انبعاج الأعمدة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في انبعاج الأعمدة مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: طرفان مفصليان, شروط ارتكاز أخرى, التصميم والإجهاد الحرج.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
PL = 2,5 m40 × 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 80 mm
kN
المسألة التالية →
تدرّب على انبعاج الأعمدة مجانًاتدرّب على انبعاج الأعمدة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةطرفان مفصليان
  2. متوسطةشروط ارتكاز أخرى
  3. صعبةالتصميم والإجهاد الحرج

الصيغ الأساسية

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

تعلّم انبعاج الأعمدة من البداية

قبل هذا: المركز وعزم القصور الذاتي

1ما هو الانبعاج

اضغط على طرفي مسطرة بلاستيكية. في البداية لا يبدو أن شيئًا يحدث. ثم تنحني فجأة إلى الجانب. هذا هو الانبعاج.

العمود عنصر يتعرض لحمل ضغط على طوله: عمود في مبنى، أو دعامة في سقف، أو ساق مكبس.

PL

يفشل العمود القصير السميك بالسحق: يبلغ الإجهاد P/A مقاومة المادة. أما العمود الطويل النحيل فينبعج عند حمل أقل بكثير، بينما الإجهاد ما زال أقل بكثير من تلك المقاومة.

الحمل الذي ينبعج عنده العمود النحيل هو الحمل الحرج Pcr. وفوقه يكون العمود غير مستقر وينهار.

تحقّق ذاتي عمودان من الفولاذ لهما المقطع نفسه. طول أحدهما 2 m والآخر 4 m. أيهما ينبعج عند الحمل الأقل؟
  1. العمود ذو 2 m
  2. العمود ذو 4 m
  3. كلاهما عند الحمل نفسه
  4. لا واحد منهما: أعمدة الفولاذ لا تنبعج

الإجابة: العمود ذو 4 m. العمود الأطول أنحف، فينبعج بسهولة أكبر. والطول هو أهم عامل في الانبعاج.

2صيغة أويلر

أوجد ليونهارد أويلر الحمل الحرج لعمود نحيل:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E هو معامل يونغ للمادة: 200 GPa للفولاذ.
  • I هي عزم القصور الذاتي الثاني لمساحة المقطع. استخدم الأصغر: ينحني العمود في الاتجاه الأسهل.
  • L هو الطول، وK هو معامل الطول الفعّال، ويعتمد على كيفية تثبيت الطرفين.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

الطرف المفصلي يستطيع الدوران؛ والطرف المثبَّت لا يستطيع. وتثبيت الطرفين بإحكام أكبر يعطي طولًا فعّالًا KL أقصر وPcr أعلى بكثير، لأن KL مربّعة.

لساق دائرية I = π·d⁴/64. ولمستطيل b × h حيث b الضلع الأصغر، Imin = h·b³/12.

تحقّق ذاتي عمود مفصلي الطرفين له Pcr = 100 kN. صُنع العمود نفسه مثبَّتًا عند القاعدة وحرًّا عند القمة (K = 2). ما Pcr الآن؟
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

الإجابة: 25 kN. تُقسَم Pcr على K² = 4: 100/4 = 25 kN. القيمة 50 kN تنسى تربيع K؛ والقيمتان 200 و400 kN تضربان بدل أن تقسما.

3النحافة والإجهاد الحرج

قسمة Pcr على المساحة تعطي الإجهاد الحرج. وأوضح صيغة له تستخدم نصف قطر التدوير r ونسبة النحافة λ (لامدا):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

في ساق دائرية مصمتة، r = d/4.

لا تصح صيغة أويلر إلا ما دام σcr أقل من إجهاد الخضوع للمادة. وللفولاذ الإنشائي يعني ذلك نحافة تقارب λ > 100. أما الأعمدة الأقصر فتفشل بالخضوع أو بمزيج من الاثنين، وتحتاج إلى قواعد تصميم أخرى.

تحقّق ذاتي مقطع عمود مستطيل 20 mm × 40 mm. ما أصغر عزم قصور ذاتي ثانٍ للمساحة؟
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

الإجابة: 26 667 mm⁴. المحور الضعيف يُكعِّب الضلع الأصغر: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. والقيمة 106 667 للمحور القوي؛ و320 000 تنسى القسمة على 12؛ و7854 تستخدم صيغة الدائرة.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. اقرأ شروط الطرفين واختر K: 1 أو 2 أو 0,7 أو 0,5.
  2. أوجد أصغر I للمقطع، بوحدة mm⁴.
  3. حوّل إلى N وmm: L بالـ mm، وE بالـ N/mm² (GPa × 1000).
  4. الطول الفعّال: KL.
  5. الحمل الحرج: Pcr = π²EI/(KL)²، بالنيوتن N. اقسم على 1000 لتحصل على kN.
  6. إذا طُلب، تحقق من النحافة KL/r أو الإجهاد الحرج Pcr/A.

