حركة المقذوفات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: كيف تحل مسائل حركة المقذوفات خطوة بخطوة؟

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: vx = v₀·cos θ و vy = v₀·sin θ. للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g. أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية. استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

Q: ماذا تغطي تمارين حركة المقذوفات؟

سهلة: إطلاق أفقي متوسطة: إطلاق من الأرض صعبة: إطلاق من ارتفاع لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في حركة المقذوفات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: إطلاق أفقي, إطلاق من الأرض, إطلاق من ارتفاع.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

يُقذف حجر أفقيًا من قمة جدار ارتفاعه 20 m ويهبط على بعد 22 m من أسفل الجدار. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

h = 20 mx = 22 mg = 9,81 m/s²

المسألة التالية →

تدرّب على حركة المقذوفات مجانًا تدرّب على حركة المقذوفات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةإطلاق أفقي
متوسطةإطلاق من الأرض
صعبةإطلاق من ارتفاع

كيف تحلّ مسائل حركة المقذوفات

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

أخطاء شائعة

استخدام v₀ بدل إحدى المركّبتين.
الآلة الحاسبة على الراديان بينما الزاوية بالدرجات.
استخدام صيغة المدى v₀²·sin 2θ/g عندما يختلف ارتفاعا الإطلاق والهبوط.

الصيغ الأساسية

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

تعلّم حركة المقذوفات من البداية

قبل هذا: علم الحركة

1ما هي حركة المقذوفات

المقذوف جسم يطير في الهواء ولا تؤثر فيه إلا الجاذبية. الكرة المركولة والحجر المقذوف من جسر والماء من خرطوم كلها مقذوفات.

في هذا الموضوع تهمل مقاومة الهواء. عندئذٍ يكون المسار دائمًا منحنى أملس يسمى القطع المكافئ.

الفكرة الأساسية: تنقسم الحركة إلى جزأين منفصلين. أفقيًا لا شيء يدفع الجسم أو يبطئه. ورأسيًا تسحبه الجاذبية بمقدار g = 9,81 m/s².

إذن تبقى السرعة الأفقية ثابتة طوال الوقت، بينما تتغير السرعة الرأسية في كل ثانية. ولا يشترك الجزآن إلا في شيء واحد: الزمن.

تحقّق ذاتي تطير كرة في الهواء دون مقاومة هواء. أي كمية تبقى ثابتة أثناء الطيران؟

الارتفاع
السرعة الأفقية
السرعة الرأسية
السرعة الكلية

الإجابة: السرعة الأفقية. لا تؤثر قوة أفقيًا، فالسرعة الأفقية لا تتغير أبدًا. أما الجاذبية فتغيّر السرعة الرأسية، ومعها السرعة الكلية والارتفاع.

2حركتان وساعة واحدة

ضع نقطة الأصل عند نقطة الإطلاق، مع x أفقيًا وy رأسيًا (الأعلى موجب). بعد زمن t:

x = v_x · t

y = h + v_y · t − ½ · g · t²

هنا h ارتفاع الإطلاق فوق الأرض، وv_x السرعة الأفقية، وv_y السرعة الرأسية الابتدائية.

تصل الكرة إلى الأرض عندما y = 0. تحل المعادلة الرأسية لإيجاد ذلك الزمن، ثم تضع الزمن نفسه في المعادلة الأفقية.

في الإطلاق الأفقي تكون v_y = 0. وتصبح المعادلة الرأسية h = ½ · g · t²، فيكون زمن السقوط:

t = √(2h / g)

لا يتوقف زمن السقوط هذا على السرعة الأفقية إطلاقًا.

تحقّق ذاتي من الجدول نفسه، تتدحرج الكرة A عن الحافة بسرعة 1 m/s والكرة B بسرعة 3 m/s. أيهما تهبط أولًا؟

الكرة A
الكرة B
تهبطان في الوقت نفسه
يتوقف على كتلتيهما

الإجابة: تهبطان في الوقت نفسه. كلتاهما تبدأ بسرعة رأسية صفر وتسقط الارتفاع نفسه، فـ t = √(2h/g) هو نفسه. والكرة B تهبط أبعد فقط.

