الاهتزازات الميكانيكية: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الاهتزازات الميكانيكية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: التردد الطبيعي, نسبة التخميد, النوابض على التوالي والتوازي.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
kmδst​ = 15 mmدون حمل

آلة ترتكز على حوامل نابضية تنضغط بمقدار 15 mm تحت وزنها. اعتبرها نظامًا غير مخمَّد بدرجة حرية واحدة واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

δst = 15 mmg = 9,81 m/s²
Hz
المسألة التالية →
تدرّب على الاهتزازات الميكانيكية مجانًاتدرّب على الاهتزازات الميكانيكية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالتردد الطبيعي
  2. متوسطةنسبة التخميد
  3. صعبةالنوابض على التوالي والتوازي

الصيغ الأساسية

التردد الطبيعي
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي
ωn = √(g/δst)
التخميد الحرج
cc = 2√(km) = 2mωn
نسبة التخميد
ζ = c/cc
التردد المخمَّد
ωd = ωn√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي
k = k1 + k2
نوابض على التوالي
1/k = 1/k1 + 1/k2

تعلّم الاهتزازات الميكانيكية من البداية

قبل هذا: النوابض والبندولات

1ما هو الاهتزاز

علّق كتلة على نابض، واسحبها قليلًا إلى الأسفل ثم اتركها. ترتد صعودًا وهبوطًا حول موضع راحتها. هذه الحركة المتكررة هي اهتزاز.

لكل نظام كهذا إيقاعه المفضل، وهو التردد الطبيعي. يعتمد فقط على مدى صلابة النابض ومدى ثقل الكتلة، لا على المسافة التي سحبت بها.

kmx

يهتم المهندسون بذلك لأن الآلة التي تُهز بتردد طبيعي قد تهتز بعنف. وهذا يسمى الرنين. تُصمم دعامات المحركات والغسالات والجسور كلها مع مراعاته.

النابض الأصلب يجعل الاهتزاز أسرع. والكتلة الأثقل تجعله أبطأ.

تحقّق ذاتي تستبدل بالكتلة على النابض كتلة أثقل أربع مرات. ماذا يحدث للتردد الطبيعي؟
  1. تتضاعف
  2. تتنصّف
  3. يبقى كما هو
  4. يصبح أقل أربع مرات

الإجابة: تتنصّف. يعتمد التردد على √(k/m). أربعة أضعاف الكتلة تقسم الجذر التربيعي على √4 = 2، فينخفض التردد إلى النصف.

2التردد الطبيعي وتوليفات النوابض

لكتلة m (kg) على نابض صلابته k (N/m)، التردد الدائري الطبيعي بـ rad/s هو:

ωn = √(k / m)

الدورة الكاملة 2π راديان. لذا فإن التردد الطبيعي بالهرتز (دورة في الثانية) والزمن الدوري (ثانية لكل دورة) هما:

fn = ωn / (2π) T = 1 / fn

أحيانًا تعرف فقط مقدار هبوط النابض تحت الوزن، أي الانحراف الساكن δst = m·g/k. عندئذ ωn = √(g / δst)، مع δst بالمتر.

حين توجد عدة نوابض، استبدلها أولًا بنابض مكافئ واحد:

k1​k2​mk1​k2​mk = k₁ + k₂1/k = 1/k₁ + 1/k₂
  • جنبًا إلى جنب (توازٍ)، تتقاسم النوابض الحمل وتتجمع الصلابات.
  • طرفًا لطرف (توالٍ)، يتحمل كل نابض الحمل كاملًا، ويكون النابض المكافئ أليَن من أي منها.
تحقّق ذاتي نابضان صلابة كل منهما 10 kN/m موصولان طرفًا لطرف (على التوالي). ما الصلابة المكافئة؟
  1. 10 kN/m
  2. 100 kN/m
  3. 20 kN/m
  4. 5 kN/m

الإجابة: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10، إذن k = 5 kN/m. جمعهما للحصول على 20 kN/m هو قاعدة النوابض على التوازي.

