المركز وعزم القصور الذاتي: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: كيف تحل مسائل المركز وعزم القصور الذاتي خطوة بخطوة؟

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

Q: ماذا تغطي تمارين المركز وعزم القصور الذاتي؟

سهلة: المركز متوسطة: عزم القصور الذاتي صعبة: إجهاد الانحناء لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في المركز وعزم القصور الذاتي مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: المركز, عزم القصور الذاتي, إجهاد الانحناء.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

أوجد ارتفاع ȳ مركز مقطع T فوق حافته السفلية.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

المسألة التالية →

تدرّب على المركز وعزم القصور الذاتي مجانًا تدرّب على المركز وعزم القصور الذاتي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةالمركز
متوسطةعزم القصور الذاتي
صعبةإجهاد الانحناء

الصيغ الأساسية

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

تعلّم المركز وعزم القصور الذاتي من البداية

1لماذا يهم شكل المقطع

اقطع كمرة قطعًا مستقيمًا وانظر إلى الوجه المقطوع. هذا الشكل هو المقطع العرضي، أو ببساطة المقطع.

خذ لوحًا خشبيًا 100 × 20 mm. ضعه مسطحًا عبر فجوة فيهبط كثيرًا. وأقِم اللوح نفسه على حافته فيصبح أصلب بكثير، مع أن مساحته هي نفسها تمامًا.

المهم هو مدى بعد المادة عن المحور الذي تنحني الكمرة حوله. فالمادة البعيدة عن ذلك المحور تعمل بجهد أكبر بكثير.

تصف ذلك خاصيتان. المركز الهندسي (centroid) هو المركز الهندسي للمقطع: تنحني الكمرة حول محور يمر به. وعزم القصور الذاتي الثاني للمساحة I يقيس مدى انتشار المساحة بعيدًا عن ذلك المحور.

تحقّق ذاتي يُستخدم اللوح نفسه مسطحًا (a) وعلى حافته (b)، منحنيًا حول محور أفقي. أيهما أصلب؟

المسطح (a)
على الحافة (b)
متساويان، لأن المساحة واحدة
يعتمد على المادة فقط

الإجابة: على الحافة (b). على الحافة تقع المادة أبعد عن محور الانحناء. المساحة هي نفسها، لكن بعدها عن المحور هو ما يهم.

2المركز الهندسي لمقطع مركّب

للمستطيل يقع المركز الهندسي في الوسط. وكثير من مقاطع الكمرات، مثل T، مصنوعة من مستطيلات.

قسّم المقطع إلى مستطيلات. لكل منها أوجد مساحته A_i وارتفاع مركزه الخاص y_i، مقيسًا من خط مرجعي واحد، عادةً الحافة السفلية.

المركز الهندسي للمقطع كله هو المتوسط المرجح بالمساحات لتلك الارتفاعات:

ȳ = Σ A_i·y_i / Σ A_i

الجزء الكبير يسحب المركز الهندسي نحوه. وفي مقطع T جناحه في الأعلى يقع المركز الهندسي فوق منتصف الارتفاع.

تحقّق ذاتي الجزء 1 مساحته A = 3000 mm² عند y = 20 mm. والجزء 2 مساحته A = 1000 mm² عند y = 100 mm. أين المركز الهندسي؟

ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm

الإجابة: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. القيمة 60 mm هي المتوسط العادي للارتفاعات، الذي يتجاهل المساحات. و80 mm تبدّل المساحتين.

3عزم القصور الذاتي الثاني للمساحة

لمستطيل عرضه b وارتفاعه h، منحنٍ حول محور أفقي يمر بمركزه الهندسي:

I_c = b · h³ / 12

الارتفاع مكعَّب، ولهذا يكون اللوح على حافته أصلب 25 مرة: 20·100³ / (100·20³) = 25.

لمقطع مركّب، يقع كل جزء على بعد d من المحور المار بالمركز الهندسي الكلي. وتضيف نظرية المحاور المتوازية حدًا لتلك الإزاحة:

I = Σ ( I_c,i + A_i · d_i² )

الوحدة mm⁴. الأعداد كبيرة، لذا كثيرًا ما تُعطى الإجابات بـ «× 10⁶ mm⁴».

بعد أن تحصل على I، يُستنتج إجهاد الانحناء على بعد y من المحور المركزي من عزم الانحناء M:

σ = M · y / I

تحقّق ذاتي مستطيل عرضه 100 mm وارتفاعه 20 mm: ما I حول محوره المركزي الأفقي؟

1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴

الإجابة: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. القيمة 1 666 667 تبدّل b وh (وهذا اللوح على حافته)؛ و800 000 تنسى القسمة على 12.

4الطريقة خطوة بخطوة

قسّم المقطع إلى مستطيلات وأرقمها.
لكل جزء: المساحة A_i وارتفاع المركز الهندسي y_i، كلها مقيسة من الحافة السفلية.
المركز الهندسي: ȳ = ΣA_iy_i / ΣA_i.
لكل جزء: I_c = bh³/12 الخاصة به والمسافة d_i = y_i − ȳ.
اجمع: I = Σ(I_c,i + A_id_i²).
إذا طُلب إجهاد: σ = M·y/I، حيث y المسافة من المحور إلى الحافة التي تحتاجها.

جدول صغير بأعمدة A وy وA·y وI_c وd وA·d² يُبقي كل شيء مرتبًا.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

مقطع T له جناح 100 × 20 mm فوق جذع 20 × 100 mm. أوجد ارتفاع المركز الهندسي ȳ، وعزم القصور الذاتي الثاني للمساحة I_x، وإجهادي الانحناء عند الحافتين العليا والسفلى لعزم تقعيري 4 kN·m.

