الاستمرارية وبرنولي: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الاستمرارية وبرنولي مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الاستمرارية, تضييق أفقي, أنبوب صاعد.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0,75 m/sd2​ = 25 mm

يتدفّق الماء بسرعة 0,75 m/s في الجزء الواسع من الأنبوب، الذي قطره 75 mm. أوجد معدّل التدفّق الحجمي Q.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0,75 m/s
L/s
المسألة التالية →
تدرّب على الاستمرارية وبرنولي مجانًاتدرّب على الاستمرارية وبرنولي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالاستمرارية
  2. متوسطةتضييق أفقي
  3. صعبةأنبوب صاعد

الصيغ الأساسية

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

تعلّم الاستمرارية وبرنولي من البداية

قبل هذا: القوة الهيدروستاتيكية

1ما هو موضوع الاستمرارية وبرنولي

ضع إبهامك على طرف خرطوم الحديقة فينطلق الماء أسرع. إذ يجب أن تمرّ كمية الماء نفسها عبر فتحة أصغر، فيتحتم أن يتحرك أسرع.

هذه هي فكرة الاستمرارية: في أنبوب ممتلئ لا يستطيع الماء أن يتراكم أو يختفي. فما يدخل كل ثانية يجب أن يخرج كل ثانية.

الفكرة الثانية، معادلة برنولي، تربط السرعة والضغط والارتفاع. حيث يتسارع الماء ينخفض ضغطه. وحيث يصعد ينخفض ضغطه أيضًا.

وبالجمع بين الفكرتين تستطيع أن تتنبأ بالسرعة والضغط في أي موضع على طول الأنبوب. في هذا الموضوع يكون المائع غير قابل للانضغاط (كالماء) ويُهمل الفاقد بالاحتكاك.

تحقّق ذاتي يتدفق ماء في أنبوب يضيق. ماذا يحدث لسرعته في الجزء الضيق؟
  1. تزداد
  2. تنقص
  3. يبقى كما هو
  4. يتوقف الماء

الإجابة: تزداد. يجب أن يمرّ الحجم نفسه في الثانية عبر مساحة أصغر، فيتحتم أن يتحرك الماء أسرع.

2معدل التدفق والاستمرارية

معدل التدفق الحجمي Q هو حجم المائع الذي يمرّ في الثانية، بوحدة m³/s. اللتر في الثانية (L/s) يساوي 0,001 m³/s.

لمائع يتحرك بسرعة متوسطة v عبر مقطع مساحته A:

Q = A · v A = π · d² / 4

معدل التدفق الكتلي هو ṁ = ρ · Q، بوحدة kg/s، حيث ρ الكثافة (1000 kg/m³ للماء).

تنص الاستمرارية على أن Q هو نفسه عند كل مقطع من الأنبوب:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

في الأنابيب الدائرية يُختصر π/4، فيصبح v2 = v1 · (d1 / d2)². تنصيف القطر يجعل الماء أسرع أربع مرات.

تحقّق ذاتي يضيق أنبوب من 80 mm إلى 40 mm. يتحرك الماء بسرعة 1 m/s في الجزء العريض. ما سرعته في الجزء الضيق؟
  1. 0,25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

الإجابة: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. المساحة تتناسب مع مربع القطر. وإذا استخدمت نسبة القطرين دون تربيع حصلت على 2 m/s.

3معادلة برنولي

على طول خط انسياب دون فواقد تبقى الطاقة لكل متر مكعب من المائع ثابتة. ولها ثلاثة أجزاء: الضغط والحركة والارتفاع.

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: الضغط، بوحدة Pa.
  • ½ρv²: طاقة الحركة لكل m³، بوحدة Pa أيضًا.
  • ρgz: طاقة الارتفاع لكل m³، حيث z الارتفاع فوق أي مستوى مرجعي تختاره.

فإذا زاد جزء وجب أن ينقص جزء آخر. الماء الأسرع ضغطه أقل. والماء الأعلى ضغطه أقل.