3التخميد

الاهتزازات الحقيقية تخمد. المخمِّد (مكبس يتحرك في زيت، مثل ممتص الصدمات في السيارة) يأخذ الطاقة. وقوته هي معامل التخميد c بـ N·s/m.

kcmx

التخميد الحرج هو مقدار التخميد الذي يمنع الكتلة من الارتداد تمامًا:

cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn

تقارن نسبة التخميد التخميد الحقيقي بتلك القيمة الحرجة:

ζ = c / cc
  • ζ < 1: تخميد ناقص. ما زالت الكتلة تهتز، لكن التأرجحات تتناقص.
  • ζ = 1: تخميد حرج. تعود إلى السكون بأسرع ما يمكن دون تجاوز.
  • ζ > 1: تخميد زائد. تزحف عائدة ببطء دون اهتزاز.

النظام ناقص التخميد يهتز أبطأ قليلًا من غير المخمَّد، بـالتردد الطبيعي المخمَّد:

ωd = ωn · √(1 − ζ²)
تحقّق ذاتي تجلس كتلة 10 kg على نابض 1000 N/m مع مخمِّد c = 50 N·s/m. ما نسبة التخميد؟
  1. 0,25
  2. 0,5
  3. 2,5
  4. 4

الإجابة: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m، إذن ζ = 50/200 = 0,25. نسيان العامل 2 يعطي 0,5، والقسمة بالعكس تعطي 4.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. حوّل كل شيء إلى وحدات SI: kN/m إلى N/m (× 1000)، وmm إلى m، والغرامات إلى kg.
  2. إذا وُجدت عدة نوابض فادمجها في k واحدة: اجمعها في التوازي، واجمع مقلوباتها في التوالي.
  3. أوجد ωn = √(k/m) بـ rad/s.
  4. إذا طلب السؤال الهرتز فاقسم على 2π: fn = ωn/(2π). وللزمن الدوري خذ T = 1/fn.
  5. مع التخميد، أوجد cc = 2·√(k·m)، ثم ζ = c/cc وإذا طُلب ωd = ωn·√(1 − ζ²).

فرّق بين ω (rad/s) وf (Hz). بينهما عامل 2π ≈ 6,28، والخلط بينهما أشيع طريقة لخسارة الدرجات.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

كتلة 50 kg معلقة بنابض صلابته 20 kN/m. أهمل التخميد. أوجد التردد الطبيعي fn بـ Hz والزمن الدوري للاهتزاز.

1

ارسم وحوّل

20 kN/m50 kgx

يجب أن تكون الصلابة بـ N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. والكتلة بـ kg أصلًا.

2

التردد الطبيعي الزاوي

ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3

حوّل إلى هرتز

اقسم على 2π لتعدّ الدورات الكاملة في الثانية:

fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4

الزمن الدوري

T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s

تؤدي الكتلة أكثر من ثلاث دورات كاملة صعودًا وهبوطًا كل ثانية.

5

تحقّق من الإجابة

الانحراف الساكن هو δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.

ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s

وهي 20 rad/s نفسها، لكن بطريقة مختلفة. الإجابة صحيحة.

6

خطوة أبعد: أضف مخمِّدًا

مع مخمِّد c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m، إذن ζ = 400/2000 = 0,2.

ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
الإجابة

fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s)، والزمن الدوري T ≈ 0,314 s.

6أخطاء شائعة

  • إعطاء ωn بـ rad/s حين يطلب السؤال fn بـ Hz، أو العكس.
  • ترك الصلابة بـ kN/m. الصيغة تحتاج N/m.
  • جمع النوابض على التوالي كأنها على التوازي.
  • نسيان العدد 2 في cc = 2·√(k·m).
  • استخدام الوزن m·g بدل الكتلة m في ωn = √(k/m).
تحقّق ذاتي كتلة 4 kg معلقة بنابض 400 N/m. ما ترددها الطبيعي بـ Hz؟
  1. 0,05 Hz
  2. 1,59 Hz
  3. 10 Hz
  4. 62,8 Hz

الإجابة: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s، وfn = 10/(2π) = 1,59 Hz. التوقف عند 10 يعطي rad/s لا Hz؛ والضرب في 2π يعطي 62,8؛ واستخدام 0,4 (kN/m) يعطي 0,05 Hz.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: التردد الطبيعي. كتلة على نابض: أوجد ωn بـ rad/s أو fn بـ Hz. بعض الأسئلة تعطي فقط الانحراف الساكن لآلة على دعاماتها.
  • متوسط: نسبة التخميد. أوجد ζ من m وk وc، أو أوجد التردد المخمَّد fd من ζ معطاة. وتعطي أسئلة أخرى قمتين من اختبار اهتزاز حر.
  • صعب: نوابض على التوالي والتوازي، وأحيانًا الاثنان معًا (نابضان جنبًا إلى جنب يحملان قضيبًا، مع نابض ثالث تحته). أوجد keq أولًا، ثم fn.

