دائرة مور وتحويل الإجهاد: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في دائرة مور وتحويل الإجهاد مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الإجهادات الرئيسية, أقصى قص والاتجاه الرئيسي, الإجهاد على مستوى مائل.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
σx​ = 90σy​ = −20MPaالعنصر الرئيسي

عند نقطة في جزء محمَّل الإجهادان الرئيسيان في المستوى σ₁ = 90 MPa و σ₂ = −20 MPa (الشد موجب). أوجد الإجهاد العمودي σavg المؤثّر على مستويات أقصى إجهاد قص في المستوى.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
المسألة التالية →
تدرّب على دائرة مور وتحويل الإجهاد مجانًاتدرّب على دائرة مور وتحويل الإجهاد الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالإجهادات الرئيسية
  2. متوسطةأقصى قص والاتجاه الرئيسي
  3. صعبةالإجهاد على مستوى مائل

كيف تحلّ مسائل دائرة مور وتحويل الإجهاد

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

أخطاء شائعة

  • استخدام θ بدل 2θ في معادلات التحويل.
  • جمع (σx − σy)/2 و τxy بدل دمجهما بنظرية فيثاغورس.
  • الخطأ في اصطلاح إشارة إجهاد القص.

الصيغ الأساسية

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

تعلّم دائرة مور وتحويل الإجهاد من البداية

قبل هذا: الإجهاد والانفعال المحوري

1لماذا يعتمد الإجهاد على الاتجاه

في درس الإجهاد المحوري كان الإجهاد رقمًا واحدًا: القوة على المساحة. لكن الإجهاد عند نقطة يعتمد على اتجاه القطع الذي تنظر إليه.

لُفّ قطعة طباشير حتى تنكسر. تنكسر على طول حلزون بزاوية 45°، لا مستقيمة عبر المقطع. وعلى ذلك المستوى 45° يكون الشد أكبر ما يكون، والطباشير ضعيف في الشد.

لوصف الإجهاد عند نقطة، يرسم المهندسون مربعًا صغيرًا، هو عنصر الإجهاد، عليه الإجهادات على أوجهه:

σx​σy​τxy​xy
  • σx وσy إجهادان عموديان، متعامدان مع الأوجه. الموجب يعني شدًا (الأسهم متجهة إلى الخارج)، والسالب يعني ضغطًا.
  • τxy هو إجهاد القص، على طول الأوجه. يحاول تحويل المربع إلى معين.

دوّر المربع فتتغير الإجهادات على أوجهه. يبيّن هذا الدرس كيف تجدها لكل اتجاه، وأي الاتجاهات هي الأخطر.

تحقّق ذاتي عند نقطة، σx = −40 MPa. ماذا يعني هذا؟
  1. إجهاد قص قدره 40 MPa
  2. شد قدره 40 MPa في اتجاه x
  3. ضغط قدره 40 MPa في اتجاه x
  4. ضغط قدره 40 MPa في اتجاه y

الإجابة: ضغط قدره 40 MPa في اتجاه x. مع قاعدة الإشارات المعتادة يكون الشد موجبًا، فـ σx السالبة ضغط، يؤثر على الأوجه العمودية على x.

2دائرة مور

دائرة مور صورة لكل الاتجاهات دفعة واحدة. كل نقطة على الدائرة قطع واحد ممكن عبر النقطة في الجزء.

ارسم الإجهاد العمودي σ نحو اليمين وإجهاد القص τ إلى الأعلى. ثم ارسم نقطتين:

  • النقطة x عند (σx، τxy): الإجهادات على الوجه العمودي على x،
  • النقطة y عند (σy، −τxy): الإجهادات على الوجه العمودي على y.

تمر الدائرة بالنقطتين. ويقع مركزها C على محور σ، في منتصف المسافة بينهما. ويُستنتج نصف قطرها R من فيثاغورس:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

حيث تقطع الدائرة محور σ يكون إجهاد القص صفرًا. هاتان القيمتان هما الإجهادان الرئيسيان، أكبر إجهاد عمودي وأصغره عند النقطة. وقمة الدائرة هي أكبر إجهاد قص في المستوى:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
تحقّق ذاتي σx = 50 MPa وσy = 10 MPa وτxy = 15 MPa. ما σ1؟
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

الإجابة: 55 MPa. C = 30 MPa وR = √(20² + 15²) = 25 MPa، إذن σ1 = 55 MPa. القيمة 65 تجمع 20 + 15 بدل استخدام فيثاغورس؛ و50 تتجاهل إجهاد القص.

