Warmtewisselaars (LMTD): oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Gratis oefenopgaven over Warmtewisselaars (LMTD) met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: LMTD, benodigd oppervlak, volledig ontwerp.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
lengteT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar koelt de warme vloeistof af van 115 tot 100 °C terwijl de koude vloeistof opwarmt van 15 tot 100 °C. Vind het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
Volgende opgave →
Oefen Warmtewisselaars (LMTD) gratisOefen nu Warmtewisselaars (LMTD)Elke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. MakkelijkLMTD
  2. Gemiddeldbenodigd oppervlak
  3. Moeilijkvolledig ontwerp

Belangrijke formules

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

Leer Warmtewisselaars (LMTD) vanaf nul

Hiervoor: Energiebalans

1Wat een warmtewisselaar doet

Een warmtewisselaar brengt warmte over van een hete vloeistof naar een koude vloeistof door een metalen wand, bijvoorbeeld een buis met hete olie erin en koelwater eromheen.

Hoeveel warmte hij kan overdragen, hangt van drie dingen af: hoe goed de wand warmte doorlaat, hoeveel wand er is, en hoe groot het temperatuurverschil tussen de vloeistoffen is.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: het warmtevermogen in W.
  • U: de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/(m²·K). Een grotere U betekent een betere wisselaar.
  • A: het warmteoverdragend oppervlak in m².
  • ΔTlm: het logaritmisch gemiddelde temperatuurverschil, het juiste “gemiddelde” temperatuurverschil.

De stromen kunnen in dezelfde richting lopen (meestroom) of in tegengestelde richting (tegenstroom).

hc⇉hc⇄

In de figuur is de linker wisselaar meestroom en de rechter tegenstroom. Tegenstroom houdt over zijn lengte een groter temperatuurverschil, dus draagt bij hetzelfde oppervlak meer warmte over.

2Waarom een logaritmisch gemiddelde

Het temperatuurverschil tussen de vloeistoffen is niet overal gelijk. Langs de wisselaar koelt de hete vloeistof af en warmt de koude vloeistof op, dus het verschil verandert van het ene uiteinde naar het andere.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Noem de verschillen aan de twee uiteinden ΔT1 en ΔT2. Het verschil verandert niet langs een rechte lijn, dus het gewone gemiddelde klopt niet. Het juiste gemiddelde is het logaritmisch gemiddelde:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

Welke temperaturen aan elk uiteinde tegenover elkaar staan, hangt af van de opstelling:

  • Tegenstroom: ΔT1 = Th,in − Tc,out en ΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • Meestroom: ΔT1 = Th,in − Tc,in en ΔT2 = Th,out − Tc,out.

Het logaritmisch gemiddelde ligt altijd iets onder het rekenkundig gemiddelde. Als ΔT1 = ΔT2, is ΔTlm gewoon die waarde.

Zelftoets Tegenstroom: de hete vloeistof gaat van 100 naar 60 °C, de koude vloeistof van 20 naar 50 °C. Wat zijn de verschillen aan de uiteinden?
  1. 40 K en 30 K
  2. 50 K en 10 K
  3. 50 K en 40 K
  4. 80 K en 10 K

Antwoord: 50 K en 40 K. Bij tegenstroom staat de hete ingang tegenover de koude uitgang (100 − 50 = 50 K) en de hete uitgang tegenover de koude ingang (60 − 20 = 40 K). 80 K en 10 K is de combinatie bij meestroom.

3De methode stap voor stap

  1. Noteer de vier temperaturen en controleer of de stroming tegenstroom of meestroom is.
  2. Als een uitgangstemperatuur ontbreekt, bepaal die dan eerst met een energiebalans: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. Bepaal de verschillen aan de uiteinden ΔT1 en ΔT2 met de juiste combinatie.
  4. Bereken ΔTlm met de natuurlijke logaritme.
  5. Voor het oppervlak: A = Q/(U·ΔTlm). Zet Q in W (kW × 1000) als U in W/(m²·K) staat.
Zelftoets De verschillen aan de uiteinden zijn ΔT₁ = 40 K en ΔT₂ = 20 K. Wat is ΔTlm?
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

Antwoord: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. Het rekenkundig gemiddelde, 30 K, ligt dichtbij maar is te hoog.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 100 kW over. De hete vloeistof koelt af van 120 naar 60 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 naar 50 °C. De totale warmteoverdrachtscoëfficiënt is 500 W/(m²·K). Bepaal het warmteoverdragend oppervlak A.

1

Schets de temperaturen

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Tegenstroom, dus de hete ingang (120 °C) staat tegenover de koude uitgang (50 °C).

