دوران الجسم الجاسئ: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: ماذا تغطي تمارين دوران الجسم الجاسئ؟

سهلة: عزم القصور الذاتي متوسطة: ΣM = Iα، والشغل والقدرة صعبة: التدحرج وكمية الحركة الزاوية لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في دوران الجسم الجاسئ مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: عزم القصور الذاتي, ΣM = Iα، والشغل والقدرة, التدحرج وكمية الحركة الزاوية.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

قضيب نحيف منتظم كتلته 4 kg وطوله 2,1 m يدور حول محور O عمودي على القضيب، على بعد 0,5 m من مركزه G. أوجد عزم قصوره الذاتي الكتلي I_O حول ذلك المحور.

m = 4 kgL = 2,1 md = 0,5 m

المسألة التالية →

تدرّب على دوران الجسم الجاسئ مجانًا تدرّب على دوران الجسم الجاسئ الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةعزم القصور الذاتي
متوسطةΣM = Iα، والشغل والقدرة
صعبةالتدحرج وكمية الحركة الزاوية

كيف تحلّ مسائل دوران الجسم الجاسئ

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

أخطاء شائعة

استخدام عزم القصور الذاتي حول المركز لجسم يدور حول طرفه.
نسيان الطاقة الحركية الدورانية للجسم المتدحرج أو للبكرة.
ترك السرعات بوحدة rpm في صيغ ω أو E أو P.
افتراض أن الطاقة الحركية محفوظة عندما تتماسك الأجسام أو تلتصق معًا.

الصيغ الأساسية

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

تعلّم دوران الجسم الجاسئ من البداية

قبل هذا: قوانين نيوتن, الشغل والطاقة

1ما هو دوران الجسم الجاسئ

الجسم الجاسئ جسم يحتفظ بشكله: دولاب موازنة أو بكرة أو باب أو عجلة متدحرجة. وفي هذا الموضوع يدور الجسم حول محور.

كل نقطة من الجسم تدور بالزاوية نفسها في الزمن نفسه. لذا تصف الحركة بكميات زاوية بدلًا من المسافات:

θ: الزاوية المقطوعة، بالراديان (rad). والدورة الواحدة 2π rad.
ω: السرعة الزاوية، بوحدة rad/s.
α: التسارع الزاوي، بوحدة rad/s².

تعطي الآلات السرعات بالدورات في الدقيقة (rpm). حوّلها قبل الحساب:

ω = 2π·n / 60

النقطة على بعد r من المحور تتحرك بسرعة v = ω·r ولها تسارع a = α·r على امتداد مسارها.

كل ما تعرفه عن الحركة المستقيمة له توأم دوراني: القوة تصبح عزمًا، والكتلة تصبح عزم القصور الذاتي، وΣF = m·a تصبح ΣM = I·α.

تحقّق ذاتي تدور عجلة بسرعة 600 rpm. ما سرعتها الزاوية بوحدة rad/s؟

10 rad/s
3770 rad/s
600 rad/s
62,8 rad/s

الإجابة: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. أما 10 فهي الدورات في الثانية (ينقصها 2π)، و3770 ينسى القسمة على 60، و600 لا تزال بوحدة rpm.

2عزم القصور الذاتي

تخبرك الكتلة بمدى صعوبة تسريع جسم في خط مستقيم. وعزم القصور الذاتي الكتلي I يخبرك بمدى صعوبة جعله يدور.

الكتلة البعيدة عن المحور تُحتسب أكثر بكثير من القريبة منه، لأنها تُحتسب بمربع بعدها:

I = Σ m·r² (الوحدة: kg·m²)

لا تحتاج إلى جمع القطع بنفسك. تعلّم هذه النتائج القياسية حول مركز الكتلة G:

قضيب رفيع طوله L، والمحور عبر المنتصف: m·L²/12.
قرص مصمت أو أسطوانة مصمتة نصف قطرها R: ½·m·R².
حلقة رفيعة أو طوق: m·R².
كرة مصمتة: (2/5)·m·R². كرة مجوّفة: (2/3)·m·R².
كتلة نقطية على بعد r: m·r².

عندما لا يمر المحور O بـ G، استخدم مبرهنة المحاور المتوازية. وهنا d المسافة بين O وG:

I_O = I_G + m·d²

قضيب يدور حول طرفه له d = L/2، فـ I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

بعض الأسئلة تعطي نصف قطر التدوير k بدلًا من الشكل. عندئذٍ I = m·k². وللجسم المكوَّن من أجزاء، أوجد I لكل جزء حول المحور نفسه واجمع.

