قوة القص وعزم الانحناء: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في قوة القص وعزم الانحناء مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: حمل مركّز, حمل موزّع على البحر كله, حمل مركّز + حمل موزّع.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا واحدًا P. أوجد قوة القص Vx يمين الحمل مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 60 kN عند 2,5 m
kN
المسألة التالية →
تدرّب على قوة القص وعزم الانحناء مجانًاتدرّب على قوة القص وعزم الانحناء الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةحمل مركّز
  2. متوسطةحمل موزّع على البحر كله
  3. صعبةحمل مركّز + حمل موزّع

كيف تحلّ مسائل قوة القص وعزم الانحناء

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

أخطاء شائعة

  • إدخال أحمال من جانبي المقطع كليهما.
  • استخدام اصطلاح إشارة خاطئ للعزوم الموجبة (التقعّر) والسالبة (التحدّب).
  • الإجابة بقوة القص بينما المطلوب عزم الانحناء.

الصيغ الأساسية

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

تعلّم قوة القص وعزم الانحناء من البداية

قبل هذا: ردود أفعال ركائز الكمرات

1ما الذي يحدث داخل الكمرة

في درس ردود الأفعال أوجدت القوى المؤثرة على الكمرة من الخارج. انظر الآن إلى الداخل: ما الذي يجب أن تتحمله المادة عند نقطة واحدة من الكمرة؟

تخيّل أنك تنشر الكمرة نصفين عند نقطة ما. سيسقط كل نصف. ولإبقائه في مكانه يجب أن يمسكه النصف الآخر بفعلين داخليين:

  • قوة القص V، التي تمنع أحد الجانبين من الانزلاق للأعلى أو للأسفل بالنسبة إلى الآخر (بوحدة kN)؛
  • عزم الانحناء M، الذي يمنع أحد الجانبين من الدوران بالنسبة إلى الآخر (بوحدة kN·m).
PAB2 m2 m2 m

الكمرة التي تنحني على شكل ابتسامة، وجانبها السفلي مشدود، تكون موجبة الانحناء (تقعّر). والكمرة التي تنحني على شكل عبوس، كشرفة، تكون سالبة الانحناء (تحدّب).

يحتاج المهندسون إلى M لأن إجهاد الانحناء في الكمرة يزداد معه، وإلى V لأن الكمرة يجب ألا تنقصّ قرب الركائز.

تحقّق ذاتي تحمل كمرة بسيطة الارتكاز حملًا إلى الأسفل. أي جانب من الكمرة يتعرض للشد؟
  1. الجانب السفلي: الكمرة في حالة تقعّر
  2. الجانب العلوي: الكمرة في حالة تحدّب
  3. الجانبان بالتساوي
  4. لا جانب منهما، فالكمرة تقصر فقط

الإجابة: الجانب السفلي: الكمرة في حالة تقعّر. تنحني الكمرة على ركيزتين على شكل ابتسامة تحت حمل إلى الأسفل. تطول الألياف السفلية (شد)، وتقصر الألياف العلوية (ضغط).

2طريقة المقاطع

لإيجاد V وM على بعد x من A، اقطع الكمرة هناك واحتفظ بالجزء الواقع على يسار القطع فقط. هذا الجزء في حالة اتزان بمفرده.

RA​VMAx

قواعد الإشارات المعتادة: القوة إلى الأعلى على الجزء الأيسر تُعدّ قص موجبًا، والعزم المقعّر موجب. وهذا يعطي وصفتين قصيرتين:

  • قوة القص: V = RA ناقص كل الأحمال الهابطة على يسار القطع.
  • عزم الانحناء: M = RA·x ناقص، لكل حمل على يسار القطع، الحمل مضروبًا في بعده عن القطع.

الحمل الموزّع المنتظم الواقع على يسار القطع يؤثر كقوة واحدة w·ℓ عند منتصفه، كما في درس ردود الأفعال.

يمكنك الاحتفاظ بالجزء الأيمن بدلًا من ذلك. ستحصل على V وM نفسيهما، وهذا فحص مفيد.

تحقّق ذاتي RA = 10 kN. الحمل الأول يبعد 5 m عن A. ما عزم الانحناء عند x = 3 m؟
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

الإجابة: 30 kN·m. لا يوجد حمل على يسار القطع، إذن M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. أما 10 kN فهي قوة القص هناك، لا العزم.

