التروس ومجموعات التروس: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التروس ومجموعات التروس مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: نسبة السرعة, العزم والقدرة, مجموعة تروس مركّبة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
N1​ = 30N2​ = 48

ترس قائد له 30 سنًّا يدور بسرعة 1500 rpm ويتعشّق مع ترس له 48 سنًّا. أوجد سرعة الترس المَقود n2.

N1 = 30N2 = 48n1 = 1500 rpm
rpm
المسألة التالية →
تدرّب على التروس ومجموعات التروس مجانًاتدرّب على التروس ومجموعات التروس الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةنسبة السرعة
  2. متوسطةالعزم والقدرة
  3. صعبةمجموعة تروس مركّبة

الصيغ الأساسية

تروس متعشّقة
n1·N1 = n2·N2
العزم
T2 = T1·(N2/N1)·η
القدرة
P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة
النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

تعلّم التروس ومجموعات التروس من البداية

1ماذا تفعل التروس

تنقل التروس الدوران من عمود إلى آخر. تتعشّق أسنانها فلا تنزلق.

تقوم علبة التروس بعملين معًا. يغيّر سرعة الدوران، ويغيّر العزم، أي قوة اللف على العمود. الأبطأ يعني الأقوى.

يدور المحرك الكهربائي بسرعة لكن بعزم قليل. ويبطّئه زوج تروس ليتمكن من تحريك سير ناقل ثقيل أو ونش. والدراجة في ترس منخفض تعمل بالطريقة نفسها.

الترس الذي يحركه المحرك هو المحرِّك (غالبًا ترس صغير يسمى البنيون). والترس الذي يديره هو الترس المُحرَّك.

N1​, n1​N2​, n2​

ترسان متعشقان يدوران في اتجاهين متعاكسين.

تحقّق ذاتي ترس صغير يدير ترسًا كبيرًا. مقارنةً بالترس الصغير، يدور الترس الكبير…
  1. أبطأ، بعزم أقل
  2. أبطأ، بعزم أكبر
  3. أسرع، بعزم أكبر
  4. بالسرعة نفسها وفي الاتجاه نفسه

الإجابة: أبطأ، بعزم أكبر. يحتاج الترس الكبير إلى دورات أكثر من الترس الصغير لدورة واحدة منه، فهو أبطأ. والقدرة متقاربة، لذا يحمل العمود الأبطأ عزمًا أكبر.

2نسبة السرعة

عند النقطة التي يتلامس فيها الترسان تمر الأسنان بالمعدل نفسه. إذا دار البنيون ذو 20 سنًا دورة واحدة فإنه يدفع 20 سنًا من الترس الكبير. فيدور الترس ذو 60 سنًا ثلث دورة فقط.

لذا ترتبط السرعتان n (بوحدة rpm) وعدد الأسنان N بالعلاقة:

n1 · N1 = n2 · N2

نسبة التروس هي i = N2 / N1 = n1 / n2. النسبة 3 تعني أن الخرج يدور أبطأ بثلاث مرات.

في قطار التروس المركّب يوجد ترسان على العمود الأوسط نفسه، فيدوران بالسرعة نفسها. والنسبة الكلية هي حاصل ضرب نسب المراحل:

itotal = (NB / NA) · (ND / NC)

الترس الوسيط بين ترسين آخرين (كل على عمود خاص) يغيّر اتجاه الدوران فقط. وسرعة الترس الأخير تنتج من الأول والأخير وحدهما.

تحقّق ذاتي ترس ذو 20 سنًا يدور بسرعة 900 rpm يدير ترسًا ذا 60 سنًا. ما سرعة دوران الترس ذي الـ 60 سنًا؟
  1. 1,33 rpm
  2. 2700 rpm
  3. 300 rpm
  4. 900 rpm

الإجابة: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. الضرب في 60/20 يعطي 2700 rpm: فيدور الترس الكبير أسرع، وهذا عكس الصواب.