3الزوايا: تتضاعف على الدائرة

تدوير العنصر بزاوية θ يحرك نقطته على دائرة مور بـ 2θ، في الاتجاه نفسه. عكس عقارب الساعة موجب.

اتجاه σ1 هو الزاوية θp من محور x، وتوجد من:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

انتبه إلى الربع. إذا كانت σx − σy سالبة، فأضف 180° إلى 2θp حين τxy > 0، أو اطرح 180° حين τxy < 0. ثم نصّف.

مستويات القص الأقصى تبعد 45° عن الاتجاهات الرئيسية (90° على الدائرة).

لمستوى عموده مدوّر بزاوية θ عن محور x، تكون الإجهادات:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
تحقّق ذاتي عند نقطة، tan 2θp = 1 وσx − σy موجبة. ما θp؟
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

الإجابة: 22,5°. 2θp = 45°، إذن θp = 22,5°. الإجابة 45° تنسى تنصيف الزاوية المقروءة من الدائرة. و−67,5° هو اتجاه σ2، على بعد 90°.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. دوّن σx وσy وτxy بإشاراتها: الشد موجب والضغط سالب.
  2. أوجد المركز C = (σx + σy)/2.
  3. أوجد نصف القطر R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. الإجهادان الرئيسيان: σ1 = C + R وσ2 = C − R. أكبر قص في المستوى: τmax = R.
  5. الاتجاهات: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)، تحقق من الربع، ثم نصّف.
  6. لمستوى θ معطى: استخدم معادلتي σθ وτθ مع 2θ.

رسم سريع للدائرة، ولو كان تقريبيًا، يريك الإشارات وأي نقطة هي σ1.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

عند نقطة σx = 80 MPa وσy = 20 MPa وτxy = 40 MPa. أوجد الإجهادين الرئيسيين وτmax واتجاه σ1 وهو θp والإجهاد العمودي على مستوى مدوّر 45° عكس عقارب الساعة.

1

انظر إلى العنصر

xy

الإجهادان العموديان كلاهما شد. وإجهاد القص موجب.

2

المركز ونصف القطر

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

الإجهادان الرئيسيان والقص الأقصى

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

الاتجاه الرئيسي

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy موجبة، فلا حاجة إلى تصحيح: 2θp = 53,1° وθp = 26,6° عكس عقارب الساعة من x.

5

مستوى مدوّر 45°

مع θ = 45° تكون 2θ = 90°: cos 2θ = 0 وsin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

تحقّق من الإجابة

المجموع σx + σy = 100 MPa يساوي σ1 + σ2 = 100 MPa. هذا المجموع هو نفسه لكل تدوير، فهو فحص سريع.

وأيضًا 90 MPa تقع بين σ2 = 0 وσ1 = 100 MPa، كما يجب على كل إجهاد عمودي.

الإجابة

σ1 = 100 MPa وσ2 = 0 وτmax = 50 MPa وθp = 26,6° وσ45° = 90 MPa.

6أخطاء شائعة

  • جمع (σx − σy)/2 وτxy مباشرةً. نصف القطر يجمعهما بفيثاغورس.
  • استخدام θ بدل 2θ في معادلات التحويل، أو نسيان تنصيف الزاوية المقروءة من الدائرة.
  • إسقاط إشارة السالب: الإجهاد الانضغاطي يجب أن يدخل كعدد سالب.
  • رسم النقطة y عند (σy، +τxy). إنها عند −τxy، في الجانب المقابل للمركز عن x.
  • إغفال ربع 2θp حين σx < σy.
تحقّق ذاتي σx = 60 MPa وσy = 0 وτxy = 40 MPa. ما أكبر إجهاد قص في المستوى؟
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

الإجابة: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. القيمة 70 تجمع 30 + 40؛ و30 تتجاهل إجهاد القص؛ و40 هي τxy فقط.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: الإجهادان الرئيسيان. بمعلومية σx وσy وτxy، أوجد σ1 أو σ2. وتشمل الصيغ الأخرى قصًا خالصًا أو ساقًا محوريًا مقطوعًا بزاوية.
  • متوسط: القص الأقصى والاتجاه الرئيسي. أوجد τmax = R أو الزاوية θp، بين −90° و90°.
  • صعب: الإجهاد على مستوى مائل. استخدم معادلة σθ أو τθ مع 2θ. وتجمع الصيغ الأخرى حملًا محوريًا والتواءً، أو تستخدم الإجهادين الرئيسيين في فحص انهيار مثل فون ميزس أو تريسكا.

