النوابض والبندولات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في النوابض والبندولات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: كتلة على نابض, البندول, السرعة والتسارع والطاقة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
4,8 kgk = ?

كتلة مقدارها 4,8 kg على نابض تهتز بزمن دوري 2,5 s. أوجد صلابة النابض k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
المسألة التالية →
تدرّب على النوابض والبندولات مجانًاتدرّب على النوابض والبندولات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةكتلة على نابض
  2. متوسطةالبندول
  3. صعبةالسرعة والتسارع والطاقة

الصيغ الأساسية

كتلة على نابض
T = 2π·√(m/k)
البندول
T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي
ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع
vmax = A·ω, amax = A·ω²
الطاقة
E = ½·k·A²

تعلّم النوابض والبندولات من البداية

قبل هذا: قوانين نيوتن

1ما هو التذبذب

اسحب كتلة على نابض إلى جانب واتركها. ترتد مارة بالوسط، إلى الجانب الآخر، ثم تعود. والطفل على أرجوحة ووتر الغيتار يفعلان الشيء نفسه.

هذه الحركة المتكررة هي تذبذب. والنقطة الوسطى، حيث تستقر الكتلة، هي موضع الاتزان.

m0−A+Axk
  • السعة A هي أكبر مسافة عن الاتزان، بـ m.
  • الزمن الدوري T هو زمن تذبذبة كاملة واحدة، ذهابًا وإيابًا، بـ s.
  • التردد f هو عدد التذبذبات في الثانية، بالهرتز (Hz).
f = 1 / T
تحقّق ذاتي تؤدي كتلة على نابض 20 تذبذبة كاملة في 10 s. ما الزمن الدوري؟
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

الإجابة: 0,5 s. T = الزمن / عدد التذبذبات = 10/20 = 0,5 s. أما 2 فهو التردد بـ Hz (20/10)، أي عدد التذبذبات في الثانية.

2الحركة التوافقية البسيطة

يشد النابض إلى الخلف بقوة تتناسب مع الاستطالة: F = −k·x. الصلابة k بـ N/m. وإشارة الناقص تعني أن القوة تتجه دائمًا نحو الاتزان.

قوة إرجاع كهذه تعطي حركة توافقية بسيطة (SHM). ويتبع الموضع منحنى جيب التمام مع الزمن:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

التردد الزاوي ω (أوميغا)، بـ rad/s، يحدد سرعة تكرار الحركة. والزمن الدوري الواحد هو 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

السعة لا تغيّر الزمن الدوري. فالتأرجح الأكبر يقطع مسافة أكبر لكنه يتحرك أسرع أيضًا.

3صيغ النابض والبندول

في كتلة على نابض، تتذبذب الكتلة الأثقل ببطء أكبر والنابض الأصلب بسرعة أكبر:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

في البندول البسيط طوله L، بتأرجحات صغيرة، لا تهم الكتلة إطلاقًا:

T = 2π · √(L / g)

إذا عُلّق نابض رأسيًا، فإن الوزن يمطّه إلى اتزان جديد: k·x = m·g. استخدم هذا لإيجاد k من استطالة مقيسة.

السرعة أكبر ما تكون عند الاتزان وصفر عند الطرفين. والتسارع أكبر ما يكون عند الطرفين، حيث قوة النابض أكبر:

vmax = A · ω amax = A · ω²

تبقى الطاقة الكلية ثابتة: E = ½·k·A². وعند موضع x تتوزع كـ ½·k·x² + ½·m·v².

تحقّق ذاتي تستبدل بكتلة على نابض كتلة أثقل بمرتين. ماذا يحدث للزمن الدوري؟
  1. تتضاعف
  2. يصبح أطول 4 مرات
  3. يصبح أطول √2 ≈ 1,41 مرة
  4. يصبح أقصر 1,41 مرة

الإجابة: يصبح أطول √2 ≈ 1,41 مرة. T = 2π·√(m/k)، إذن تنمو T مع الجذر التربيعي لـ m. مضاعفة m تضرب T في √2. والقول إنه يتضاعف ينسى الجذر التربيعي.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. حوّل كل شيء إلى وحدات SI: الغرامات إلى kg، والسنتيمترات إلى m.
  2. حدد أي نظام هو: كتلة على نابض (استخدم k وm) أو بندول (استخدم L وg).
  3. إذا أُعطي الزمن الدوري أو عدد التذبذبات، فأوجد T أولًا: T = الزمن / العدد.
  4. أوجد ω من النظام: ω = √(k/m) أو ω = 2π/T.
  5. استخدم الصيغة لما هو مطلوب: T أو f أو vmax = A·ω أو amax = A·ω² أو الطاقة ½·k·A².
  6. تحقق من أن الإجابة معقولة: زمن دوري بكسر من الثانية لنابض صلب، وبضع ثوان لبندول طويل.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

كتلة 0,5 kg على نابض k = 200 N/m تُسحب 5 cm عن الاتزان وتُترك. أوجد الزمن الدوري T والتردد f والسرعة القصوى vmax والتسارع الأقصى amax.