3العزم والقدرة

القدرة هي العزم مضروبًا في السرعة الزاوية. ويجب أن تكون السرعة الزاوية بوحدة rad/s، لذا حوّل من rpm أولًا:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

ينقل زوج التروس تقريبًا كل القدرة. ولا يضيع إلا بضع نسب مئوية بالاحتكاك، وتصفها الكفاءة η (عادةً من 0,95 إلى 0,98):

P2 = η · P1

وبما أن السرعة تنخفض بنسبة التروس بينما تبقى القدرة تقريبًا كما هي، فإن العزم يزداد بتلك النسبة:

T2 = T1 · (N2 / N1) · η
تحقّق ذاتي يدور محرك 3 kW بسرعة 955 rpm. ما العزم الذي يعطيه؟
  1. 0,03 N·m
  2. 188 N·m
  3. 3,14 N·m
  4. 30 N·m

الإجابة: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s، إذن T = 3000/100 = 30 N·m. القسمة على rpm مباشرة تعطي 3,14، وترك القدرة بالكيلوواط يعطي 0,03، ونسيان 2π يعطي 188.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. ارسم التروس واكتب عدد الأسنان على كل منها. علّم عمود الدخل وعمود الخرج.
  2. أوجد نسبة كل مرحلة، أسنان المُحرَّك / أسنان المحرِّك، واضرب المراحل في قطار مركّب.
  3. سرعة الخرج: nout = nin / itotal.
  4. عزم الدخل من المحرك: حوّل rpm إلى rad/s بـ ω = 2π·n/60، ثم T = P/ω.
  5. عزم الخرج: اضرب في النسبة وفي كفاءة كل تعشيق ترسي.

تحقق من اتجاه الإجابة: التخفيض يجعل الخرج أبطأ وعزمه أكبر.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

يدير محرك 4 kW يعمل بسرعة 1200 rpm بنيونًا ذا 20 سنًا يتعشق مع ترس ذي 60 سنًا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد سرعة الترس وعزم الخرج على عموده.

1

ارسم الزوج

20, 1200 rpm60, n2​ = ?

البنيون هو المحرِّك. نسبة التروس i = 60/20 = 3.

2

سرعة الخرج

n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3

عزم الدخل

حوّل سرعة المحرك إلى rad/s أولًا:

ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4

عزم الخرج

T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5

تحقّق من الإجابة

قدرة الخرج: P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W، وω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

العزم نفسه، مستنتجًا من القدرة. الإجابة صحيحة.

الإجابة

يدور الترس بسرعة n2 = 400 rpm بعزم خرج T2 ≈ 91,7 N·m.

6أخطاء شائعة

  • قلب نسبة الأسنان. الترس المُحرَّك الأكبر يجب أن يدور أبطأ.
  • استخدام rpm في P = T·ω. حوّل إلى rad/s بـ ω = 2π·n/60.
  • قسمة العزم على النسبة بدل ضربه فيها. التخفيض يزيد العزم.
  • القسمة على الكفاءة. الاحتكاك يجعل عزم الخرج أصغر، لذا اضرب في η.
  • عدّ ترس وسيط في النسبة، أو ضرب أسنان ترسين على العمود نفسه.
تحقّق ذاتي بنيون ذو 20 سنًا يحمل 10 N·m ويدير ترسًا ذا 60 سنًا. الكفاءة 95%. ما عزم الخرج؟
  1. 28,5 N·m
  2. 3,17 N·m
  3. 30 N·m
  4. 31,6 N·m

الإجابة: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. القسمة على النسبة تعطي 3,17، وتجاهل الكفاءة يعطي 30، والقسمة على η تعطي 31,6.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: نسبة السرعة. أوجد سرعة الترس المُحرَّك، أو عدد الأسنان اللازم لسرعة معطاة. وتشمل الصيغ الأخرى ترسًا وسيطًا، وأحجام التروس من المديول m: قطر الخطوة d = m·N، والمسافة بين المركزين a = m·(N1 + N2)/2.
  • متوسط: العزم والقدرة. يدير محرك معلوم القدرة والسرعة زوج تروس: أوجد عزم الدخل أو الخرج. وتطلب أسئلة أخرى القوة المماسية على الأسنان Ft = 2T/d، أو تتعلق بمحرك دودي (النسبة = أسنان العجلة / بدايات الدودة).
  • صعب: قطار تروس مركّب. أوجد سرعة الخرج، أو الأسنان اللازمة على الترس الأخير، أو عزم الخرج مع كفاءة لكل تعشيق. وتستخدم بعض الأسئلة مجموعة تروس كوكبية.

