الإطارات والآلات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الإطارات والآلات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: العناصر ثنائية القوة والآلات البسيطة, قوى المسامير والوصلات, الإطارات متعددة العناصر.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

يرتكز الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4 m. يؤثر حمل رأسي 15 kN على الساق AC عند النقطة K التي تبعد 0,8 m (أفقيًا) عن A. أوجد رد الفعل الرأسي By عند المسند الدحرجي.

P = 15 kNAB = 4 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,8 m
kN
المسألة التالية →
تدرّب على الإطارات والآلات مجانًاتدرّب على الإطارات والآلات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالعناصر ثنائية القوة والآلات البسيطة
  2. متوسطةقوى المسامير والوصلات
  3. صعبةالإطارات متعددة العناصر

كيف تحلّ مسائل الإطارات والآلات

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

أخطاء شائعة

  • معاملة عنصر يحمل حملًا بين مسماريه كأنه عنصر ثنائي القوة.
  • إعطاء قوة المسمار الاتجاه نفسه على العنصرين اللذين يربطهما.
  • أخذ القوة المائلة كاملة على أنها المركّبة الرأسية في معادلة العزوم.
  • ذكر مركّبة واحدة فقط عندما يُطلب مقدار قوة المسمار.

الصيغ الأساسية

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

تعلّم الإطارات والآلات من البداية

قبل هذا: ردود أفعال ركائز الكمرات, الجملون: طريقة العقد

1ما هي الإطارات والآلات

في الجملون كل عنصر قضيب مستقيم بمسمارين عند طرفيه، ولا توجد أحمال إلا عند العقد، فيكون كل عنصر ببساطة في شدّ أو انضغاط. أما الإطار فمختلف: يحمل عنصر واحد على الأقل قوى عند ثلاث نقاط أو أكثر، أو حملًا بين مسماريه. ويتعرض هذا العنصر للانحناء أيضًا.

ABCDE8 kN

في هذا الإطار على شكل A، الساقان AC وBC عنصران متعددا القوى: كل منهما محمّل عند المسند وعند الرباط وعند المسمار C. أما الرباط DE فمثبت بمسمار عند طرفيه ولا يحمل شيئًا بينهما. ويُسمّى الإطار الذي يتحرك ويحوّل قوة دخل إلى قوة خرج، مثل الزرادية أو الرافعة أو المشبك، آلة.

تحقّق ذاتي أي عنصر في الإطار A هو عنصر ثنائي القوة؟
  1. الرباط DE
  2. الساق AC، لأنها تحمل الحمل
  3. الساق BC، لأنها ترتكز على مسند دحرجي
  4. كل العناصر، لأن لكل منها مسمارين عند طرفيه

الإجابة: الرباط DE. العنصر DE لا تؤثر عليه قوى إلا عند مسماريه، فتعمل قوته على امتداد DE. أما كل ساق فتتلقى أيضًا قوة الرباط عند D أو E إضافة إلى مسندها والمسمار C، فتحمل ثلاث قوى لا اثنتين.

2العناصر ثنائية القوة وقوى المسامير

العنصر المحمّل عند مسمارين فقط هو عنصر ثنائي القوة. قوتاه متساويتان ومتعاكستان وتقعان على الخط المار بالمسمارين. لذلك يضيف مجهولًا واحدًا هو مقدار تلك القوة، بدلًا من مركّبتين.

عند التقاء عنصرين في مسمار، يدفع المسمار أحد العنصرين بقوة (Cx, Cy) والآخر بالقوة المعاكسة (−Cx, −Cy). ارسمهما بهذه الطريقة وبالرموز نفسها على مخططي الجسم الحر.

يعطي كل عنصر منفصل ثلاث معادلات: ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، فتسقط مركّبتاه معًا.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. ارسم الإطار كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند، إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. علّم العناصر ثنائية القوة: قواها تعمل على الخط الواصل بين مسمارَي كل منها.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر متعدد القوى على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0. واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية: F = √(Fx² + Fy²).

