ترخيم الكمرة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في ترخيم الكمرة مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: كابولي، حمل طرفي, حمل منتظم, التراكب والتصميم.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
P = 3 kNδL = 1,5 m

كابولي يحمل حملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
المسألة التالية →
تدرّب على ترخيم الكمرة مجانًاتدرّب على ترخيم الكمرة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةكابولي، حمل طرفي
  2. متوسطةحمل منتظم
  3. صعبةالتراكب والتصميم

الصيغ الأساسية

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

تعلّم ترخيم الكمرة من البداية

قبل هذا: قوة القص وعزم الانحناء, المركز وعزم القصور الذاتي

1ما هو الانحراف (السهم)

تنحني كل كمرة قليلًا تحت الحمل. والمسافة التي تنزلها نقطة من الكمرة إلى أسفل هي الهبوط (السهم) δ، وعادةً بالملّيمتر.

PδL

قد تكون الكمرة قوية بما يكفي وتنحني أكثر من اللازم. عندئذٍ تبدو الأرضيات مرتجّة، وتتشقق الأسطح الجصية، وتلتصق الأبواب. وحد شائع للأرضيات هو البحر/360: أرضية بحرها 3,6 m يجوز أن تهبط 10 mm على الأكثر.

يعتمد مقدار هبوط الكمرة على أربعة أشياء:

  • الحمل: ضعف الحمل يعطي ضعف الهبوط؛
  • البحر: ينمو الهبوط بسرعة كبيرة مع الطول (L³ أو L⁴)؛
  • معامل يونغ E للمادة: المادة الأصلب تنحني أقل؛
  • عزم القصور الذاتي الثاني I للمقطع: المقطع الأعمق ينحني أقل.

يظهر E وI دائمًا معًا كحاصل الضرب EI، أي صلابة الانحناء للكمرة.

تحقّق ذاتي تستبدل بكمرة أخرى عزم قصورها الذاتي I الضعف. وكل شيء آخر كما هو. ماذا يحدث للهبوط؟
  1. تتضاعف
  2. تتنصّف
  3. يبقى كما هو
  4. يصبح الربع

الإجابة: تتنصّف. الهبوط يتناسب عكسيًا مع EI. مضاعفة I تنصّف δ.

2الصيغ القياسية

تأتي الهبوطات من تكامل عزم الانحناء مرتين، لكن للحالات الشائعة النتيجة مجدولة. أربع حالات تغطي معظم الأسئلة:

  • كابول، حمل مركز P عند الطرف الحر: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • كابول، حمل موزّع منتظم w على كامل الطول: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • بسيط الارتكاز، حمل مركز P في منتصف البحر: δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • بسيط الارتكاز، حمل موزّع منتظم w على كامل البحر: δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

في الكابول يكون أكبر هبوط عند الطرف الحر؛ وفي الكمرة بسيطة الارتكاز ذات الأحمال المتماثلة يكون عند منتصف البحر.

حين تحمل الكمرة عدة أحمال، تُجمع الهبوطات الناتجة عن كل حمل منفردًا. وهذا هو مبدأ التراكب.

تحقّق ذاتي كابول بحمل عند الطرف هبوط طرفه 2 mm. جُعل الكابول ضعف طوله. ما الهبوط الجديد؟
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

الإجابة: 16 mm. δ تتناسب مع L³، لذا مضاعفة L تضرب δ في 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. القيمة 4 mm تعاملها كعلاقة خطية؛ و32 mm تستخدم L⁴، وهي حالة الحمل الموزّع المنتظم.

3الوحدات: اعمل بـ N وmm

لا تصح الصيغ إلا بوحدات متسقة. والخيار الآمن هو النيوتن والمليمتر:

  • P بـ N: kN × 1000.
  • w بـ N/mm: 1 kN/m يساوي بالضبط 1 N/mm.
  • L بـ mm: m × 1000.
  • E بـ N/mm²: GPa × 1000. الفولاذ: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I بـ mm⁴: «36 × 10⁶ mm⁴» تعني 36 000 000 mm⁴.

يخرج الهبوط عندئذٍ بـ mm. ولأن L مرفوعة إلى القوة الثالثة أو الرابعة، تصبح الأعداد كبيرة. والآلة الحاسبة ذات قوى العشرة تبقيها تحت السيطرة.

تحقّق ذاتي كمرة من الفولاذ، E = 200 GPa. أي قيمة لـ E تستخدم مع N وmm؟
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

الإجابة: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm²، إذن 200 GPa = 200 000 N/mm². استخدام 200 يجعل الهبوط أكبر 1000 مرة.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. حدّد الحالة: كابول أم بسيط الارتكاز، حمل مركز أم موزّع منتظم.
  2. حوّل P وw وL وE وI إلى N وmm.
  3. اختر الصيغة المناسبة.
  4. احسب δ بـ mm.
  5. لعدة أحمال: احسب كل واحد منفردًا ثم اجمع.
  6. لسؤال تصميم: اجعل δ تساوي القيمة المسموحة (مثلًا L/360) وحُلّ لإيجاد I.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

كابول فولاذي (E = 200 GPa، I = 36 × 10⁶ mm⁴) طوله 3 m ويحمل حملًا مركزًا قدره 8 kN عند طرفه الحر. أوجد الهبوط عند الطرف الحر.

1

حدّد الحالة

P = 8 kNδL = 3 m

كابول بحمل مركز عند الطرف الحر: δ = PL³/(3EI).

2

حوّل إلى N وmm

P = 8000 N، L = 3000 mm، E = 200 000 N/mm²، I = 36 000 000 mm⁴.

