التواء الأعمدة

مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة.

3 مستوياتقيم جديدة في كل مرة
تدرّب الآنمجاني كل يوم
بلا بطاقة

التواء الأعمدة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التواء الأعمدة مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: إجهاد القص, زاوية الالتواء, نقل القدرة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
T = 250 N·md = 20 mm

عمود دائري مصمت يحمل عزم التواء T. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.

T = 250 N·md = 20 mm
MPa
المسألة التالية →
تدرّب على التواء الأعمدة مجانًاتدرّب على التواء الأعمدة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةإجهاد القص
  2. متوسطةزاوية الالتواء
  3. صعبةنقل القدرة

تعلّمه

كيف تحلّ مسائل التواء الأعمدة

كيف تحلّ مسائل التواء الأعمدة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

أخطاء شائعة

  • استخدام القطر بدل نصف القطر في τ = T·r/J.
  • نسيان تحويل rpm إلى rad/s.
  • إعطاء زاوية الالتواء بالراديان بينما المطلوب بالدرجات.
الصيغ الأساسية

الصيغ الأساسية

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60
تعلّم التواء الأعمدة من البداية

تعلّم التواء الأعمدة من البداية

قبل هذا: الإجهاد والانفعال المحوري

1ما هو الالتواء

العمود قضيب دوّار ينقل جهد دوران: عمود الإدارة في السيارة، وسنبلة المثقاب، ومحور المضخة.

جهد الدوران هو عزم الدوران T. إنه قوة مضروبة في الذراع التي تؤثر عليها، بـ N·m. دفع 200 N على طرف مفتاح طوله 0,5 m يعطي T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

العمود المحمّل بعزم دوران يكون في حالة التواء. يلتوي قليلًا، وتحمل مادته إجهاد قص τ (تاو): تحاول الشرائح المتجاورة من العمود أن تنزلق بعضها على بعض.

Td

يهم سؤالان في التصميم: هل إجهاد القص منخفض بما يكفي (المتانة)، وهل الالتواء صغير بما يكفي (الصلابة)؟

تحقّق ذاتي تدفع 200 N عند طرف مفتاح طوله 0,5 m، بزاوية قائمة. ما عزم الدوران الذي تطبقه؟
  1. 100 N·m
  2. 200 N·m
  3. 400 N·m
  4. 50 N·m

الإجابة: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. القسمة على 0,5 تعطي 400؛ ونسيان الذراع يعطي 200.

2إجهاد القص وعزم القصور القطبي

مركز العمود لا يتشوه تقريبًا. وكلما ابتعدت نقطة عن المركز زاد قصها. لذا ينمو إجهاد القص خطيًا مع نصف القطر، من صفر عند المركز إلى أقصاه عند السطح.

τmax​r0
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J

هنا ρ (رو) هي المسافة من المركز، وr = d/2 نصف القطر الخارجي، وJ هو عزم القصور الذاتي القطبي للمساحة. يقيس J مدى مقاومة المقطع للالتواء:

لعمود مصمت قطره d، ولعمود مجوف قطره الخارجي do وقطره الداخلي di:

J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32

لعمود مصمت تجتمع الصيغتان في صيغة قصيرة واحدة:

τmax = 16 · T / (π · d³)

اعمل بـ N·mm وmm، فيخرج الإجهاد بـ N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.

تحقّق ذاتي في عمود مصمت τmax = 60 MPa. ما إجهاد القص في منتصف المسافة بين المركز والسطح؟
  1. 0 MPa
  2. 15 MPa
  3. 30 MPa
  4. 60 MPa

الإجابة: 30 MPa. ينمو الإجهاد خطيًا مع ρ، لذا عند ρ = r/2 يساوي نصف τmax: 30 MPa. وهو ليس نفسه في كل مكان، ويساوي صفرًا عند المركز فقط.