2

Verschillen aan de uiteinden

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

Oppervlak

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

Controleer het antwoord

ΔTlm = 53,61 K ligt tussen 40 en 70 K en net onder hun gemiddelde van 55 K, zoals het hoort.

Bij meestroom zouden de uiteinden 100 K en 10 K zijn, wat ΔTlm = 39,09 K en A = 5,12 m² geeft. Tegenstroom heeft minder oppervlak nodig.

Antwoord

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5Veelgemaakte fouten

  • De temperaturen combineren voor meestroom in een tegenstroomwisselaar, of andersom.
  • Het rekenkundig gemiddelde gebruiken in plaats van het logaritmisch gemiddelde.
  • De temperatuurverandering van één stroom (bijvoorbeeld 120 − 60) gebruiken als ΔT1. ΔT is altijd heet min koud aan hetzelfde uiteinde.
  • Q in kW laten staan terwijl U in W/(m²·K) is. Het oppervlak komt 1000 keer te klein uit.
  • log₁₀ gebruiken in plaats van ln.
Zelftoets Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) en ΔTlm = 25 K. Welk oppervlak is nodig?
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

Antwoord: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Q in kW laten staan geeft 0,004 m², 1000 keer te klein. 0,25 m² komt van het omdraaien van de breuk.

6Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: bepaal ΔTlm voor een tegenstroomwisselaar uit de vier temperaturen.
  • Gemiddeld: bepaal het oppervlak A voor een gegeven vermogen en U, bij tegenstroom of meestroom, zoals in het voorbeeld.
  • Moeilijk: een volledig ontwerp. De uitgangstemperatuur van het water is niet gegeven: bepaal Q uit de hete stroom, de wateruitgang uit de energiebalans, en dan ΔTlm en A.

Sommige vragen gebruiken een condensor: de hete kant condenseert bij één constante temperatuur. Dan gebruiken beide verschillen aan de uiteinden die temperatuur, en geven tegenstroom en meestroom dezelfde ΔTlm.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
lengteT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar koelt de warme vloeistof af van 100 tot 80 °C terwijl de koude vloeistof opwarmt van 30 tot 85 °C. Vind het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

Gevraagd: ΔTlm (K)

Hints tonen
  1. Vind het temperatuurverschil tussen de twee stromen aan elk uiteinde van de warmtewisselaar.
  2. Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Antwoord

ΔTlm = 29,07 K
Voorbeeld 2Gemiddeld
lengteT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂meestroom

Een meestroomwarmtewisselaar draagt 60 kW over. De warme vloeistof koelt af van 165 tot 115 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 80 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

Gevraagd: A (m²)

Hints tonen
  1. Gebruik Q̇ = U·A·ΔTlm en los op naar A.
  2. Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Antwoord

A = 1,488 m²
Voorbeeld 3Moeilijk
lengteT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 105 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 3 m² en U = 1500 W/(m²·K). Koelwater (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 10 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

Gevraagd: Tc,out (°C)

Hints tonen
  1. De uittredetemperatuur is onbekend, dus de LMTD kun je niet direct berekenen. Combineer Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) met Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. Dit geeft ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Antwoord

Tc,out = 72,63 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 261,8 kW.

Vragen en antwoorden

Warmtewisselaars (LMTD): wat is het?

Een warmtewisselaar brengt warmte over van een hete vloeistof naar een koude vloeistof door een metalen wand, bijvoorbeeld een buis met hete olie erin en koelwater eromheen.

Hoeveel warmte hij kan overdragen, hangt van drie dingen af: hoe goed de wand warmte doorlaat, hoeveel wand er is, en hoe groot het temperatuurverschil tussen de vloeistoffen is.

Warmtewisselaars (LMTD): hoe los je de opgaven stap voor stap op?

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtewisselaars (LMTD): wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Het temperatuurverschil neemt exponentieel af: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
Warmtewisselaars (LMTD): wat oefen je?
  • Makkelijk: LMTD
  • Gemiddeld: benodigd oppervlak
  • Moeilijk: volledig ontwerp

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Energiebalans

Calculators

LMTD berekenen (logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil)

Vakken met dit onderwerp

WarmteoverdrachtOefenen voor het FE Chemical-examen

Meer onderwerpen in Chemische technologie

MassabalansEnergiebalansIdeale gaswetReactiekinetiekReactordimensionering (CSTR en PFR)

Printbaar werkblad

Werkblad Warmtewisselaars (LMTD) met antwoorden
Oefen Warmtewisselaars (LMTD) gratisOefen nu Warmtewisselaars (LMTD)Elke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.