A·ΔT_lm, kur ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), o ΔT₁ ir ΔT₂ – skirtumai abiejuose galuose. Esant toms pačioms įėjimo ir išėjimo temperatūroms, priešpriešinis srautas duoda didesnį ΔT_lm nei lygiagretus.

Temperatūrų skirtumai galuose

Priešpriešiniame sraute karštasis įėjimas yra prieš šaltąjį išėjimą, o karštasis išėjimas – prieš šaltąjį įėjimą.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 100 − 85 = 15 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 80 − 30 = 50 K

Vidutinis logaritminis temperatūrų skirtumas

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Atsakymas

ΔT_lm = 29,07 K

Pavyzdys 2Vidutinis

Lygiagretaus srauto šilumokaitis perduoda 60 kW. Karštasis skystis atvėsta nuo 165 iki 115 °C, o šaltasis įšyla nuo 10 iki 80 °C. Šilumos perdavimo koeficientas yra 500 W/(m²·K). Raskite reikiamą šilumos perdavimo plotą A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)T_h: 165 → 115 °CT_c: 10 → 80 °C

Raskite A (m²)

Rodyti užuominas

Naudokite Q̇ = U·A·ΔT_lm ir išreiškite A.
Lygiagrečiame sraute abu įėjimai yra tame pačiame gale, o abu išėjimai – kitame.
ΔT_lm = 80,64 K.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Temperatūrų skirtumai galuose

Lygiagrečiame sraute abu įėjimai yra tame pačiame gale, o abu išėjimai – kitame.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,in = 165 − 10 = 155 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,out = 115 − 80 = 35 K

Vidutinis logaritminis temperatūrų skirtumas

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Plotas

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Atsakymas

A = 1,488 m²

Pavyzdys 3Sunkus

Kondensatoriuje, kurio šilumos perdavimo plotas 3 m², o U = 1500 W/(m²·K), garai kondensuojasi vamzdžių išorėje pastovioje 105 °C temperatūroje. Aušinimo vanduo (1 kg/s, c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) į vamzdžius įteka 10 °C temperatūros. Raskite vandens išėjimo temperatūrą T_c,out.

T_s = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 10 °C

Raskite T_c,out (°C)

Rodyti užuominas

Išėjimo temperatūra nežinoma, todėl LMTD tiesiogiai apskaičiuoti negalima. Sujunkite Q̇ = ṁc_p(T_c,out − T_c,in) su Q̇ = U·A·ΔT_lm.
Gaunama ln((T_s − T_c,in)/(T_s − T_c,out)) = U·A/(ṁ·c_p).
U·A/(ṁ·c_p) = 1,077.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Sujunkite energijos balansą ir šilumos perdavimo lygtį

Kai ΔT₁ = T_s − T_c,in ir ΔT₂ = T_s − T_c,out, skirtumas ΔT₁ − ΔT₂ lygus vandens temperatūros padidėjimui, todėl padidėjimas susiprastina.

ṁc_p(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)

ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁc_p) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Išėjimo temperatūra

ΔT₂ = ΔT₁·e^−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K

T_c,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Atsakymas

T_c,out = 72,63 °C

Perduota šiluma: Q̇ = 261,8 kW.

Klausimai ir atsakymai

Šilumokaičiai (LMTD): kas tai?

Šilumokaitis perduoda šilumą iš karšto skysčio į šaltą per metalinę sienelę, pavyzdžiui, vamzdyje karštas aliejus, o išorėje aušinamasis vanduo.

Kiek šilumos jis gali perduoti, priklauso nuo trijų dalykų: kaip gerai sienelė praleidžia šilumą, kiek sienelės yra ir koks didelis temperatūrų skirtumas tarp skysčių.

Šilumokaičiai (LMTD): kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Šilumokaičiai (LMTD): kokios klaidos dažniausios?

Temperatūrų skirtumas mažėja eksponentiškai: Ts − Tc,out = (Ts − Tc,in)·e^{−UA/(ṁcp}).

Šilumokaičiai (LMTD): ką lavinsite?

Lengvas: LMTD
Vidutinis: reikiamas plotas
Sunkus: pilnas projektavimas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Energijos balansas

Skaičiuoklės

LMTD skaičiuoklė (logaritminis vidutinis temperatūrų skirtumas)

Kursai su šia tema

Šilumos perdavimas FE Chemical egzamino praktika

Daugiau temų: Chemijos inžinerija

Masės balansas Energijos balansas Idealiųjų dujų dėsnis Reakcijų kinetika Reaktorių dydžio parinkimas (CSTR ir PFR)

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Šilumokaičiai (LMTD) su atsakymais

Praktikuokitės nemokamai: Šilumokaičiai (LMTD)Praktikuokitės dabar: Šilumokaičiai (LMTD)Kasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.