قسّم إلى مستطيلين

الجناح (1): A₁ = 100·20 = 2000 mm²، المركز الهندسي عند y₁ = 100 + 10 = 110 mm.

الجذع (2): A₂ = 20·100 = 2000 mm²، المركز الهندسي عند y₂ = 50 mm.

المركز

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

المساحتان متساويتان، لذا فـ ȳ في منتصف المسافة بين 110 و50 mm.

عزما القصور الذاتي الخاصان

I_c,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴

I_c,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴

حدود المحاور المتوازية

يبعد كل مركز هندسي 30 mm عن المحور x: d₁ = 110 − 80 = 30 mm وd₂ = 50 − 80 = −30 mm.

لكل جزء:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴

عزم القصور الذاتي الثاني الكلي للمساحة

I_x = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴

إجهادا الانحناء

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. الحافة السفلية تبعد 80 mm عن المحور، والحافة العليا 120 − 80 = 40 mm.

σ_bottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa

σ_top = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

الحافة السفلية في شد والحافة العليا في ضغط، كما في أي كمرة تقعيرية.

الإجابة

ȳ = 80 mm وI_x = 5,33 × 10⁶ mm⁴ وσ_bottom = 60 MPa وσ_top = 30 MPa.

6أخطاء شائعة

نسيان الحد A·d². بدونه تجمع قيم I الخاصة بالأجزاء فقط، وهي أصغر بكثير من اللازم.
قياس الارتفاعات y_i من خطوط مرجعية مختلفة. اختر الحافة السفلية والتزم بها.
استخدام d من الحافة السفلية بدل المركز الهندسي الكلي.
تبديل b وh في bh³/12. البعد المتعامد مع محور الانحناء هو المكعَّب.
استخدام مسافة الحافة الخطأ في σ = M·y/I. الحافة الأبعد عن المحور لها أكبر إجهاد.

تحقّق ذاتي مستطيل 100 × 20 mm (العرض × الارتفاع) مركزه الهندسي يبعد 50 mm عن المحور x. ما إسهامه في I_x؟

0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴

الإجابة: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. القيمة 0,067 × 10⁶ تنسى A·d²؛ و5,00 × 10⁶ تنسى الحد الخاص؛ و6,67 × 10⁶ تستخدم 1 666 667 (b وh مبدلتان) زائد A·d².

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: المركز الهندسي. أوجد ȳ لمقطع T فوق حافته السفلية. وتشمل الصيغ الأخرى مقطع زاوية، أو I لمستطيل واحد أو دائرة (πd⁴/64) أو صندوق.
متوسط: عزم القصور الذاتي الثاني للمساحة. أوجد I_x لمقطع T حول محوره المركزي. وتشمل الصيغ الأخرى مقاطع I وقنوات، ونصف قطر التدوير r = √(I/A).
صعب: إجهاد الانحناء. يحمل مقطع T عزمًا M؛ أوجد الإجهاد عند الحافة العليا أو السفلى بـ σ = M·y/I.

الأبعاد المعطاة هي b_f وt_f للجناح، وt_w وh_w للجذع.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

أوجد ارتفاع ȳ مركز مقطع T فوق حافته السفلية.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

المطلوب: ȳ (mm)

أظهر التلميحات

قسّم T إلى شفة وجذع، وأوجد مساحة كلٍّ منهما وارتفاع مركزه.
ȳ = ΣA·y / ΣA، مع قياس كل y من الحافة السفلية.
A_f = 2600 mm², A_w = 2240 mm².

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

الجذع: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

الإجابة

ȳ = 217,9 mm

مثال 2متوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 156 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 156 mm

المطلوب: I_x (× 10⁶ mm⁴)

أظهر التلميحات

أوجد المركز الهندسي أولًا: اللوح ناقص الثقب.
ȳ = 118,9 mm.
ثم I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) حول ȳ.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

مثال 3صعبة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 30 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmالفتحة: 30 × 20 mmمركز الثقب: y = 120 mm

المطلوب: I_x (× 10⁶ mm⁴)

أظهر التلميحات

أوجد المركز الهندسي أولًا: اللوح ناقص الثقب.
ȳ = 99,38 mm.
ثم I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) حول ȳ.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المركز

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 66,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 66,4 × 10⁶ mm⁴

أسئلة وأجوبة

ما هو المركز وعزم القصور الذاتي؟

اقطع كمرة قطعًا مستقيمًا وانظر إلى الوجه المقطوع. هذا الشكل هو المقطع العرضي، أو ببساطة المقطع.

كيف تحل مسائل المركز وعزم القصور الذاتي خطوة بخطوة؟

ماذا تغطي تمارين المركز وعزم القصور الذاتي؟

سهلة: المركز
متوسطة: عزم القصور الذاتي
صعبة: إجهاد الانحناء

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

انبعاج الأعمدة ترخيم الكمرة

الآلات الحاسبة

حاسبة عزم القصور الذاتي (عزم القصور الذاتي للمساحة)حاسبة المركز الهندسي (الأشكال المركّبة والمضلعات)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الاستاتيكا مقاومة المواد التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية

مواضيع أخرى في المدنية

قوة القص وعزم الانحناء الجملون: طريقة العقد ترخيم الكمرة انبعاج الأعمدة الإجهاد الفعّال في التربة هبوط التصلّب القوة الهيدروستاتيكية الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المركز وعزم القصور الذاتي مع الإجابات