تحقّق ذاتي قضيب منتظم كتلته 3 kg وطوله 2 m يدور حول أحد طرفيه. ما عزم قصوره الذاتي؟

1 kg·m²
12 kg·m²
3 kg·m²
4 kg·m²

الإجابة: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m²، أو I_G + m·d² = 1 + 3·1² = 4. والقيمة 1 kg·m² هي القيمة حول المركز، و3 kg·m² هي الجزء m·d² فقط، و12 kg·m² هي m·L² بلا أي معامل.

3العزوم والطاقة وكمية الحركة الزاوية

ثلاث أدوات تحل كل مسائل الدوران تقريبًا. اختر ما يناسب السؤال.

1. العزوم. مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α. استخدمه للتسارعات والقوى.

ΣM = I·α

مع عزم ثابت يكون للحركة الزاوية α ثابت، وتكون لمعادلات علم الحركة توائم دورانية: ω = ω₀ + α·t وω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. الطاقة. الجسم الدوّار يخزّن طاقة حركية. والعزم T الذي يدير الجسم زاوية θ يبذل شغلًا، وقدرة عمود يدور هي العزم مضروبًا في السرعة الزاوية:

E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω

الجسم الذي يتدحرج دون انزلاق يتحرك ويدور في الوقت نفسه، مع v = ω·r. وله نوعا الطاقة الحركية معًا:

E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)

العدد c يتوقف على الشكل فقط: 0,4 للكرة المصمتة، و0,5 للأسطوانة المصمتة، و2/3 للكرة المجوّفة، و1 للطوق. وعلى منحدر a = g·sin θ / (1 + c).

3. كمية الحركة الزاوية. L = I·ω. وعندما لا يؤثر عزم خارجي حول المحور تبقى L ثابتة، حتى لو تماسكت الأجسام وفُقدت الطاقة الحركية:

I₁·ω₁ = I₂·ω₂

تحقّق ذاتي يعطي محرك عزمًا قدره 100 N·m عند 600 rpm. ما قدرته؟

1 kW
377 kW
6,28 kW
60 kW

الإجابة: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s، إذن P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. و60 kW تستخدم rpm كـ ω، و1 kW تستخدم الدورات في الثانية، و377 kW تنسى القسمة على 60.

4الطريقة خطوة بخطوة

ارسم الجسم واختر المحور: محور الارتكاز الثابت أو العمود، أو المركز لجسم يتدحرج.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور. استخدم النتائج القياسية وأضف m·d² حين يُزاح المحور.
حوّل كل سرعة بـ rpm إلى rad/s بالعلاقة ω = 2π·n/60.
اختر الأداة. التسارعات والقوى: ΣM = I·α (مع ΣF = m·a للأجزاء التي تتحرك في خط مستقيم). السرعات بعد مسافة أو زاوية: الطاقة. الاصطدامات والتماسك المفاجئ والأجسام التي تسحب كتلتها إلى الداخل: كمية الحركة الزاوية.
اربط الحركة المستقيمة بالدورانية حيث يصل بينهما حبل أو تلامس متدحرج: v = ω·r وa = α·r.
حُلّ، وتحقّق من النتيجة بأداة ثانية إن أمكن.

لجسم معلق بحبل حول بكرة، ارسم مخططين للجسم الحر: واحدًا للكتلة (قوى) وآخر للبكرة (عزوم). ويظهر شد الحبل في كليهما.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

كتلة 2 kg معلقة بحبل خفيف ملفوف حول بكرة. البكرة قرص مصمت منتظم كتلته 4 kg ونصف قطره 0,2 m على محور عديم الاحتكاك. تُترك الكتلة من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الكتلة والشد في الحبل وسرعة الكتلة بعد أن تسقط 1 m.

عزم القصور الذاتي للبكرة

البكرة قرص مصمت يدور حول مركزه.

I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²

معادلة الكتلة

اعتبر الأسفل موجبًا للكتلة. تسحبها الجاذبية إلى الأسفل ويسحبها شد الحبل T إلى الأعلى.

m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a

معادلة البكرة

الشد وحده له عزم حول المحور، بذراع R. الحبل لا ينزلق، إذن α = a/R.

T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a

حُلّ لإيجاد a وT

ضع T = 2·a في معادلة الكتلة.

19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²

T = 2 · 4,905 = 9,81 N

تدور البكرة بتسارع زاوي α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².