3زاوية الالتواء والقدرة

يدور الطرف الحر للعمود بمقدار زاوية الالتواء φ (فاي). العمود الأطول أو الأرفع يلتوي أكثر؛ والمادة الأصلب تلتوي أقل:

φ = T · L / (G · J)

G هو معامل القص للمادة: نحو 80 GPa للفولاذ و26 GPa للألمنيوم. تعطي الصيغة φ بـالراديان. اضرب في 180/π للحصول على الدرجات.

تنقل الأعمدة غالبًا القدرة من محرك. القدرة هي عزم الدوران مضروبًا في السرعة الزاوية، وعلى السرعة بـ rpm أن تُحوَّل أولًا إلى rad/s:

P = T · ω ω = 2π · N / 60

فالسؤال الذي يعطي kW وrpm يبدأ بـ T = P/ω، مع P بالواط.

تحقّق ذاتي يدور عمود بسرعة ω = 100 rad/s وينقل 5 kW. ما عزم الدوران الذي يحمله؟
  1. 0,05 N·m
  2. 20 N·m
  3. 50 N·m
  4. 500 000 N·m

الإجابة: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. القيمة 0,05 تأتي من استخدام 5 بدل 5000 W؛ و20 تقسم ω على P.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. إذا أُعطيت القدرة والسرعة فأوجد عزم الدوران أولًا: ω = 2πN/60، ثم T = P/ω.
  2. حوّل إلى N وmm: T بـ N·mm (N·m × 1000)، وL بـ mm، وG بـ MPa (GPa × 1000).
  3. أوجد J: π·d⁴/32 لعمود مصمت، وπ(do⁴ − di⁴)/32 لعمود مجوف.
  4. إجهاد القص: τmax = T·r/J مع r نصف القطر الخارجي.
  5. الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان، ثم × 180/π إذا طُلبت الدرجات.

في سؤال التصميم (أوجد d)، اكتب τmax = 16T/(πd³) مساويًا للإجهاد المسموح وحلّ لإيجاد d.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

عمود فولاذي مصمت (G = 80 GPa) قطره 40 mm وطوله 1 m مثبت من أحد طرفيه. يؤثر عزم دوران 500 N·m على الطرف الحر. أوجد τmax وزاوية الالتواء φ بالدرجات.

1

انظر إلى العمود وحوّل الوحدات

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mφ

T = 500 N·m = 500 000 N·mm، وL = 1000 mm، وG = 80 000 MPa، وr = 20 mm.

2

عزم القصور القطبي

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3

أقصى إجهاد قص

τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa

تعطي الصيغة المختصرة النتيجة نفسها: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.

4

زاوية الالتواء بالراديان

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0,0249 rad
5

حوّل إلى درجات

φ = 0,0249 · 180 / π = 1,42°

أقل قليلًا من درجة ونصف على طول متر من عمود فولاذي مقدار معقول.

الإجابة

τmax = 39,8 MPa وφ = 1,42°.

6أخطاء شائعة

  • استخدام القطر بدل نصف القطر في τ = T·r/J. وهذا يضاعف الإجهاد.
  • نسيان تحويل N·m إلى N·mm، فيخرج الإجهاد أصغر 1000 مرة.
  • استخدام rpm مباشرة في P = T·ω. حوّل أولًا إلى rad/s بـ ω = 2πN/60.
  • إعطاء φ بالراديان حين تُطلب الدرجات، أو العكس.
  • في العمود المجوف: طرح القطرين قبل رفعهما إلى القوة الرابعة. استخدم do⁴ − di⁴.
تحقّق ذاتي عمود مجوف قطره الخارجي 40 mm وله J = 200 000 mm⁴. يحمل T = 1000 N·m. ما τmax؟
  1. 0,1 MPa
  2. 100 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

