حاسبة عزم القصور الذاتي (عزم القصور الذاتي للمساحة)
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
| الجزء | A (mm²) | y (mm) | A·y (mm³) | I₀ (mm⁴) | d (mm) | A·d² (mm⁴) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| الشفة | 3000 | 190 | 570000 | 100000 | 54,55 | 8925620 |
| الجذع | 3600 | 90 | 324000 | 9720000 | −45,45 | 7438017 |
احسب عزم القصور الذاتي للمساحة (عزم القصور الذاتي المساحي) للمقاطع العرضية الشائعة: المستطيلات المصمتة والمجوّفة، والدوائر المصمتة والمجوّفة، وعوارض I المتماثلة، ومقاطع T، ومقاطع C. تحصل على المساحة وموضع المركز الهندسي وIx وIy حول المحورين المارّين بالمركز الهندسي ومعاملات المقطع المرنة ونصفي قطر التدوير. وفي المقاطع المركّبة تطبّق الخطوات نظرية المحاور المتوازية جزءًا جزءًا، تمامًا كما تفعل يدويًا.
الحل خطوة بخطوة
قسّم المقطع إلى مستطيلات
المركز
Ix: نظرية المحاور المتوازية I = I₀ + A·d²
Iy: نظرية المحاور المتوازية I = I₀ + A·d²
معامل المقطع ونصف قطر التدوير
الصيغ الأساسية
- المركز
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- مستطيل
- I = bh³/12
- نظرية المحور الموازي
- I = Ic + A·d²
- مقطع مركّب
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
كيف تجد عزم القصور الذاتي لمقطع مركّب
- قسّم المقطع إلى مستطيلات وعامل الفتحات كمساحات سالبة. دوّن مساحة كل جزء A وارتفاع مركزه الهندسي y مقيسًا من خط مرجعي كالحافة السفلية.
- أوجد المركز الهندسي للمقطع كله: ȳ = ΣA·y/ΣA.
- لكل جزء، خذ عزم قصوره الذاتي حول مركزه الهندسي، وهو b·h³/12 للمستطيل، وأضف A·d²، حيث d المسافة من المركز الهندسي للجزء إلى المركز الهندسي للمقطع.
- اجمع الأجزاء (واطرح الفتحات) لتحصل على Ix. كرّر العملية بالمسافات الأفقية لإيجاد Iy.
- معامل المقطع S = I/y_max، حيث y_max المسافة إلى أبعد ليف؛ ونصف قطر التدوير r = √(I/A).
أسئلة وأجوبة
هل هذا هو عزم القصور الذاتي الكتلي نفسه؟
لا. هذا هو عزم القصور الذاتي للمساحة، ووحدته mm⁴ أو in⁴، ويصف كيف يقاوم شكل المقطع العرضي الانحناء. أما عزم القصور الذاتي الكتلي، ووحدته kg·m²، فيصف كيف يقاوم الجسم الدوران ويعتمد على كتلته.
لماذا يكون لمقطع T معاملا مقطع؟
لأن مركزه الهندسي ليس عند منتصف الارتفاع، فتختلف المسافة إلى الليف العلوي عن المسافة إلى الليف السفلي. ولكل منهما S = I/y خاص به، والأصغر منهما يعطي إجهاد الانحناء الأكبر.
لماذا هي b·h³/12 وليست b³·h/12؟
المحور مهم. في الانحناء حول المحور الأفقي x يكون الارتفاع h هو البعد العمودي على المحور ويظهر مكعبًا: Ix = b·h³/12. وحول المحور الرأسي تتبدّل الأدوار: Iy = h·b³/12.
ما نظرية المحاور المتوازية؟
I = I₀ + A·d²: عزم القصور الذاتي حول أي محور يساوي عزم القصور الذاتي حول محور موازٍ يمرّ بالمركز الهندسي زائد المساحة مضروبة في مربع المسافة بين المحورين. وهي تنقل أجزاء المقطع المركّب إلى محور مشترك.
هل تُحسب تقوّسات الجذور في المقاطع الفولاذية المدرفلة؟
لا. تُعامل الشفاه والأعصاب كمستطيلات بسيطة، لذلك تكون النتائج أقل قليلًا من القيم في جداول الفولاذ، التي تشمل التقوّسات بين العصب والشفة.
ما الوحدات التي يمكنني استخدامها؟
الملّيمترات، والنتائج بوحدات mm² وmm³ وmm⁴، أو البوصات، والنتائج بوحدات in² وin³ وin⁴. بدّل بينها بمحدّد الوحدات.
تدرّب بنفسك
تدرّب على المركز وعزم القصور الذاتي
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.