3المخططات وأقصى عزم

إذا حسبت V وM عند كل x حصلت على مخطط قوة القص ومخطط عزم الانحناء. وأشكالهما تتبع قواعد بسيطة:

  • بين الأحمال المركزة تكون V ثابتة وM خطًا مستقيمًا.
  • تحت حمل موزّع منتظم تنحدر V في خط مستقيم وM منحنى (قطع مكافئ).
  • يجعل الحمل المركز V تقفز بمقدار الحمل.
  • تكون M أكبر ما يمكن حيث تغيّر V إشارتها مارّةً بالصفر.

نتيجتان تتكرران كثيرًا حتى إنه يستحق أن تحفظهما:

  • حمل مركز P في منتصف البحر: Mmax = P·L / 4
  • حمل موزّع منتظم w على كامل البحر: Mmax = w·L² / 8
تحقّق ذاتي تحمل كمرة بسيطة الارتكاز طولها 6 m حملًا موزّعًا منتظمًا قدره 4 kN/m على كامل بحرها. ما أكبر عزم انحناء؟
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

الإجابة: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m عند منتصف البحر. القيمة 36 تستخدم القسمة على 4 (قاعدة الحمل المركز)؛ و12 kN هي رد الفعل wL/2.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع x واحتفظ بالجزء الأيسر.
  3. قوة القص: V = RA ناقص كل الأحمال الهابطة على الجزء الأيسر.
  4. عزم الانحناء: M = RA·x ناقص كل حمل على الجزء الأيسر مضروبًا في بعده عن القطع.
  5. لأقصى عزم: أوجد موضع V = 0 واحسب M هناك.

ارسم الجزء الأيسر في رسم صغير منفصل. فيتضح لك أي الأحمال يجب إدخالها.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

تحمل كمرة بسيطة الارتكاز بحرها 6 m حملًا موزّعًا منتظمًا قدره 4 kN/m على كامل طولها. أوجد قوة القص V وعزم الانحناء M عند x = 2 m من A.

1

انظر إلى الكمرة

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

ردود أفعال الركائز

الحمل الكلي هو 4 · 6 = 24 kN، في المنتصف. وبالتناظر تحمل كل ركيزة نصفه:

RA = RB = 12 kN
3

احتفظ بالجزء الأيسر

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

الحمل الموزّع على الجزء الأيسر هو 4 · 2 = 8 kN. ويؤثر عند منتصفه هو، على بعد 1 m من القطع.

4

قوة القص

V = 12 − 8 = 4 kN
5

عزم الانحناء

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

وهو موجب، فالكمرة في حالة تقعّر هنا.

6

تحقّق من الإجابة

استخدم الجزء الأيمن بدلًا من ذلك: طوله 4 m، وفيه RB = 12 kN وحمل موزّع قدره 16 kN على بعد 2 m من القطع.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

المخطط الكامل قطع مكافئ ذروته wL²/8 = 18 kN·m عند منتصف البحر. والقيمة 16 kN·m عند x = 2 m تنسجم مع ذلك.

1618 kN·mMx = 2x = 3
الإجابة

V = 4 kN وM = 16 kN·m (تقعّر).

6أخطاء شائعة

  • إدخال أحمال من جانبي القطع معًا. استخدم الجزء الذي احتفظت به فقط.
  • قياس ذراع العزم من A بدل قياسه من القطع. في M تُقاس كل مسافة من الحمل إلى القطع.
  • الإجابة بـ V حين يُطلب M، أو العكس. تحقق من الوحدة: kN أم kN·m.
  • أخذ الحمل الموزّع كاملًا بدل الجزء الواقع على يسار القطع فقط.
  • الخلط بين قواعد الإشارات. وفق القواعد المعتادة تكون عزوم الكمرة بسيطة الارتكاز تحت الأحمال الهابطة موجبة (تقعّر) في كل مكان.
تحقّق ذاتي تحمل كمرة بسيطة الارتكاز طولها 4 m حملًا قدره 20 kN في المنتصف، إذن RA = 10 kN. ما قيمة M عند x = 1 m؟
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

الإجابة: 10 kN·m. لا يبقى على يسار القطع إلا RA: M = 10·1 = 10 kN·m. القيمة 0 تطرح الحمل خطأً وهو على يمين القطع. و20 kN·m هي PL/4، أي العزم الأقصى عند المنتصف. و10 kN هي قوة القص.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: حمل مركز واحد. أوجد M عند الحمل، أو V بجانبه مباشرة. وتستخدم بعض الصيغ كابولًا يكون فيه M أكبر ما يمكن عند الجدار.
  • متوسط: حمل موزّع منتظم على كامل البحر، كما في المثال. أوجد V أو M عند x معطى، أو العزم الأقصى.
  • صعب: حمل مركز وحمل موزّع منتظم معًا، أو حمل موزّع جزئي. أوجد M عند مقطع أو العزم الأقصى حيث V = 0.