في سؤال تصميم بمعامل أمان n، يجب أن يكون Pcr = n·P. حُلّ صيغة أويلر لإيجاد I، ثم القطر.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

عمود فولاذي دائري مصمت (E = 200 GPa) قطره 40 mm وطوله 2 m، مفصلي الطرفين. أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr. ثم أوجده مرة أخرى للعمود نفسه مثبَّتًا عند القاعدة وحرًّا عند القمة.

1

انظر إلى العمود

PL = 2 m

مفصلي الطرفين، إذن K = 1 وKL = 2000 mm. وE = 200 000 N/mm².

2

عزم القصور الذاتي للمساحة

للمقطع الدائري قيمة I نفسها حول كل محور:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

الحمل الحرج

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

تحقق من انطباق صيغة أويلر

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

هذا أقل بكثير من إجهاد الخضوع للفولاذ (نحو 250 MPa)، فالعمود نحيل وصيغة أويلر صالحة.

5

قاعدة مثبَّتة، قمة حرة

الآن K = 2، فيتضاعف الطول الفعّال إلى 4000 mm وتنخفض Pcr بالعامل 2² = 4:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
الإجابة

Pcr = 62,0 kN لمفصلي الطرفين، و15,5 kN عند التثبيت في القاعدة وترك القمة حرة.

6أخطاء شائعة

  • اختيار K خاطئة، أو نسيان تربيعها.
  • استخدام I الأكبر للمستطيل. ينبعج العمود دائمًا حول محوره الضعيف.
  • خلط الوحدات: L بالأمتار مع E بـ N/mm². اعمل بالنيوتن والمليمتر طوال الحل.
  • استخدام π·d⁴/32 (العزم القطبي J من الالتواء) بدل π·d⁴/64.
  • تطبيق صيغة أويلر على عمود قصير سميك يكون إجهاده الحرج أعلى من إجهاد الخضوع.
تحقّق ذاتي عمود مفصلي الطرفين له Pcr = 40 kN. والعمود نفسه مثبَّت الطرفين (K = 0,5). ما Pcr؟
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

الإجابة: 160 kN. تُقسَم Pcr على K² = 0,25، فتصبح أكبر أربع مرات: 160 kN. القيمة 80 kN تنسى تربيع K؛ و10 kN تضرب في K² بدل أن تقسم عليها.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: طرفان مفصليان. أوجد Pcr لعمود دائري أو مستطيل من الفولاذ أو الألومنيوم.
  • متوسط: شروط طرفين أخرى. السؤال نفسه مع K = 2 أو 0,7 أو 0,5.
  • صعب: التصميم والإجهاد الحرج. أوجد أصغر قطر يحمل حملًا بمعامل أمان، أو أوجد النحافة وσcr.

في حالة التصميم لساق دائرية: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
PL = 5 md = 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

المطلوب: Pcr (kN)

أظهر التلميحات
  1. أويلر: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. معامل الطول الفعّال: K = 1 لعمود مفصلي الطرفين.
  3. I = 306796 mm⁴.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

الإجابة

Pcr = 8,478 kN
مثال 2متوسطة
PL = 2,5 md = 30 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

المطلوب: Pcr (kN)

أظهر التلميحات
  1. أويلر: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. معامل الطول الفعّال: K = 2 لعمود مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة.
  3. I = 39761 mm⁴.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2500 = 5000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

الإجابة

Pcr = 3,139 kN
مثال 3صعبة
PL = 2,5 md = 25 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

المطلوب: σcr (MPa)

أظهر التلميحات
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)²، مع r = √(I/A) نصف قطر الدوران.
  2. استخدم أصغر I، لأن العمود ينبعج حول أضعف محاوره.
  3. r = 6,25 mm.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

الإجهاد الحرج

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

الإجابة

σcr = 4,318 MPa

أسئلة وأجوبة

ما هو انبعاج الأعمدة؟

اضغط على طرفي مسطرة بلاستيكية. في البداية لا يبدو أن شيئًا يحدث. ثم تنحني فجأة إلى الجانب. هذا هو الانبعاج.

يفشل العمود القصير السميك بالسحق: يبلغ الإجهاد P/A مقاومة المادة. أما العمود الطويل النحيل فينبعج عند حمل أقل بكثير، بينما الإجهاد ما زال أقل بكثير من تلك المقاومة.

كيف تحل مسائل انبعاج الأعمدة خطوة بخطوة؟

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

ماذا تغطي تمارين انبعاج الأعمدة؟
  • سهلة: طرفان مفصليان
  • متوسطة: شروط ارتكاز أخرى
  • صعبة: التصميم والإجهاد الحرج

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المركز وعزم القصور الذاتي

الآلات الحاسبة

حاسبة انبعاج أويلر

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مقاومة الموادتحليل المنشآتتصميم الآلاتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكيةالتدريب لاختبار FE للهندسة المدنية

مواضيع أخرى في المدنية

قوة القص وعزم الانحناءالجملون: طريقة العقدترخيم الكمرةالمركز وعزم القصور الذاتيالإجهاد الفعّال في التربةهبوط التصلّبالقوة الهيدروستاتيكيةالجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل انبعاج الأعمدة مع الإجابات
تدرّب على انبعاج الأعمدة مجانًاتدرّب على انبعاج الأعمدة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.