الإجهاد والانفعال المحوري: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الإجهاد والانفعال المحوري مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الإجهاد العمودي, الانفعال والاستطالة, قضيب مدرَّج.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 800 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 80 kN. أوجد إجهاد الضغط σr في القضيب.

P = 80 kNالقضيب: Ø30 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
المسألة التالية →
تدرّب على الإجهاد والانفعال المحوري مجانًاتدرّب على الإجهاد والانفعال المحوري الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالإجهاد العمودي
  2. متوسطةالانفعال والاستطالة
  3. صعبةقضيب مدرَّج

الصيغ الأساسية

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

تعلّم الإجهاد والانفعال المحوري من البداية

1ما هو الإجهاد

اسحب قضيبًا من الفولاذ فإنه يقاوم. وانكساره لا يتوقف على القوة وحدها، بل على مقدار المادة التي تتقاسم تلك القوة.

يمكن لسلك رفيع وكابل سميك أن يحملا الحمل نفسه. والسلك الرفيع أرجح بكثير أن يفشل، لأن كل ميليمتر مربع فيه يحمل أكثر.

dLP

الإجهاد العمودي σ (سيغما) هو القوة لكل وحدة مساحة من المقطع العرضي. وتؤثر القوة P على امتداد محور القضيب، ولذلك يسمى هذا حملًا محوريًا.

σ = P / A

يعمل المهندسون بالنيوتن والميليمتر. والنيوتن لكل ميليمتر مربع يساوي ميغاباسكال واحدًا:

1 N/mm² = 1 MPa

لذا حوّل kN إلى N أولًا (× 1000). وللقضيب الدائري ذي القطر d تكون المساحة مساحة دائرة:

A = π · d² / 4
تحقّق ذاتي قضيب مساحة مقطعه 100 mm² يحمل 10 kN. ما الإجهاد؟
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

الإجابة: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. والقيمة 0,1 MPa تنتج عن نسيان تحويل kN إلى N.

2الانفعال وقانون هوك

تحت الحمل يزداد طول القضيب قليلًا أيضًا. وهذا التغير في الطول هو الاستطالة δ (دلتا).

dLδP

الانفعال ε (إبسيلون) هو الاستطالة مقسومة على الطول الأصلي. وهو بلا وحدة، لأنه mm لكل mm:

ε = δ / L

الانفعالات في الفلزات صغيرة جدًا، لذا تُعطى غالبًا بـ الانفعال الميكروي: 1 µε = 10⁻⁶. والانفعال 0,0008 يساوي 800 µε.

في معظم المواد يتناسب الإجهاد مع الانفعال ما دام الحمل ليس كبيرًا جدًا. وهذا هو قانون هوك:

σ = E · ε

E هو معامل يونغ، وهو صلابة المادة. للفولاذ E ≈ 200 GPa وللألمنيوم نحو 70 GPa. وبما أن 1 GPa = 1000 MPa، فللفولاذ E = 200 000 MPa.

يعطي الجمع بين الصيغ الثلاث الاستطالة مباشرةً:

δ = P · L / (A · E)
تحقّق ذاتي قضيب فولاذي (E = 200 GPa) إجهاده 200 MPa. ما الانفعال؟
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

الإجابة: 0,001. حوّل E إلى MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. ثم ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. أما قسمة 200 على 200 دون تحويل فتعطي 1، وهي كبيرة جدًا.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب كل القيم بوحدتي N وmm: P بالنيوتن (kN × 1000)، والأطوال بالميليمتر (m × 1000)، وE بـ MPa (GPa × 1000).
  2. أوجد المساحة: A = π·d²/4 للقضيب الدائري.
  3. أوجد الإجهاد: σ = P/A، بوحدة MPa.
  4. أوجد الانفعال: ε = σ/E. اضرب في 10⁶ إذا طُلبت الإجابة بـ µε.
  5. أوجد الاستطالة: δ = ε·L، بوحدة mm.

توقّف عند الخطوة التي يطلبها السؤال. معظم الأسئلة لا تستخدم إلا أول خطوتين أو ثلاث.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

قضيب فولاذي (E = 200 GPa) قطره 20 mm وطوله 2 m. يحمل حملًا محوريًا شادًّا مقداره 50 kN. أوجد الإجهاد والانفعال والاستطالة.

1

انظر إلى القضيب وحوّل الوحدات

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N وL = 2 m = 2000 mm وE = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

المساحة

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

الإجهاد

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

وهذا أقل بكثير من مقاومة الفولاذ العادي (نحو 250 MPa)، لذا ينطبق قانون هوك.

4

الانفعال

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

الاستطالة

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

تحقّق من الإجابة

استخدم الصيغة المركّبة كطريق ثانٍ:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

استطالة قضيب فولاذي طوله 2 m بنحو 1,6 mm أمر واقعي: انفعالات الفولاذ تبقى أقل بكثير من 0,2 %.

الإجابة

σ = 159,2 MPa وε = 796 µε وδ = 1,59 mm.

5القضبان ذات الأجزاء المتعددة

القضيب المتدرّج يتكوّن من أجزاء بأقطار مختلفة، وأحيانًا من مواد مختلفة.

A1​L1​A2​L2​P

اقطع القضيب في أي موضع وانظر إلى الجزء الواقع يمين القطع. لا يشدّه إلا P، لذا يحمل كل جزء القوة P نفسها.