3الإطلاق بزاوية

عندما تُطلق الكرة بسرعة v₀ وبزاوية θ فوق الأفقي، قسّم السرعة أولًا إلى جزأيها، أي المركّبتين:

v_x = v₀ · cos θ v_y = v₀ · sin θ

من أرض مستوية، ترتفع الكرة حتى تصبح سرعتها الرأسية صفرًا ثم تسقط عائدة. ويستغرق الصعود والهبوط زمنين متساويين. وهذا يعطي ثلاث نتائج مفيدة:

t_top = v_y / g t = 2 · v_y / g

H = v_y² / (2g) R = v₀² · sin 2θ / g

صيغة المدى لـ R صالحة فقط حين تهبط الكرة على الارتفاع نفسه الذي أُطلقت منه.

تحقّق ذاتي تُطلق كرة بسرعة 20 m/s وبزاوية 30° فوق الأفقي. ما مركّبتا سرعتها؟

v_x = 10 m/s وv_y = 10 m/s
v_x = 10 m/s وv_y = 17,3 m/s
v_x = 17,3 m/s وv_y = 10 m/s
v_x = 20 m/s وv_y = 20 m/s

الإجابة: v_x = 17,3 m/s وv_y = 10 m/s. v_x = 20 · cos 30° = 17,3 m/s وv_y = 20 · sin 30° = 10 m/s. وتبديلهما يستخدم sin للجزء الأفقي، وهذا هو الخلط الكلاسيكي.

4الطريقة خطوة بخطوة

ارسم المسار. علّم ارتفاع الإطلاق h وسرعة الإطلاق v₀ والزاوية θ وما تريد إيجاده.
قسّم سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀ · cos θ وv_y = v₀ · sin θ. في الإطلاق الأفقي v_y = 0.
استخدم الحركة الرأسية لإيجاد زمن الطيران: ضع y = 0 في y = h + v_y·t − ½·g·t² وحُلّ لإيجاد t.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية: x = v_x · t.
للسرعة في أي لحظة، اجمع المركّبتين: v = √(v_x² + (v_y − g·t)²).

تأكد أن آلتك الحاسبة مضبوطة على الدرجات قبل أخذ sin أو cos لزاوية معطاة بالدرجات.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

تُقذف كرة أفقيًا بسرعة 12 m/s من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أي بُعد من أسفل الجرف تهبط؟

ارسم الموقف

الإطلاق أفقي، فـ v_x = 12 m/s وv_y = 0. وعلى الكرة أن تسقط h = 45 m.

أوجد زمن الطيران

الحركة الرأسية سقوط من السكون عبر 45 m:

t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s

استخدم الزمن في الاتجاه الأفقي

خلال هذه الـ 3,03 s تواصل الكرة الحركة أفقيًا بسرعة 12 m/s:

x = v_x · t = 12 · 3,029 = 36,3 m

تحقّق من الإجابة

ضع الزمن مرة أخرى في الحركة الرأسية: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. وهذا بالضبط ارتفاع الجرف، فالزمن صحيح.

ومسافة نحو 36 m لقذفة بسرعة 12 m/s خلال 3 s حجم معقول أيضًا.

للتوسع: سرعة الاصطدام

قبل الهبوط مباشرةً، v_y = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s إلى الأسفل، بينما v_x لا تزال 12 m/s.

v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s

الإجابة

تهبط الكرة على بُعد x ≈ 36,3 m من أسفل الجرف، بعد 3,03 s.

6أخطاء شائعة

استخدام السرعة الكاملة v₀ حيث تنتمي مركّبة. زمن الطيران يأتي من v_y فقط، والمدى من v_x فقط.
الخلط بين sin وcos. المركّبة الأفقية مع cos θ حين تُقاس θ من الأفقي.
آلة حاسبة على الراديان بينما الزاوية بالدرجات.
استخدام R = v₀² · sin 2θ / g حين تهبط الكرة أخفض أو أعلى مما بدأت. عندئذٍ عليك حل المعادلة الرأسية بدلًا من ذلك.
إعطاء الحركة الأفقية تسارعًا. أفقيًا السرعة ثابتة.