حالة خاصة مفيدة هي خزان يفرغ عبر ثقب صغير على عمق h تحت السطح المفتوح. السطح بالكاد يتحرك والنقطتان عند ضغط الهواء، مما يعطي قانون تورشيلي:

v = √(2gh)
تحقّق ذاتي يفرغ خزان ماء مفتوح عبر ثقب صغير يقع 5 m تحت سطح الماء. بإهمال الفواقد، ما سرعة خروج النافورة من الثقب؟ (g = 9,81 m/s²)
  1. 49,1 m/s
  2. 7,00 m/s
  3. 9,90 m/s
  4. 98,1 m/s

الإجابة: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. نسيان العدد 2 يعطي 7,00 m/s، ونسيان الجذر التربيعي يعطي 98,1.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. ارسم الأنبوب وأرقم مقطعين: المقطع 1 حيث تعرف أكثر، والمقطع 2 حيث المجهول.
  2. حوّل الوحدات: من mm إلى m، ومن kPa إلى Pa، ومن L/s إلى m³/s.
  3. أوجد المساحات A = π·d²/4 واستخدم الاستمرارية لإيجاد السرعة المجهولة.
  4. اكتب معادلة برنولي بين المقطعين 1 و2. في أنبوب أفقي z1 = z2، فيُختصر حدا الارتفاع.
  5. أوجد المجهول، ثم حوّل إلى kPa إذا لزم.

حافظ على اتساق الوحدات. مع ρ بوحدة kg/m³ وv بوحدة m/s، يخرج الحد ½ρv² بوحدة Pa لا kPa.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

يتدفق ماء (ρ = 1000 kg/m³) عبر أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 50 mm. في المقطع العريض الضغط 200 kPa والسرعة 1,5 m/s. بإهمال الفواقد، أوجد الضغط في المقطع الضيق.

1

ارسم الأنبوب

121,5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

المقطع 1 هو الجزء العريض، حيث كل شيء معلوم. والمقطع 2 هو الجزء الضيق.

2

السرعة في الجزء الضيق

يتنصّف القطر، فتزداد السرعة بالعامل (100/50)² = 4:

v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

اكتب معادلة برنولي

الأنبوب أفقي، فيُختصر حدا الارتفاع:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

عوّض بالباسكال

½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5

تحقّق من الإجابة

الماء أسرع في الجزء الضيق، لذا يجب أن يكون ضغطه أقل. و183,1 kPa أقل من 200 kPa، كما هو متوقع.

معدل التدفق هو Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s في المقطعين.

الإجابة

p2 ≈ 183,1 kPa في المقطع الضيق (v2 = 6 m/s).

6أخطاء شائعة

  • استخدام نسبة القطرين بدل نسبة المساحتين: السرعات تتغير مع مربع القطر.
  • استخدام نصف القطر كأنه القطر في A = π·d²/4، أو نسيان القسمة على 4.
  • الخلط بين kPa وPa. اعمل بالباسكال في معادلة برنولي، ثم حوّل في النهاية.
  • كتابة m³/s على أنها L/s. اضرب m³/s في 1000 لتحصل على L/s.
  • نسيان حد الارتفاع ρ·g·Δz عندما يصعد الأنبوب أو ينزل.
تحقّق ذاتي يتدفق الماء بسرعة 2 m/s في أنبوب قطره الداخلي 100 mm. ما معدل التدفق الحجمي؟
  1. 0,0157 L/s
  2. 15,7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62,8 L/s

الإجابة: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m²، إذن Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. نسيان القسمة على 4 يعطي 62,8، ونسيان π/4 يعطي 20.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: الاستمرارية. أوجد معدل التدفق أو معدل التدفق الكتلي أو السرعة في مقطع أضيق أو قطر الأنبوب اللازم لتدفق معطى. وتستخدم بعض الأسئلة قانون تورشيلي لخزان يُفرَّغ.
  • متوسط: مخفِّض أفقي. أوجد الضغط في أحد المقطعين من الآخر. وتستخدم الصيغ الأخرى مقياس فنتوري أو أنبوب بيتو (v = √(2Δp/ρ)) أو فتحة ذات معامل تصريف.
  • صعب: أنبوب صاعد. حد الارتفاع مهم: كل متر ارتفاع يخفض الضغط بمقدار ρ·g·1 = 9,81 kPa للماء. وتشمل الصيغ الأخرى السيفون وخزانًا مضغوطًا ونافورة.