3

صلابة الانحناء

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

ترخيم الطرف

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

تحقّق من الإجابة

10 mm على كابول طوله 3 m هي L/300. وهذا حجم واقعي لكمرة فولاذية محمّلة: لا جزء من المليمتر ولا عشرات السنتيمترات.

الإجابة

يهبط الطرف الحر بمقدار δ = 10 mm.

6أخطاء شائعة

  • خلط الوحدات: L بالأمتار مع E بـ N/mm² يعطي نتيجة لا معنى لها. حوّل كل شيء إلى N وmm أولًا.
  • ترك E بـ GPa، فيخرج δ أكبر 1000 مرة.
  • استخدام الحالة الخطأ، مثلًا PL³/(48EI) لكابول. تحقق من الركائز ونوع الحمل.
  • نسيان العدد 5 في 5wL⁴/(384EI).
  • في مبدأ التراكب، استخدام صيغة مختلفة لكل حمل مع نسيان أحد الأحمال.
تحقّق ذاتي كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركزًا في المنتصف يعطي وحده 4 mm، وحملًا موزّعًا منتظمًا يعطي وحده 6 mm. ما الهبوط عند منتصف البحر؟
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

الإجابة: 10 mm. بالتراكب تُجمع الهبوطات الناتجة عن كل حمل: 4 + 6 = 10 mm. أخذ الأكبر فقط أو الفرق أو الحاصل كلها خطأ.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: كابول بحمل عند الطرف. أوجد δ = PL³/(3EI). وتشمل الصيغ الأخرى: كمرة بسيطة الارتكاز بحمل في الوسط، أو ميل الطرف، أو الحمل الذي يعطي هبوطًا معينًا.
  • متوسط: حمل منتظم. كابول (wL⁴/8EI) أو كمرة بسيطة الارتكاز (5wL⁴/384EI). وتشمل الصيغ الأخرى: أحمالًا خارج المنتصف وميول الأطراف.
  • صعب: التراكب والتصميم. اجمع هبوطات حمل مركز وحمل موزّع منتظم، أو أوجد أصغر I تُبقي δ أقل من L/360.

لحالة التصميم: Ireq = 5wL⁴ / (384·E·δallow)، مع δallow = L/360.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
P = 19 kNABδ2 m2 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. أوجد ترخيم المنتصف δmax.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

المطلوب: δmax (mm)

أظهر التلميحات
  1. لكمرة بسيطة الارتكاز بحمل مركّز في المنتصف، ترخيم المنتصف δ = PL³/(48EI).
  2. اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

ترخيم المنتصف

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

الإجابة

δmax = 10,56 mm
مثال 2متوسطة
P = 26 kNABδ2 m4 m

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2 m من A. أوجد الترخيم δB عند الطرف الحر B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

المطلوب: δB (mm)

أظهر التلميحات
  1. الجزء الواقع بين A والحمل يتصرّف ككابولي طوله a بحمل طرفي: δ = Pa³/(3EI)، θ = Pa²/(2EI).
  2. بعد الحمل لا يوجد عزم، لذا يبقى ذلك الجزء مستقيمًا: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

الإجابة

δB = 16,51 mm
مثال 3صعبة
w = 4 kN/mABδ3 m

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 100 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/360. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 100 mm

المطلوب: hreq (mm)

أظهر التلميحات
  1. اجعل ترخيم المنتصف 5wL⁴/(384EI) مساويًا للحد وحلّ لإيجاد I المطلوب.
  2. ثم استخدم I = bh³/12 للمستطيل وحلّ لإيجاد h.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

الإجابة

hreq = 176,8 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

أسئلة وأجوبة

ما هو ترخيم الكمرة؟

تنحني كل كمرة قليلًا تحت الحمل. والمسافة التي تنزلها نقطة من الكمرة إلى أسفل هي الهبوط (السهم) δ، وعادةً بالملّيمتر.

قد تكون الكمرة قوية بما يكفي وتنحني أكثر من اللازم. عندئذٍ تبدو الأرضيات مرتجّة، وتتشقق الأسطح الجصية، وتلتصق الأبواب. وحد شائع للأرضيات هو البحر/360: أرضية بحرها 3,6 m يجوز أن تهبط 10 mm على الأكثر.

كيف تحل مسائل ترخيم الكمرة خطوة بخطوة؟

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

ما الأخطاء الشائعة في ترخيم الكمرة؟
  • PL³/(3EI) للكابولي بحمل طرفي. الكمرة البسيطة الارتكاز بحمل مركزي ترخّم PL³/(48EI).
  • المعامل 5/384 يخصّ الحمل المنتظم (مع wL⁴). للحمل المركّز في المنتصف استخدم 1/48.
  • هذا الترخيم تحت الحمل. بعد الحمل تكون الكمرة مستقيمة لكنها مائلة، لذا أضف θ·(L − a).
ماذا تغطي تمارين ترخيم الكمرة؟
  • سهلة: كابولي، حمل طرفي
  • متوسطة: حمل منتظم
  • صعبة: التراكب والتصميم

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

قوة القص وعزم الانحناءالمركز وعزم القصور الذاتي

الآلات الحاسبة

حاسبة ترخيم الكمرة

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مقاومة الموادتحليل المنشآتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكيةالتدريب لاختبار FE للهندسة المدنية

مواضيع أخرى في المدنية

قوة القص وعزم الانحناءالجملون: طريقة العقدالمركز وعزم القصور الذاتيانبعاج الأعمدةالإجهاد الفعّال في التربةهبوط التصلّبالقوة الهيدروستاتيكيةالجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل ترخيم الكمرة مع الإجابات
تدرّب على ترخيم الكمرة مجانًاتدرّب على ترخيم الكمرة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.