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

يقف الإطار A على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B، والمسافة بينهما 3 m. ارتفاع المسمار C يساوي 2,4 m، والرباط DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 8 kN عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط وقوة المسمار C على الساق BC.

1

انظر إلى الإطار

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

الرباط DE عنصر ثنائي القوة، فهو يشدّ الساقين أفقيًا.

2

الإطار كاملًا

الحمل في المنتصف، فيحمل كل مسند نصفه.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

الساق BC: العزوم حول C

4 kNTCx​Cy​CEB

تقع B على بُعد 1,5 m يمين C، ويقع الرباط تحت C بمسافة 2,4 − 0,8 = 1,6 m.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

الساق BC: اتزان القوى

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

تحقّق من الإجابة

على الساق AC تكون قوة المسمار معاكسة: (−3,75, +4) kN. مع Ay = 4 kN، وقوة الرباط +3,75 kN، والحمل −8 kN، يكون مجموعا القوى صفرًا.

الإجابة

T = 3,75 kN (شدّ) وC = 5,48 kN على الساق BC.

5الآلات: الزرادية والرافعات وآليات المفصل الركبي

في الآلة، ارسم جزءًا واحدًا وخذ العزوم حول محوره. تسقط قوة المسمار، وتتوازن قوتا الدخل والخرج:

Fin·a = Fout·b

الزرادية التي تبعد اليد فيها 100 mm عن المسمار وتبعد الفكوك 25 mm عنه تضاعف القوة بالنسبة 100/25 = 4. ويحمل المسمار حينئذٍ القوتين معًا: على أحد النصفين تشيران إلى الاتجاه نفسه على جانبين متقابلين من المسمار، فتجتمعان.

في آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ. كل ذراع عنصر ثنائي القوة بقوة F/(2 sin θ)، وقوة الإطباق F/(2 tan θ). كلما كان الذراعان أكثر استواءً زادت القوة.

تحقّق ذاتي تُضغط زرادية بقوة 50 N على بُعد 100 mm من المسمار، والفكوك على بُعد 25 mm من المسمار. كم قوة القبض؟
  1. 12,5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

الإجابة: 200 N. العزوم حول المسمار: 50·100 = Q·25، إذن Q = 200 N. قلب النسبة يعطي 12,5 N، والقيمة 250 N هي قوة المسمار، أي قوة اليد زائد قوة القبض.

6أخطاء شائعة

  • معاملة عنصر يحمل حملًا بين مسماريه كأنه عنصر ثنائي القوة.
  • رسم قوة المسمار بالاتجاه نفسه على العنصرين اللذين يربطهما.
  • استخدام القوة الكاملة لدعامة مائلة على أنها مركّبتها الرأسية.
  • ذكر مركّبة واحدة عندما يُطلب مقدار قوة المسمار.
تحقّق ذاتي تدفع دعامة عارضة بقوة 10 kN بزاوية 30° مع العارضة. كم المركّبة العمودية على العارضة؟
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 kN

الإجابة: 5 kN. المركّبة العمودية هي 10·sin 30° = 5 kN. أما 8,66 kN فهي المركّبة على امتداد العارضة (cos 30°)، و10 kN هي القوة كلها.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: العناصر ثنائية القوة والآلات البسيطة. تجد قوة قبض الزرادية أو قوة المسمار، أو قوة الدعامة في كابول جداري، أو قوة الرباط أو رد فعل مسند في إطار A، أو قوة الخرج لذراع زاوية.
  • متوسط: قوى المسامير والوصلات. تجد رد فعل المسمار في كابول أو ذراع زاوية، أو قوة الرباط لحمل غير مركزي، أو قوة المسمار على ساق، أو القوة في عنصر من إطار ثلاثي المفاصل، أو قوة الإطباق في آلية مفصل ركبي.
  • صعب: الإطارات متعددة العناصر. تضيف حملًا منتظمًا إلى كابول، أو تجد قوة الكابل أو رد فعل المسمار لرافعة ذات وزن ذاتي، أو قوة المسمار لحمل غير مركزي، أو رد فعل مسند مع حمل أفقي، أو القوة التي تحتاجها مكبس ذو مفصل ركبي.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 1,2 m. يتدلى حمل 12 kN عند الطرف الحر B. أهمل الأوزان. أوجد القوة FCD في الدعامة.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