في المثال أعلاه، ارتفاع قدره 5 m بين المقطعين سيخفض p2 بمقدار إضافي 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa، إلى 134,1 kPa.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2,75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

يتدفّق الماء في أنبوب يضيق قطره من 100 mm إلى 50 mm. السرعة في الجزء الواسع 2,75 m/s. أوجد السرعة v2 في الجزء الضيق.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s

المطلوب: v2 (m/s)

أظهر التلميحات
  1. يمرّ الحجم نفسه من الماء عبر كل مقطع كل ثانية: Q = A·v.
  2. A₁v₁ = A₂v₂، والمساحة تتناسب مع d²، لذا v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
  3. A1 = 0,007854 m².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية

معدّل التدفّق واحد في المقطعين.

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

الإجابة

v2 = 11 m/s
مثال 2متوسطة
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 150 mm إلى 50 mm. في الجزء الواسع الضغط 250 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

المطلوب: p2 (kPa)

أظهر التلميحات
  1. استخدم الاستمرارية أولًا لإيجاد السرعة في الجزء الضيق.
  2. برنولي لأنبوب أفقي: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
  3. v2 = 4,5 m/s.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

الإجابة

p2 = 240 kPa
مثال 3صعبة
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 190 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 25 mm، تقع 4 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².

pair = 190 kPa (مقيس)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

المطلوب: Q (L/s)

أظهر التلميحات
  1. برنولي من سطح الماء (ضغط مقيس p، ساكن) إلى النفث (ضغط جوي).
  2. p/ρ + gh = ½v²، لذا v = √(2(p/ρ + gh)) مع p بوحدة Pa.
  3. p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

برنولي من السطح إلى النفث

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·v = 0,0004909·21,41 = 0,01051 m³/s = 10,51 L/s

الإجابة

Q = 10,51 L/s

أسئلة وأجوبة

ما هو الاستمرارية وبرنولي؟

ضع إبهامك على طرف خرطوم الحديقة فينطلق الماء أسرع. إذ يجب أن تمرّ كمية الماء نفسها عبر فتحة أصغر، فيتحتم أن يتحرك أسرع.

هذه هي فكرة الاستمرارية: في أنبوب ممتلئ لا يستطيع الماء أن يتراكم أو يختفي. فما يدخل كل ثانية يجب أن يخرج كل ثانية.

كيف تحل مسائل الاستمرارية وبرنولي خطوة بخطوة؟

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

ما الأخطاء الشائعة في الاستمرارية وبرنولي؟
  • ضغط الهواء يدفع الماء إلى الخارج أيضًا: أدخل p/ρ في معادلة برنولي.
  • ارتفاع الماء يزيد السرعة أيضًا: v = √(2(p/ρ + gh)).
ماذا تغطي تمارين الاستمرارية وبرنولي؟
  • سهلة: الاستمرارية
  • متوسطة: تضييق أفقي
  • صعبة: أنبوب صاعد

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

القوة الهيدروستاتيكية

ثم تابع مع

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الآلات الحاسبة

حاسبة معادلة برنولي

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

ميكانيكا الموائعالفيزياء للمهندسينالهندسة الهيدروليكيةالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإطارات والآلاتالإجهاد والانفعال المحوريالتواء الأعمدةدائرة مور وتحويل الإجهادحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالاهتزازات الميكانيكيةالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةاحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراريالتروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الاستمرارية وبرنولي مع الإجابات
تدرّب على الاستمرارية وبرنولي مجانًاتدرّب على الاستمرارية وبرنولي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.