تستخدم بعض الصيغ كمرة تتجاوز ركيزة. يكون الجزء المتجاوز في حالة تحدّب، لذا تكون M سالبة هناك.

ابدأ دائمًا بردود الأفعال واكتبها على رسمك.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
أظهر التلميحات
  1. تقع قمم عزم الانحناء حيث تتغير إشارة قوة القص، أو عند جدار ثابت، أو فوق مسند بجانب بروز.
  2. أوجد ردود فعل المساند أولًا: R1 = 33,33 kN.
  3. قارن العزوم عند العلامات المرشحة؛ والأكبر حجمًا هو 66,67 kN·m.
أظهر الإجابة والشرح

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

الإجابة

علامة B: MB = 66,67 kN·m
مثال 2متوسطة
w = 5 kN/mABمقطع0,5 m5,5 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 0,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 5 kN/m من 0 إلى 6 mx = 0,5 m

المطلوب: Mx (kN·m)

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. ثم اقطع الكمرة عند x = 0,5 m وانظر فقط إلى الجزء الواقع يسار المقطع. اجمع عزوم تلك القوى حول المقطع.
  3. RA = 15 kN.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15مقطع0,5 m5,5 m

اقطع عند x = 0,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

الإجابة

Mx = 6,875 kN·m
مثال 3صعبة
w = 6 kN/mP = 45 kNABمقطع1,5 m3,5 m1 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 45 kN عند 1,5 mw = 6 kN/m من 0 إلى 6 mx = 5 m

المطلوب: Mx (kN·m)

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. ثم اقطع الكمرة عند x = 5 m وانظر فقط إلى الجزء الواقع يسار المقطع. اجمع عزوم تلك القوى حول المقطع.
  3. RA = 51,75 kN.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25مقطع1,5 m3,5 m1 m

اقطع عند x = 5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

الإجابة

Mx = 26,25 kN·m

أسئلة وأجوبة

ما هو قوة القص وعزم الانحناء؟

في درس ردود الأفعال أوجدت القوى المؤثرة على الكمرة من الخارج. انظر الآن إلى الداخل: ما الذي يجب أن تتحمله المادة عند نقطة واحدة من الكمرة؟

تخيّل أنك تنشر الكمرة نصفين عند نقطة ما. سيسقط كل نصف. ولإبقائه في مكانه يجب أن يمسكه النصف الآخر بفعلين داخليين:

كيف تحل مسائل قوة القص وعزم الانحناء خطوة بخطوة؟
  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
ما الأخطاء الشائعة في قوة القص وعزم الانحناء؟
  • إدخال أحمال من جانبي المقطع كليهما.
  • استخدام اصطلاح إشارة خاطئ للعزوم الموجبة (التقعّر) والسالبة (التحدّب).
  • الإجابة بقوة القص بينما المطلوب عزم الانحناء.
ماذا تغطي تمارين قوة القص وعزم الانحناء؟
  • سهلة: حمل مركّز
  • متوسطة: حمل موزّع على البحر كله
  • صعبة: حمل مركّز + حمل موزّع

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

ردود أفعال ركائز الكمرات

ثم تابع مع

ترخيم الكمرة

الآلات الحاسبة

حاسبة مخططَي قوة القص وعزم الانحناءحاسبة إجهاد الانحناء (σ = My/I)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الاستاتيكامقاومة الموادتحليل المنشآتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكيةالتدريب لاختبار FE للهندسة المدنية

مواضيع أخرى في المدنية

الجملون: طريقة العقدترخيم الكمرةالمركز وعزم القصور الذاتيانبعاج الأعمدةالإجهاد الفعّال في التربةهبوط التصلّبالقوة الهيدروستاتيكيةالجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل قوة القص وعزم الانحناء مع الإجابات
تدرّب على قوة القص وعزم الانحناء مجانًاتدرّب على قوة القص وعزم الانحناء الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.