الإجابة: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. استخدام r = 40 mm (القطر) يعطي 200 MPa؛ وترك T بـ N·m يعطي 0,1 MPa؛ ونسيان r يعطي 5.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: إجهاد القص. عمود مصمت قطره d يحمل T؛ أوجد τmax. وتطلب صيغ أخرى الإجهاد عند نصف قطر معطى أو عزم الدوران المسموح.
  • متوسط: زاوية الالتواء. تُعطى أيضًا L وG؛ أوجد φ بالدرجات. وتستخدم صيغ أخرى عمودًا مجوفًا أو متدرجًا.
  • صعب: نقل القدرة. تُعطى القدرة بـ kW والسرعة بـ rpm؛ أوجد عزم الدوران، ثم τmax في عمود مجوف أو أصغر قطر لإجهاد مسموح.

اكتب عزم الدوران بـ N·mm بجانب المسألة قبل أي شيء آخر. فهو العدد الذي تستخدمه كل الخطوات اللاحقة.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
d = 40 mmT = 750 N·m

عمود مصمت قطره 40 mm يحمل عزم التواء 750 N·m. أوجد إجهاد القص τρ عند نصف قطر 15 mm من المركز.

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

المطلوب: τρ (MPa)

أظهر التلميحات
  1. إجهاد القص في عمود دائري يتناسب مع البعد عن المركز: τ = T·ρ/J.
  2. استخدم N و mm في كل شيء: T بالـ N·mm، L بالـ mm، G بالـ MPa (GPa × 1000)، J بالـ mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

إجهاد القص عند ρ

للمقارنة، عند السطح τmax = 59,68 MPa.

T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa

الإجابة

τρ = 44,76 MPa
مثال 2متوسطة
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

المطلوب: φ (°)

أظهر التلميحات
  1. استخدم φ = TL/(GJ)، وهي تعطي الراديان.
  2. استخدم N و mm في كل شيء: T بالـ N·mm، L بالـ mm، G بالـ MPa (GPa × 1000)، J بالـ mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

الإجابة

φ = 6,576°
مثال 3صعبة
Td = ?

يجب أن ينقل عمود مصمت 15 kW عند 1000 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa

المطلوب: d (mm)

أظهر التلميحات
  1. العزم من القدرة: T = P/ω مع ω = 2πN/60 بالـ rad/s.
  2. اجعل τmax = 16T/(πd³) مساويًا للإجهاد المسموح وحلّ لإيجاد d.
  3. T = 143,2 N·m.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm

الإجابة

d = 21,35 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

أسئلة وأجوبة

أسئلة وأجوبة

ما هو التواء الأعمدة؟

جهد الدوران هو عزم الدوران T. إنه قوة مضروبة في الذراع التي تؤثر عليها، بـ N·m. دفع 200 N على طرف مفتاح طوله 0,5 m يعطي T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

العمود المحمّل بعزم دوران يكون في حالة التواء. يلتوي قليلًا، وتحمل مادته إجهاد قص τ (تاو): تحاول الشرائح المتجاورة من العمود أن تنزلق بعضها على بعض.

كيف تحل مسائل التواء الأعمدة خطوة بخطوة؟
  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
ما الأخطاء الشائعة في التواء الأعمدة؟
  • استخدام القطر بدل نصف القطر في τ = T·r/J.
  • نسيان تحويل rpm إلى rad/s.
  • إعطاء زاوية الالتواء بالراديان بينما المطلوب بالدرجات.
ماذا تغطي تمارين التواء الأعمدة؟
  • سهلة: إجهاد القص
  • متوسطة: زاوية الالتواء
  • صعبة: نقل القدرة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

الإجهاد والانفعال المحوري

الآلات الحاسبة

حاسبة التواء الأعمدة

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مقاومة الموادتصميم الآلاتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإطارات والآلاتالإجهاد والانفعال المحوريدائرة مور وتحويل الإجهادحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالاهتزازات الميكانيكيةالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةالاستمرارية وبرنولياحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراريالتروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التواء الأعمدة مع الإجابات
تدرّب على التواء الأعمدة مجانًاتدرّب على التواء الأعمدة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.