السرعة بعد 1 m

التسارع ثابت وتبدأ الكتلة من السكون، فاستخدم v² = 2·a·s.

v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s

تحقّق من الإجابة

استخدم الطاقة بدلًا من ذلك. طاقة الوضع المفقودة تصبح طاقة حركية للكتلة وللبكرة، مع ω = v/R.

m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²

إذن v² = 9,81 وv ≈ 3,13 m/s، وهي نفسها كما سبق.

الإجابة

a ≈ 4,91 m/s² وT ≈ 9,81 N وv ≈ 3,13 m/s بعد 1 m.

6أخطاء شائعة

ترك السرعات بوحدة rpm في ω أو E = ½·I·ω² أو P = T·ω. حوّل إلى rad/s أولًا.
استخدام عزم القصور الذاتي حول المركز لجسم يدور حول طرفه. أضف m·d².
نسيان الطاقة الحركية الدورانية للجسم المتدحرج أو للبكرة.
معاملة كرة أو قرص على طرف قضيب ككتلة نقطية. أضف I الخاص به حول مركزه أيضًا.
افتراض أن الطاقة الحركية محفوظة حين تتماسك الأجسام أو تلتصق. استخدم كمية الحركة الزاوية بدلًا من ذلك.
عدّ الدورات بالراديان: N = θ/(2π).

تحقّق ذاتي أسطوانة مصمتة كتلتها 2 kg تتدحرج دون انزلاق بسرعة 3 m/s. ما طاقتها الحركية الكلية؟

13,5 J
18 J
4,5 J
9 J

الإجابة: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J، مع c = 0,5 للأسطوانة المصمتة. و9 J هي الجزء المتحرك فقط، و4,5 J هي الجزء الدوّار فقط، و18 J تستخدم c = 1، وهي قيمة الطوق.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: عزم القصور الذاتي. قضيب حول محور مزاح، أو بندول من قضيب وكرة أو قرص، أو الطاقة الحركية لدولاب موازنة، أو العزم أو الزمن اللازم لتدوير دولاب موازنة.
متوسط: ΣM = I·α، والشغل والقدرة. قضيب يُترك من الوضع الأفقي، وكتلة على بكرة، وعدد الدورات التي يقطعها دولاب موازنة مكبوح، وعزم أو قدرة عمود، أو سرعة قضيب متأرجح.
صعب: التدحرج وكمية الحركة الزاوية. كرة أو أسطوانة أو طوق يتدحرج على منحدر، والاحتكاك اللازم للتدحرج، وحصة الطاقة الدورانية، وحلقة تسقط على قرص يدور، وشخص يسحب أثقالًا، أو رصاصة تصطدم بقضيب معلق.

لدولاب موازنة مكبوح، يبذل الكابح شغلًا يساوي الطاقة المخزّنة: T·θ = ½·I·ω². اقسم θ على 2π للحصول على عدد الدورات.

قضيب مثبّت عند طرفه ويُترك من الوضع الأفقي له α = 3·g/(2·L) بعد الإفلات مباشرةً. ويتسارع طرفه الحر بمقدار 1,5·g.

في رصاصة تستقر في قضيب، تُحفظ كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز: m·v·d = (I_rod + m·d²)·ω.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

بندول مكوّن من قضيب نحيف منتظم (0,5 kg، طوله 1,5 m) مثبَّت بمسمار عند طرفه العلوي O، وكرة مصمتة كتلتها 4,5 kg ونصف قطرها 0,05 m مثبّتة عند طرفه السفلي. مركز الكرة على بعد 1,55 m تحت O. أوجد عزم القصور الذاتي الكتلي I_O للبندول حول O.

m_rod = 0,5 kgL = 1,5 mm_sphere = 4,5 kgr = 0,05 md = 1,55 m

المطلوب: I_O (kg·m²)

أظهر التلميحات

اجمع عزوم القصور الذاتي للأجزاء، كلٌّ حول المحور نفسه O.
القضيب حول طرفه: m·L²/3. الجسم: عزم قصوره الذاتي حول مركزه زائد m·d² (نظرية المحور الموازي).
القضيب: 0,375 kg·m², الجسم: 10,82 kg·m².