اكتب C وR أولًا. تُحَلّ تقريبًا كل أسئلة هذا الموضوع من هذين الرقمين.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

عند نقطة σₓ = 30 MPa و σᵧ = 50 MPa، إضافةً إلى إجهاد قص ما. على عنصر مُدار بزاوية 30° يكون الإجهاد العمودي في الاتجاه المُدار x′ مساويًا 87 MPa. أوجد الإجهاد العمودي σy′ في الاتجاه المُدار y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

المطلوب: σy′ (MPa)

أظهر التلميحات
  1. لا تحتاج إلى τₓᵧ ولا إلى معادلات التحويل.
  2. مجموع الإجهادات العمودية على مستويين متعامدين واحد لكل اتجاه (مركز دائرة مور لا يتحرّك).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

اللامتغيّر الأول للإجهاد

النقطتان x′ و y′ على طرفي قطر واحد، لذا متوسطهما دائمًا المركز C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

الإجابة

σy′ = −7 MPa
مثال 2متوسطة
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

المطلوب: θp (°)

أظهر التلميحات
  1. ارسم دائرة مور: النقطة x عند (σₓ, τₓᵧ)، والنقطة y عند (σᵧ, −τₓᵧ)، والمركز C في منتصف المسافة بينهما.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). انتبه إلى الربع.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

στxyCσ1​σ2​

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

الزاوية على العنصر

θp = −54,22°

الإجابة

θp = −54,22°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

مثال 3صعبة
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 500 mm وسُمك جداره 5 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 2,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 60° عن محور الأسطوانة. أوجد مقدار إجهاد القص |τn| المؤثّر على امتداد درز اللحام.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

المطلوب: |τn| (MPa)

أظهر التلميحات
  1. الإجهاد المحيطي σh = pr/t، والإجهاد المحوري σa = pr/(2t). لا يوجد قص على المستويين المحوري والمحيطي.
  2. القص على امتداد الدرز: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σh = pr/t والإجهاد المحوري σa = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σa) و y على امتداد المحيط (σh). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

الإجابة

|τn| = 27,06 MPa

أسئلة وأجوبة

ما هو دائرة مور وتحويل الإجهاد؟

في درس الإجهاد المحوري كان الإجهاد رقمًا واحدًا: القوة على المساحة. لكن الإجهاد عند نقطة يعتمد على اتجاه القطع الذي تنظر إليه.

لُفّ قطعة طباشير حتى تنكسر. تنكسر على طول حلزون بزاوية 45°، لا مستقيمة عبر المقطع. وعلى ذلك المستوى 45° يكون الشد أكبر ما يكون، والطباشير ضعيف في الشد.

كيف تحل مسائل دائرة مور وتحويل الإجهاد خطوة بخطوة؟
  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
ما الأخطاء الشائعة في دائرة مور وتحويل الإجهاد؟
  • استخدام θ بدل 2θ في معادلات التحويل.
  • جمع (σx − σy)/2 و τxy بدل دمجهما بنظرية فيثاغورس.
  • الخطأ في اصطلاح إشارة إجهاد القص.
ماذا تغطي تمارين دائرة مور وتحويل الإجهاد؟
  • سهلة: الإجهادات الرئيسية
  • متوسطة: أقصى قص والاتجاه الرئيسي
  • صعبة: الإجهاد على مستوى مائل

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

الإجهاد والانفعال المحوري

الآلات الحاسبة

حاسبة دائرة مور

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مقاومة الموادتصميم الآلاتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإطارات والآلاتالإجهاد والانفعال المحوريالتواء الأعمدةحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالاهتزازات الميكانيكيةالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةالاستمرارية وبرنولياحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراريالتروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل دائرة مور وتحويل الإجهاد مع الإجابات
تدرّب على دائرة مور وتحويل الإجهاد مجانًاتدرّب على دائرة مور وتحويل الإجهاد الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.