1

الوحدات

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

التردد الزاوي

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

الزمن الدوري والتردد

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

أقصى سرعة

الكتلة أسرع ما تكون وهي تمر بالاتزان.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

أقصى تسارع

التسارع أكبر ما يكون عند الطرفين، حيث تنعكس الكتلة.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

تحقّق من الإجابة

فحص الطاقة: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J، و½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. كل طاقة النابض تصبح طاقة حركة عند الاتزان.

الإجابة

T ≈ 0,314 s وf ≈ 3,18 Hz وvmax = 1 m/s وamax = 20 m/s².

6أخطاء شائعة

  • استخدام السعة بـ cm بدل m.
  • قلب الكسر: T = 2π·√(m/k)، لا √(k/m). وللبندول هو √(L/g).
  • نسيان 2π، أو الخلط بين ω (rad/s) وf (Hz).
  • الظن أن الكتلة تغيّر الزمن الدوري لبندول، أو أن السعة تغيّر أي زمن دوري.
  • الخلط بين vmax = A·ω وamax = A·ω².
تحقّق ذاتي تتذبذب كتلة بسعة 10 cm وω = 10 rad/s. ما تسارعها الأقصى؟
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

الإجابة: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². استخدام A = 10 (cm) يعطي 1000. أما 1 m/s فهي A·ω، السرعة القصوى، لا التسارع.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: كتلة على نابض. أوجد T أو f أو k، أحيانًا من عدّ تذبذبات أو من مقدار استطالة الكتلة لنابض معلق.
  • متوسط: البندول. أوجد زمنه الدوري، أو الطول لزمن دوري معطى، أو g على كوكب آخر. وتسأل بعض الأسئلة عن السرعة عند موضع أو في زمن معطى.
  • صعب: السرعة والتسارع والطاقة: vmax وamax وطاقة الحركة عند موضع، أو السعة بعد أن تصطدم رصاصة بكتلة على نابض.

فحص سريع لأي بندول: بندول طوله 1 m على الأرض زمنه الدوري نحو 2 s.

تحقّق ذاتي بندول طوله 2,45 m. مع g = 9,81 m/s²، ما زمنه الدوري لتأرجحات صغيرة؟
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

الإجابة: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. √(g/L) مقلوبة تعطي 12,6 s، ونسيان الجذر يعطي 1,57 s، ونسيان 2π يعطي 0,50 s.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
3,2 kgk = 210 N/m

كتلة مقدارها 3,2 kg على نابض صلابته 210 N/m تهتز على سطح أملس. أوجد الزمن الدوري T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

المطلوب: T (s)

أظهر التلميحات
  1. الزمن الدوري لنظام كتلة–نابض لا يعتمد على السعة.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

الإجابة

T = 0,7756 s
مثال 2متوسطة
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

كتلة مقدارها 1,1 kg على نابض k = 120 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 7 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 6 cm من موضع الاتزان.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

المطلوب: v (m/s)

أظهر التلميحات
  1. الطاقة محفوظة: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. لذا v = ω·√(A² − x²) مع ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

الإجابة

v = 0,3766 m/s
مثال 3صعبة
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

كتلة مقدارها 1,7 kg على نابض k = 380 N/m تُسحب 11 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

المطلوب: amax (m/s²)

أظهر التلميحات
  1. ω = √(k/m).
  2. يكون التسارع أكبر ما يمكن عند الطرفين: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

أقصى تسارع

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

الإجابة

amax = 24,59 m/s²

أسئلة وأجوبة

ما هو النوابض والبندولات؟

اسحب كتلة على نابض إلى جانب واتركها. ترتد مارة بالوسط، إلى الجانب الآخر، ثم تعود. والطفل على أرجوحة ووتر الغيتار يفعلان الشيء نفسه.

هذه الحركة المتكررة هي تذبذب. والنقطة الوسطى، حيث تستقر الكتلة، هي موضع الاتزان.

كيف تحل مسائل النوابض والبندولات خطوة بخطوة؟

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

ما الأخطاء الشائعة في النوابض والبندولات؟
  • لا تنسَ 2π: T = 2π·√(m/k) و f = 1/T.
  • تحقّق من الكسر تحت الجذر: T = 2π·√(m/k)، الكتلة في البسط.
  • هذه أقصى سرعة، عند موضع الاتزان. عند x تكون السرعة أقل: v = ω·√(A² − x²).
ماذا تغطي تمارين النوابض والبندولات؟
  • سهلة: كتلة على نابض
  • متوسطة: البندول
  • صعبة: السرعة والتسارع والطاقة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

قوانين نيوتن

ثم تابع مع

الاهتزازات الميكانيكيةالموجات والصوت والبصريات

الآلات الحاسبة

حاسبة زمن دورة البندول والنابضحاسبة ثابت النابض (قانون هوك)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الديناميكاالفيزياء 1: الميكانيكاالموجات والبصرياتمسائل تدريب AP Physics 1

مواضيع أخرى في الفيزياء

علم الحركةقوانين نيوتنالحركة الدائريةكمية الحركة والتصادماتقانون كولوم والمجالات الكهربائيةالمجالات المغناطيسية والحثالموجات والصوت والبصريات

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل النوابض والبندولات مع الإجابات
تدرّب على النوابض والبندولات مجانًاتدرّب على النوابض والبندولات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.