القوة الهيدروستاتيكية: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في القوة الهيدروستاتيكية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: جدار رأسي, بوابة مغمورة, مركز الضغط.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
h = 3 m

يقف الماء بعمق 3 m أمام جدار رأسي. أوجد الارتفاع ȳ فوق القاعدة الذي تؤثّر عنده القوة المحصّلة.

h = 3 mb = 4 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
m
المسألة التالية →
تدرّب على القوة الهيدروستاتيكية مجانًاتدرّب على القوة الهيدروستاتيكية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةجدار رأسي
  2. متوسطةبوابة مغمورة
  3. صعبةمركز الضغط

الصيغ الأساسية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

تعلّم القوة الهيدروستاتيكية من البداية

1ما هي القوة الهيدروستاتيكية

الماء الساكن يدفع كل سطح يلامسه: جدار خزان أو سد أو بوابة هويس. وهذا الدفع هو القوة الهيدروستاتيكية.

كلما نزلت أعمق دفع الماء بقوة أكبر. تشعر بذلك في أذنيك عندما تغوص إلى قاع بركة.

الضغط على عمق h تحت السطح الحر هو وزن عمود الماء فوق متر مربع واحد:

p = ρ · g · h

ρ هي الكثافة (1000 kg/m³ للماء العذب) وg = 9,81 m/s². وبأخذ h بالأمتار يخرج p بوحدة Pa (N/m²). اقسم على 1000 للحصول على kPa.

يؤثر الضغط عموديًا على السطح. ولا يتوقف على شكل الخزان أو عرضه، بل على العمق فقط.

تحقّق ذاتي ما ضغط الماء على عمق 5 m تحت سطح بحيرة؟ (ρ = 1000 kg/m³، g = 9,81 m/s²)
  1. 24,5 kPa
  2. 49,05 kPa
  3. 5 kPa
  4. 98,1 kPa

الإجابة: 49,05 kPa. p = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa = 49,05 kPa. وحذف g يعطي 5 kPa، وهذه كتلة لكل مساحة وليست ضغطًا.

2القوة على جدار رأسي

على جدار رأسي ينمو الضغط خطيًا من الصفر عند السطح إلى ρgh عند القاع. فالحمل على الجدار مثلث.

h = 3 mF

القوة الكلية هي مساحة ذلك المثلث مضروبة في عرض الجدار b:

F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b

وتؤثر القوة عبر مركز ثقل المثلث، على ثلث الارتفاع فوق القاعدة:

ȳ = h / 3 (فوق القاعدة)

إذن تؤثر القوة أسفل منتصف الجدار. وهذا منطقي: الجزء السفلي هو الأشد دفعًا.

تحقّق ذاتي ماء بعمق 2 m يستند إلى جدار رأسي عرضه 1 m. ما القوة المحصلة؟ (ρg = 9810 N/m³)
  1. 19,62 kN
  2. 39,24 kN
  3. 4 kN
  4. 9,81 kN

الإجابة: 19,62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19,62 kN. واستخدام ضغط القاعدة على الجدار كله (39,24 kN) ينسى ½: فالضغط صفر عند القمة.

3البوابات المغمورة ومركز الضغط

البوابة العميقة في جدار خزان لا تبدأ من السطح. وفي أي سطح مستوٍ تساوي القوة الضغط عند مركز ثقله مضروبًا في مساحته:

F = ρ · g · yc · A

yc هو عمق مركز الثقل. وفي بوابة مستطيلة ارتفاعها H وحافتها العليا على بعد d تحت السطح، yc = d + H/2 وA = H·b.

لا تؤثر القوة عند مركز الثقل. بل تؤثر أسفل منه قليلًا، عند مركز الضغط، لأن الجزء السفلي من البوابة يُدفع بقوة أكبر:

ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12

Ic هو عزم القصور الذاتي للمساحة (العزم الثاني للمساحة) للبوابة حول مركز ثقلها. وكلما كانت البوابة أعمق اقترب ycp من yc.

وفي جدار يبدأ من السطح (d = 0) يعطي هذا ycp = 2h/3 تحت السطح، وهو نفسه h/3 فوق القاعدة.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. ارسم السطح وعلّم عمقه تحت السطح الحر: الحافة العليا d والارتفاع H (أو العمق h للجدار).
  2. أوجد عمق مركز الثقل yc والمساحة A.
  3. استخدم كثافة السائل في السؤال: الماء 1000 وماء البحر 1025 والزيت 880 kg/m³.
  4. القوة: F = ρ·g·yc·A. اقسم على 1000 للحصول على kN.
  5. إذا طُلب خط التأثير: ycp = yc + Ic/(yc·A)، مقيسًا نزولًا من السطح الحر.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

بوابة رأسية مستطيلة عرضها 2 m وارتفاعها 2 m في جدار خزان ماء، وحافتها العليا على بعد 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصلة F على البوابة.

1

انظر إلى البوابة

d = 1 mH = 2 m

تمتد البوابة من 1 m إلى 3 m تحت السطح. وعرضها في اتجاه الصفحة b = 2 m.

2

عمق مركز الثقل

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
3

المساحة

A = H · b = 2 · 2 = 4 m²
4

الضغط عند مركز الثقل

pc = ρ·g·yc = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,62 kPa
5

القوة المحصّلة

F = pc · A = 19,62 · 4 = 78,48 kN
6

تحقّق من الإجابة

d = 1 mH = 2 mF

الضغط 9,81 kPa عند الحافة العليا و29,43 kPa عند الحافة السفلى. ومتوسطهما 19,62 kPa، فتكون القوة 19,62 · 4 = 78,48 kN مرة أخرى.