المطلوب: FCD (kN)

أظهر التلميحات
  1. العنصر CD محمّل عند مسماريه فقط، فهو عنصر ثنائي القوة: تعمل قوته على امتداد CD.
  2. خذ العزوم حول A للعارضة: لا عزم إلا للدعامة والحمل.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

عنصر ثنائي القوة

للدعامة مسماران عند طرفيها ولا حمل بينهما.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

العزوم حول A للعارضة

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

الإجابة

FCD = 39 kN

تدفع الدعامة العارضة إلى الأعلى: إنها في ضغط.

مثال 2متوسطة
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,75 m. يتدلى حمل 8 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

المطلوب: A (kN)

أظهر التلميحات
  1. أوجد قوة الدعامة أولًا: العزوم حول A للعارضة.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. ثم تعطي ΣFx = 0 وΣFy = 0 للعارضة المركّبتين عند A.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

المركّبتان عند A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (نحو الجدار)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

المقدار

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

الإجابة

A = 25,16 kN

القيمة السالبة لـ Ay تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

مثال 3صعبة
8 kN1 kN2 m1 mABC

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 1 m. يتدلى حمل 8 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

المطلوب: T (kN)

أظهر التلميحات
  1. يشدّ الكابل على امتداد BC. خذ العزوم حول A للذراع.
  2. للمركّبة الرأسية للكابل T·sin β الذراع AB؛ أما مركّبته الأفقية فتمر بـ A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

زاوية الكابل

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

العزوم حول A

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

الإجابة

T = 19,01 kN

أسئلة وأجوبة

ما هو الإطارات والآلات؟

في الجملون كل عنصر قضيب مستقيم بمسمارين عند طرفيه، ولا توجد أحمال إلا عند العقد، فيكون كل عنصر ببساطة في شدّ أو انضغاط. أما الإطار فمختلف: يحمل عنصر واحد على الأقل قوى عند ثلاث نقاط أو أكثر، أو حملًا بين مسماريه. ويتعرض هذا العنصر للانحناء أيضًا.

في هذا الإطار على شكل A، الساقان AC وBC عنصران متعددا القوى: كل منهما محمّل عند المسند وعند الرباط وعند المسمار C. أما الرباط DE فمثبت بمسمار عند طرفيه ولا يحمل شيئًا بينهما. ويُسمّى الإطار الذي يتحرك ويحوّل قوة دخل إلى قوة خرج، مثل الزرادية أو الرافعة أو المشبك، آلة.

كيف تحل مسائل الإطارات والآلات خطوة بخطوة؟
  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
ما الأخطاء الشائعة في الإطارات والآلات؟
  • معاملة عنصر يحمل حملًا بين مسماريه كأنه عنصر ثنائي القوة.
  • إعطاء قوة المسمار الاتجاه نفسه على العنصرين اللذين يربطهما.
  • أخذ القوة المائلة كاملة على أنها المركّبة الرأسية في معادلة العزوم.
  • ذكر مركّبة واحدة فقط عندما يُطلب مقدار قوة المسمار.
ماذا تغطي تمارين الإطارات والآلات؟
  • سهلة: العناصر ثنائية القوة والآلات البسيطة
  • متوسطة: قوى المسامير والوصلات
  • صعبة: الإطارات متعددة العناصر

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

ردود أفعال ركائز الكمراتالجملون: طريقة العقد

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الاستاتيكا

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإجهاد والانفعال المحوريالتواء الأعمدةدائرة مور وتحويل الإجهادحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالاهتزازات الميكانيكيةالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةالاستمرارية وبرنولياحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراريالتروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الإطارات والآلات مع الإجابات
تدرّب على الإطارات والآلات مجانًاتدرّب على الإطارات والآلات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.