الموجات والصوت والبصريات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: ما هو الموجات والصوت والبصريات؟

تنقل الموجة الطاقة من مكان إلى آخر دون نقل المادة معها: الوسط يهتز فقط. على وتر أو على الماء تكون الحركة مستعرضة (عمودية على اتجاه الانتشار)؛ والصوت في الهواء طولي (على امتداده). ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s، والضوء بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. تعتمد السرعة على الوسط لا على التردد.

Q: ما الأخطاء الشائعة في الموجات والصوت والبصريات؟

قياس الزوايا من السطح بدل العمودي. استخدام 20·log للشدات أو جمع الديسيبلات مباشرة. وضع سرعة المصدر في بسط صيغة دوبلر. إسقاط اصطلاح الإشارات للعدسات المفرِّقة والمرايا المحدبة. تقريب أعلى رتبة للمحزوز إلى أقرب عدد صحيح بدل التقريب إلى الأسفل.

Q: ماذا تغطي تمارين الموجات والصوت والبصريات؟

سهلة: سرعة الموجة ومستوى الصوت والانكسار متوسطة: الموجات الموقوفة والعدسات ودوبلر صعبة: التداخل والمحازيز والمرايا والألياف لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في الموجات والصوت والبصريات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: سرعة الموجة ومستوى الصوت والانكسار, الموجات الموقوفة والعدسات ودوبلر, التداخل والمحازيز والمرايا والألياف.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

يدخل ضوء طوله الموجي 650 nm في الفراغ ماء (n = 1,33). جد طوله الموجي λ داخل المادة.

n = 1,33λ₀ = 650 nm

المسألة التالية →

تدرّب على الموجات والصوت والبصريات مجانًا تدرّب على الموجات والصوت والبصريات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةسرعة الموجة ومستوى الصوت والانكسار
متوسطةالموجات الموقوفة والعدسات ودوبلر
صعبةالتداخل والمحازيز والمرايا والألياف

كيف تحلّ مسائل الموجات والصوت والبصريات

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

أخطاء شائعة

قياس الزوايا من السطح بدل العمودي.
استخدام 20·log للشدات أو جمع الديسيبلات مباشرة.
وضع سرعة المصدر في بسط صيغة دوبلر.
إسقاط اصطلاح الإشارات للعدسات المفرِّقة والمرايا المحدبة.
تقريب أعلى رتبة للمحزوز إلى أقرب عدد صحيح بدل التقريب إلى الأسفل.

الصيغ الأساسية

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

تعلّم الموجات والصوت والبصريات من البداية

قبل هذا: النوابض والبندولات

1ما الموجة

تنقل الموجة الطاقة من مكان إلى آخر دون نقل المادة معها: الوسط يهتز فقط. على وتر أو على الماء تكون الحركة مستعرضة (عمودية على اتجاه الانتشار)؛ والصوت في الهواء طولي (على امتداده).

الطول الموجي λ هو طول دورة كاملة، والدور T زمن دورة واحدة، والتردد f = 1/T. في دور واحد تتحرك الموجة طولًا موجيًا واحدًا، إذن:

v = fλ الوتر: v = √(T/μ)، μ = m/L

ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s، والضوء بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. تعتمد السرعة على الوسط لا على التردد.

تحقّق ذاتي صوت تردده 686 Hz ينتشر بسرعة 343 m/s. ما طوله الموجي؟

0,002 m
0,5 m
2 m
235 000 m

الإجابة: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. القسمة بالعكس تعطي 2 m، والضرب يعطي عددًا ضخمًا.

2مستوى الصوت وأثر دوبلر

تستجيب آذاننا للشدة I (W/m²) بمقياس لوغاريتمي، لذا يُعطى علو الصوت بالديسيبل:

β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²

عشرة أضعاف الشدة تضيف 10 dB؛ ومصدران متطابقان يضيفان نحو 3 dB. يوزّع مصدر صغير قدرته على كرة، I = P/(4πr²)، فتضاعف المسافة يخفض المستوى بنحو 6 dB.