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Mass moment of inertia: I = Σm·r² measures how hard a body is to set spinning. Standard results about the centre of mass G: slender rod m·L²/12, solid disc or cylinder ½·m·R², thin ring m·R², solid sphere (2/5)·m·R². The parallel-axis theorem moves the axis a distance d away from G: I = I_G + m·d². With a radius of gyration k, I = m·k². A spinning body has kinetic energy ½·I·ω², and a constant torque gives T = I·α. Convert speeds with ω = 2π·n/60 for n in rpm.

القضيب حول طرفه

I_rod = m·L²/3 = 0,5·1,5²/3 = 0,375 kg·m²

الجسم حول المسمار

عزم قصوره الذاتي حول مركزه، منقولًا إلى O بنظرية المحور الموازي.

I_c = (2/5)·m·r² = (2/5)·4,5·0,05² = 0,0045 kg·m²

I_body = 0,0045 + 4,5·1,55² = 10,82 kg·m²

المجموع

I_O = 0,375 + 10,82 = 11,19 kg·m²

الإجابة

I_O = 11,19 kg·m²

مثال 2متوسطة

جسم كتلته 9,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 12,5 kg ونصف قطره 0,45 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الجسم v بعد أن يهبط 3,5 m.

m = 9,5 kgM = 12,5 kgR = 0,45 mg = 9,81 m/s²h = 3,5 m

المطلوب: v (m/s)

أظهر التلميحات

ارسم مخططَي جسم حر: الجسم (m·g − T = m·a) والبكرة (T·R = I·α).
الحبل لا ينزلق، لذا a = α·R. مع I = ½·M·R² يُختصر نصف القطر: a = m·g/(m + M/2).
a = 5,917 m/s².

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 9,5·9,81/(9,5 + 6,25) = 5,917 m/s²

السرعة بعد الهبوط

v = √(2·a·h) = √(2·5,917·3,5) = 6,436 m/s

الإجابة

v = 6,436 m/s

مثال 3صعبة

جسم على شكل طوق رقيق يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². نصف قطره 0,15 m. أوجد سرعته الزاوية ω بعد أن يتدحرج 6,5 m على امتداد المنحدر.

θ = 35°s = 6,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

المطلوب: ω (rad/s)

أظهر التلميحات

الطاقة: m·g·h = ½·m·v² + ½·I·ω²، مع ω = v/r للتدحرج دون انزلاق.
مع I = c·m·r² يعطي هذا v = √(2·g·h/(1 + c))؛ وتُختصر الكتلة ونصف القطر.
h = s·sin θ = 3,728 m, c = 1.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 6,5·sin 35° = 3,728 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·3,728/2) = 6,048 m/s

ω = v/r = 6,048/0,15 = 40,32 rad/s

الإجابة

ω = 40,32 rad/s

أسئلة وأجوبة

ما هو دوران الجسم الجاسئ؟

كل نقطة من الجسم تدور بالزاوية نفسها في الزمن نفسه. لذا تصف الحركة بكميات زاوية بدلًا من المسافات:

تعطي الآلات السرعات بالدورات في الدقيقة (rpm). حوّلها قبل الحساب:

كيف تحل مسائل دوران الجسم الجاسئ خطوة بخطوة؟

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

ما الأخطاء الشائعة في دوران الجسم الجاسئ؟

استخدام عزم القصور الذاتي حول المركز لجسم يدور حول طرفه.
نسيان الطاقة الحركية الدورانية للجسم المتدحرج أو للبكرة.
ترك السرعات بوحدة rpm في صيغ ω أو E أو P.
افتراض أن الطاقة الحركية محفوظة عندما تتماسك الأجسام أو تلتصق معًا.

ماذا تغطي تمارين دوران الجسم الجاسئ؟

سهلة: عزم القصور الذاتي
متوسطة: ΣM = Iα، والشغل والقدرة
صعبة: التدحرج وكمية الحركة الزاوية

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

قوانين نيوتن الشغل والطاقة

الآلات الحاسبة

حاسبة العزم (القوة والقدرة وعدد الدورات في الدقيقة)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الديناميكا

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمرات الإطارات والآلات الإجهاد والانفعال المحوري التواء الأعمدة دائرة مور وتحويل الإجهاد حركة المقذوفات الشغل والطاقة الاهتزازات الميكانيكية المحرّكات الحرارية والثلاجات دورات القدرة الغازية الاستمرارية وبرنولي احتكاك الأنابيب وفاقد السمت المضخات وقدرة المضخات التوصيل الحراري التروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل دوران الجسم الجاسئ مع الإجابات

تدرّب على دوران الجسم الجاسئ مجانًا تدرّب على دوران الجسم الجاسئ الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.