لقطار مركّب مثل A (20) → B (60)، ثم C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9، فدخل 900 rpm يعطي 100 rpm عند الخرج.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

يدير محرك يدور بسرعة 1500 rpm بكرةً قطرها 160 mm. يوصلها سير ببكرة قطرها 400 mm. بافتراض عدم وجود انزلاق، أوجد سرعة البكرة المقودة n2.

n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mm

المطلوب: n2 (rpm)

أظهر التلميحات
  1. يتحرك السير بسرعة واحدة، فللحافتين السرعة نفسها.
  2. π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
  3. n₂ = 1500·160/400.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعتا الحافتين المتساويتان

n₁·d₁ = n₂·d₂

سرعة البكرة المقودة

n2 = 1500·160/400 = 600 rpm

الإجابة

n2 = 600 rpm
مثال 2متوسطة
N1​ = 16N2​ = 80

محرك قدرته 7,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 16 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 80 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد عزم الخرج T2 على عمود الترس.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 80η = 98%

المطلوب: T2 (N·m)

أظهر التلميحات
  1. عزم المحرك من القدرة: T = P/ω، حيث ω = 2π·n/60 بوحدة rad/s.
  2. ω₁ = 151,8 rad/s.
  3. يضاعف الترس العزم بالنسبة N₂/N₁ (ويفقد قليلًا بسبب الاحتكاك).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

عزم الخرج

T2 = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

الإجابة

T2 = 242 N·m
مثال 3صعبة
A = 32B = 60C = 50D = ?

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (32 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 960 rpm ويدير الترس B (60 سنًّا). الترس C (50 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 320 rpm. كم سنًّا ND يجب أن يكون للترس D؟

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 50nout = 320 rpm

المطلوب: ND

أظهر التلميحات
  1. أوجد سرعة العمود الوسيط أولًا: nB = nin·A/B.
  2. ثم يدير C الترس D: ND = C·nB/nout.
  3. nB = 512 rpm.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

nB = nC = 960·32/60 = 512 rpm

أسنان الترس D

ND = C·nC/nout = 50·512/320 = 80

الإجابة

ND = 80

أسئلة وأجوبة

ما هو التروس ومجموعات التروس؟

تنقل التروس الدوران من عمود إلى آخر. تتعشّق أسنانها فلا تنزلق.

تقوم علبة التروس بعملين معًا. يغيّر سرعة الدوران، ويغيّر العزم، أي قوة اللف على العمود. الأبطأ يعني الأقوى.

كيف تحل مسائل التروس ومجموعات التروس خطوة بخطوة؟

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

ما الأخطاء الشائعة في التروس ومجموعات التروس؟
  • البكرة الأكبر تدور أبطأ: n₂ = n₁·d₁/d₂.
  • سرعتا الحافتين متساويتان، لا سرعتا العمودين.
  • يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.
ماذا تغطي تمارين التروس ومجموعات التروس؟
  • سهلة: نسبة السرعة
  • متوسطة: العزم والقدرة
  • صعبة: مجموعة تروس مركّبة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

الآلات الحاسبة

حاسبة نسبة التروسحاسبة طول السير (المفتوح والمتقاطع)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الديناميكاتصميم الآلاتالنظم الميكاترونيةالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإطارات والآلاتالإجهاد والانفعال المحوريالتواء الأعمدةدائرة مور وتحويل الإجهادحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالاهتزازات الميكانيكيةالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةالاستمرارية وبرنولياحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراري

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التروس ومجموعات التروس مع الإجابات
تدرّب على التروس ومجموعات التروس مجانًاتدرّب على التروس ومجموعات التروس الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.