تحقّق ذاتي تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 20 m/s وبزاوية 30° فوق الأفقي. كم تبقى في الهواء؟ (g = 9,81 m/s²)

1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s

الإجابة: 2,04 s. v_y = 20 · sin 30° = 10 m/s، إذن t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. واستخدام 20 m/s كاملة يعطي 4,08 s، و1,02 s هو الزمن إلى أعلى نقطة فقط.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: إطلاق أفقي من جرف أو جدار. أوجد زمن الطيران، أو مسافة الهبوط، أو سرعة الإطلاق من مسافة هبوط معطاة، أو سرعة الاصطدام. وبعض الأسئلة السهلة تطلب الزمن إلى أعلى نقطة لإطلاق من الأرض.
متوسط: إطلاق من أرض مستوية بزاوية. أوجد زمن الطيران أو أقصى ارتفاع أو المدى. وتطلب صيغ أخرى سرعة الإطلاق أو الزاوية التي تعطي مدى معينًا، أو الارتفاع الذي تمر عنده الكرة بجدار.
صعب: إطلاق بزاوية من قمة جرف، أو هبوط على سطح. وضع y = 0 (أو ارتفاع السطح) يعطي معادلة تربيعية في t: خذ الجذر الموجب.

في الحالة الصعبة، تنتج زاوية الهبوط تحت الأفقي من المركّبتين النهائيتين: tan α = |v_y − g·t| / v_x.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

تُقذف كرة أفقيًا من قمة جرف ارتفاعه 55 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²

المطلوب: x (m)

أظهر التلميحات

عامل الحركة الأفقية والرأسية كلًّا على حدة. لا يجمعهما سوى الزمن t.
تهبط الكرة عندما يصبح ارتفاعها y(t) صفرًا. اكتب y(t) = h + v_yt − ½gt².
v_y = 0 m/s، ويستمر التحليق 3,349 s.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 10·3,349 = 33,49 m

الإجابة

x = 33,49 m

مثال 2متوسطة

تُقذف كرة بزاوية 60° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

المطلوب: t (s)

أظهر التلميحات

عامل الحركة الأفقية والرأسية كلًّا على حدة. لا يجمعهما سوى الزمن t.
بالتماثل، زمن الصعود يساوي زمن الهبوط.
v_y = 22,52 m/s.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s

الإجابة

t = 4,591 s

مثال 3صعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 55 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²

المطلوب: t (s)

أظهر التلميحات

عامل الحركة الأفقية والرأسية كلًّا على حدة. لا يجمعهما سوى الزمن t.
تهبط الكرة عندما يصبح ارتفاعها y(t) صفرًا. اكتب y(t) = h + v_yt − ½gt².
v_y = 13,95 m/s.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s

الإجابة

t = 5,06 s

أسئلة وأجوبة

ما هو حركة المقذوفات؟

في هذا الموضوع تهمل مقاومة الهواء. عندئذٍ يكون المسار دائمًا منحنى أملس يسمى القطع المكافئ.

كيف تحل مسائل حركة المقذوفات خطوة بخطوة؟

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

ما الأخطاء الشائعة في حركة المقذوفات؟

استخدام v₀ بدل إحدى المركّبتين.
الآلة الحاسبة على الراديان بينما الزاوية بالدرجات.
استخدام صيغة المدى v₀²·sin 2θ/g عندما يختلف ارتفاعا الإطلاق والهبوط.

ماذا تغطي تمارين حركة المقذوفات؟

سهلة: إطلاق أفقي
متوسطة: إطلاق من الأرض
صعبة: إطلاق من ارتفاع

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

علم الحركة

الآلات الحاسبة

حاسبة حركة المقذوفات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الديناميكا الفيزياء للمهندسين الفيزياء 1: الميكانيكا التدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية مسائل تدريب AP Physics 1

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمرات الإطارات والآلات الإجهاد والانفعال المحوري التواء الأعمدة دائرة مور وتحويل الإجهاد الشغل والطاقة دوران الجسم الجاسئ الاهتزازات الميكانيكية المحرّكات الحرارية والثلاجات دورات القدرة الغازية الاستمرارية وبرنولي احتكاك الأنابيب وفاقد السمت المضخات وقدرة المضخات التوصيل الحراري التروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل حركة المقذوفات مع الإجابات

تدرّب على حركة المقذوفات مجانًا تدرّب على حركة المقذوفات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.