الإجابة

F = 78,48 kN، تؤثر أفقيًا على البوابة.

6أخطاء شائعة

  • وضع القوة عند مركز الثقل. إنها تؤثر أسفل منه: عند h/3 فوق القاعدة للجدار، وعند ycp للبوابة.
  • قياس ȳ من السطح بينما يطلب السؤال الارتفاع فوق القاعدة، أو العكس.
  • استخدام عمق الحافة العليا أو السفلى بدلًا من عمق مركز الثقل.
  • نسيان ½ لجدار يبدأ من السطح.
  • حذف g، أو استخدام كثافة الماء للزيت أو لماء البحر.
تحقّق ذاتي ماء بعمق 6 m يستند إلى جدار رأسي. أين تؤثر القوة المحصلة؟
  1. 2 m تحت السطح
  2. 2 m فوق القاعدة
  3. 3 m فوق القاعدة
  4. 4 m فوق القاعدة

الإجابة: 2 m فوق القاعدة. يؤثر الحمل المثلثي عبر مركز ثقله، h/3 = 2 m فوق القاعدة. أما 3 m فهو منتصف الجدار، حيث ستؤثر القوة لو كان الضغط منتظمًا فقط.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: ماء يستند إلى جدار رأسي من السطح إلى الأسفل. أوجد F = ½ρgh²b أو الارتفاع ȳ = h/3 فوق القاعدة.
  • متوسط: بوابة مستطيلة مغمورة في الماء. أوجد F = ρg·yc·A، كما في المثال.
  • صعب: البوابة نفسها في زيت أو ماء بحر أو غليسرين، وأحيانًا عمق مركز الضغط ycp.

للبوابة في المثال: Ic = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴، إذن ycp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m تحت السطح. وهذا أسفل مركز الثقل بـ 0,167 m.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
h = 4 m

يقف الماء بعمق 4 m أمام جدار رأسي. أوجد الارتفاع ȳ فوق القاعدة الذي تؤثّر عنده القوة المحصّلة.

h = 4 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

المطلوب: ȳ (m)

أظهر التلميحات
  1. الضغط في سائل ساكن p = ρ·g·z.
  2. مخطط الضغط على الجدار مثلث. F هي مساحته مضروبة في العرض؛ وتمرّ بمركزه.
  3. الضغط عند القاعدة 39,24 kPa.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

القوة الهيدروستاتيكية: على سطح مستوٍ F = ρ·g·yc·A، حيث yc عمق المركز. وتؤثّر أسفل المركز، عند مركز الضغط.

h = 4 mF

يتغيّر الضغط خطيًا مع العمق

p = ρ·g·z، من الصفر عند السطح إلى ρ·g·h عند القاع، لذا الحمل على الجدار مثلثي.

pbase = ρgh = 1000·9,81·4 = 39,24 kPa

خط التأثير

يؤثّر الحمل المثلثي في مركزه، على ثلث الارتفاع من القاعدة
ȳ = h/3 = 4/3 = 1,333 m فوق القاعدة

الإجابة

ȳ = 1,333 m
مثال 2متوسطة
بوابةd = 4 mH = 1,5 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

المطلوب: F (kN)

أظهر التلميحات
  1. لسطح مستوٍ F = ρ·g·yc·A، حيث yc عمق مركز البوابة.
  2. مركز المستطيل في منتصف ارتفاعه: yc = d + H/2.
  3. yc = 4,75 m.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
بوابةd = 4 mH = 1,5 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

الإجابة

F = 209,7 kN
مثال 3صعبة
بوابةd = 2 mH = 2 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

المطلوب: ycp (m)

أظهر التلميحات
  1. لسطح مستوٍ F = ρ·g·yc·A، حيث yc عمق مركز البوابة.
  2. استخدم ycp = yc + Ic/(yc·A) مع Ic = bH³/12.
  3. yc = 3 m.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
بوابةd = 2 mH = 2 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·3 = 90,5 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

الإجابة

ycp = 3,111 m

أسئلة وأجوبة

ما هو القوة الهيدروستاتيكية؟

الماء الساكن يدفع كل سطح يلامسه: جدار خزان أو سد أو بوابة هويس. وهذا الدفع هو القوة الهيدروستاتيكية.

كلما نزلت أعمق دفع الماء بقوة أكبر. تشعر بذلك في أذنيك عندما تغوص إلى قاع بركة.

كيف تحل مسائل القوة الهيدروستاتيكية خطوة بخطوة؟

القوة الهيدروستاتيكية: على سطح مستوٍ F = ρ·g·yc·A، حيث yc عمق المركز. وتؤثّر أسفل المركز، عند مركز الضغط.

ماذا تغطي تمارين القوة الهيدروستاتيكية؟
  • سهلة: جدار رأسي
  • متوسطة: بوابة مغمورة
  • صعبة: مركز الضغط

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

الاستمرارية وبرنولي

الآلات الحاسبة

حاسبة الكثافة (الكتلة والحجم والكثافة)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

ميكانيكا الموائعالفيزياء للمهندسينالهندسة الجيوتقنيةالهندسة الهيدروليكيةالتدريب لاختبار FE للهندسة المدنية

مواضيع أخرى في المدنية

قوة القص وعزم الانحناءالجملون: طريقة العقدترخيم الكمرةالمركز وعزم القصور الذاتيانبعاج الأعمدةالإجهاد الفعّال في التربةهبوط التصلّبالجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل القوة الهيدروستاتيكية مع الإجابات
تدرّب على القوة الهيدروستاتيكية مجانًاتدرّب على القوة الهيدروستاتيكية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.