المساحات مختلفة، فالإجهادات مختلفة. والجزء الأرفع له أكبر إجهاد.

يستطيل كل جزء بمفرده، بقيم A وL وE الخاصة به. والاستطالة الكلية هي المجموع:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
تحقّق ذاتي قضيب متدرّج يحمل 20 kN. مساحة الجزء 1 هي A = 400 mm² ومساحة الجزء 2 هي A = 100 mm². ما أكبر إجهاد في القضيب؟
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

الإجابة: 200 MPa. كلا الجزأين يحمل 20 kN. الجزء الرفيع إجهاده 20 000/100 = 200 MPa. والقيمة 50 MPa للجزء السميك، و40 MPa تجمع المساحتين خطأً، و250 MPa تجمع الإجهادين خطأً.

6أخطاء شائعة

  • نسيان تحويل kN إلى N، فيصبح الإجهاد أصغر بـ 1000 مرة.
  • استخدام E بـ GPa بجانب إجهاد بـ MPa. اكتب E بـ MPa (GPa × 1000).
  • استخدام π·d² أو π·d بدلًا من π·d²/4 لمساحة الدائرة.
  • ترك L بالأمتار بينما المطلوب أن تكون δ بالميليمترات.
  • تقسيم P بين أجزاء القضيب المتدرّج. كل جزء يحمل P كاملة.
تحقّق ذاتي قضيب مساحته A = 30 mm² يحمل P = 6 kN. ما الإجهاد؟
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

الإجابة: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. القيمة 0,2 MPa تستخدم 6 بدلًا من 6000 N؛ و5 MPa تقسم المساحة على القوة؛ و180 تضربهما.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: الإجهاد العمودي. قضيب دائري قطره d يحمل P؛ أوجد σ = P/A.
  • متوسط: الانفعال والاستطالة. تُعطى أيضًا L وE للمادة؛ أوجد ε (بـ µε) أو δ (بـ mm).
  • صعب: قضيب متدرّج بجزأين، ربما من مادتين مختلفتين. أوجد الاستطالة الكلية أو أكبر إجهاد.

اكتب الوحدات بجانب كل رقم. تقريبًا كل الإجابات الخاطئة في هذا الموضوع تخطئ بمعامل 1000.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 500 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 300 kN. أوجد إجهاد الضغط σr في القضيب.

P = 300 kNالقضيب: Ø30 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

المطلوب: σr (MPa)

أظهر التلميحات
  1. اللوحان صلبان: ينضغط القضيب والأنبوب بالمقدار نفسه، فالانفعال ε واحد فيهما.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

الانفعال المشترك

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

الإجهاد في القضيب

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

الإجابة

σr = 70,74 MPa
مثال 2متوسطة
Ø 20 mmالنحاس الأصفر2,5 mP = 10 kN

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

المطلوب: ε (µε)

أظهر التلميحات
  1. اربط ثلاث علاقات: σ = P/A، ε = σ/E، δ = ε·L.
  2. حوّل E إلى MPa (GPa × 1000) ليتوافق مع الإجهاد بالـ MPa، وحوّل L إلى mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

الإجابة

ε = 318,3 µε
مثال 3صعبة
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 40 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

المطلوب: σ2 (MPa)

أظهر التلميحات
  1. تتحرك الوصلة بالمقدار نفسه لكلا المقطعين: أحدهما يستطيل والآخر ينضغط.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

حصة المقطع 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

الإجهاد

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (ضغط)

الإجابة

σ2 = 9,821 MPa

أسئلة وأجوبة

ما هو الإجهاد والانفعال المحوري؟

اسحب قضيبًا من الفولاذ فإنه يقاوم. وانكساره لا يتوقف على القوة وحدها، بل على مقدار المادة التي تتقاسم تلك القوة.

يمكن لسلك رفيع وكابل سميك أن يحملا الحمل نفسه. والسلك الرفيع أرجح بكثير أن يفشل، لأن كل ميليمتر مربع فيه يحمل أكثر.

كيف تحل مسائل الإجهاد والانفعال المحوري خطوة بخطوة؟

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

ما الأخطاء الشائعة في الإجهاد والانفعال المحوري؟
  • لا تتقاسم المادتان الإجهاد بالتساوي: بل تتقاسمان الانفعال. والأكثر صلابة يتعرض لإجهاد أكبر.
  • يحمل الأنبوب جزءًا من الحمل.
  • هذا هو الإجهاد في الأنبوب.
ماذا تغطي تمارين الإجهاد والانفعال المحوري؟
  • سهلة: الإجهاد العمودي
  • متوسطة: الانفعال والاستطالة
  • صعبة: قضيب مدرَّج

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

دائرة مور وتحويل الإجهادالتواء الأعمدة

الآلات الحاسبة

حاسبة الإجهاد والانفعال المحوريينحاسبة التمدد الحراري

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مقاومة الموادتصميم الآلاتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإطارات والآلاتالتواء الأعمدةدائرة مور وتحويل الإجهادحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالاهتزازات الميكانيكيةالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةالاستمرارية وبرنولياحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراريالتروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الإجهاد والانفعال المحوري مع الإجابات
تدرّب على الإجهاد والانفعال المحوري مجانًاتدرّب على الإجهاد والانفعال المحوري الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.