لقمتين x0 وxn تفصل بينهما n دورة، استخدم التناقص اللوغاريتمي:

δ = (1/n) · ln(x0 / xn), ζ = δ / √(4π² + δ²)

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
k = 15 kN/mm = 40 kgx

كتلة 40 kg معلّقة بنابض جساءته 15 kN/m. أهمل التخميد. أوجد التردد الطبيعي fn بالـ Hz.

m = 40 kgk = 15 kN/m

المطلوب: fn (Hz)

أظهر التلميحات
  1. اعمل بوحدات SI: k بالـ N/m.
  2. ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
  3. k = 15000 N/m.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي الزاوي

ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s

بالهرتز

fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

الإجابة

fn = 3,082 Hz
مثال 2متوسطة
k = 50 kN/mζ = 0,4m = 10 kg

كتلة 10 kg على نابض جساءته 50 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4

المطلوب: fd (Hz)

أظهر التلميحات
  1. أوجد التردد الطبيعي غير المخمَّد أولًا.
  2. ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
  3. fd = fn·√(1 − ζ²).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz

الإجابة

fd = 10,31 Hz
مثال 3صعبة
k1​ = 80k2​ = 20m = 5 kg

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 20 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة keq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m

المطلوب: keq (kN/m)

أظهر التلميحات
  1. النوابض على التوازي تتشارك الانحراف: تُجمع الجساءات. النوابض على التوالي تتشارك القوة: تُجمع المطاوعات 1/k.
  2. 1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
  3. keq < 20 kN/m.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/20 → keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

الإجابة

keq = 16 kN/m

أسئلة وأجوبة

ما هو الاهتزازات الميكانيكية؟

علّق كتلة على نابض، واسحبها قليلًا إلى الأسفل ثم اتركها. ترتد صعودًا وهبوطًا حول موضع راحتها. هذه الحركة المتكررة هي اهتزاز.

لكل نظام كهذا إيقاعه المفضل، وهو التردد الطبيعي. يعتمد فقط على مدى صلابة النابض ومدى ثقل الكتلة، لا على المسافة التي سحبت بها.

كيف تحل مسائل الاهتزازات الميكانيكية خطوة بخطوة؟

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

ما الأخطاء الشائعة في الاهتزازات الميكانيكية؟
  • هذا هو ωn بالـ rad/s. اقسم على 2π لتحصل على التردد بالـ Hz.
  • حوّل kN/m إلى N/m (اضرب في 1000) قبل استخدام ωn = √(k/m).
  • اقسم ωn على 2π لتحصل على Hz؛ ولا تضرب.
ماذا تغطي تمارين الاهتزازات الميكانيكية؟
  • سهلة: التردد الطبيعي
  • متوسطة: نسبة التخميد
  • صعبة: النوابض على التوالي والتوازي

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

النوابض والبندولات

الآلات الحاسبة

حاسبة التردد الطبيعي والتخميد

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الديناميكاتصميم الآلاتالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الميكانيكية

ردود أفعال ركائز الكمراتالإطارات والآلاتالإجهاد والانفعال المحوريالتواء الأعمدةدائرة مور وتحويل الإجهادحركة المقذوفاتالشغل والطاقةدوران الجسم الجاسئالمحرّكات الحرارية والثلاجاتدورات القدرة الغازيةالاستمرارية وبرنولياحتكاك الأنابيب وفاقد السمتالمضخات وقدرة المضخاتالتوصيل الحراريالتروس ومجموعات التروس

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الاهتزازات الميكانيكية مع الإجابات
تدرّب على الاهتزازات الميكانيكية مجانًاتدرّب على الاهتزازات الميكانيكية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.