عندما يقترب المصدر والمستمع أحدهما من الآخر ترتفع النغمة؛ وعندما يبتعدان تنخفض (أثر دوبلر):

f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)

استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. سرعة المستمع في البسط، وسرعة المصدر في المقام.

3الموجات الموقوفة

الموجات المنعكسة عند طرفي وتر تتداخل لتكوّن موجة موقوفة. للوتر المثبت من الطرفين عقدتان عند الطرفين ويتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة:

L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …

ينطبق القانون نفسه على أنبوب مفتوح الطرفين. أما الأنبوب المغلق من طرف واحد فله عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح، فلا تناسبه إلا التوافقيات الفردية: fₙ = n·v/(4L) مع n = 1, 3, 5, …

تحقّق ذاتي أنبوب مغلق من طرف واحد أساسيّه 100 Hz. أي من هذه الترددات يستطيع إنتاجها أيضًا؟

150 Hz
200 Hz
300 Hz
50 Hz

الإجابة: 300 Hz. للأنبوب المغلق توافقيات فردية فقط: 100 و300 و500 Hz، … أما 200 Hz فتتطلب n = 2، وهذا لا يناسب أنبوبًا مغلقًا.

4الانكسار والعدسات

يتباطأ الضوء في الزجاج أو الماء بالعامل n = c/v (معامل الانكسار). عند الحد الفاصل يغيّر الشعاع اتجاهه (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي:

n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁

عند الانتقال من وسط أكثف إلى أقل كثافة بعد θ_c، ينعكس كل الضوء (انعكاس داخلي كلي). تهدي الألياف الضوئية الضوء بهذه الطريقة.

تخضع العدسات الرقيقة والمرايا المنحنية لمعادلة واحدة، مع التكبير m = −dᵢ/d₀:

1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ

الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة. dᵢ الموجبة صورة حقيقية، والسالبة صورة وهمية؛ و m < 0 تعني أن الصورة مقلوبة.

5التداخل والحيود

يتراكب الضوء من شقين ضيقين تفصل بينهما المسافة d على شاشة تبعد L. وحيث يساوي فرق المسار d·sin θ عددًا صحيحًا من الأطوال الموجية تتجمع الموجتان: أهداب مضيئة.

d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d

يحتوي محزوز الحيود على شقوق كثيرة: N خطًا لكل mm يعني d = 1/N mm. نهاياته العظمى حادة وبعيدة بعضها عن بعض، وأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m يحقق m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، فعرض نهايته العظمى المركزية 2λL/a.

6مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

جسم يقف على بعد 30 cm أمام عدسة لامّة بُعدها البؤري f = 10 cm. جد بعد الصورة والتكبير.

معادلة العدسة

1/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30

إذن dᵢ = 15 cm.

طبيعة الصورة

dᵢ موجب، فالصورة حقيقية: تتكون في الجانب البعيد من العدسة ويمكن التقاطها على شاشة.

التكبير

m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5

الصورة مقلوبة وحجمها نصف حجم الجسم.

تحقق برسم

الشعاع الموازي للمحور ينكسر عبر البؤرة F في الجانب البعيد؛ والشعاع المار بالمركز يسير مستقيمًا. يتقاطعان على بعد 15 cm خلف العدسة، تحت المحور.

الإجابة

dᵢ = 15 cm وm = −0,5: صورة حقيقية مقلوبة بنصف الحجم.

تحقّق ذاتي جسم على بعد 5 cm أمام عدسة لامّة بُعدها البؤري f = 10 cm. أي نوع من الصور يتكون؟

حقيقية معتدلة، في الجهة نفسها
حقيقية مقلوبة، في الجانب البعيد
لا صورة: تخرج الأشعة متوازية
وهمية معتدلة، في جهة الجسم نفسها

الإجابة: وهمية معتدلة، في جهة الجسم نفسها. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10، إذن dᵢ = −10 cm: بعد الصورة السالب يعني صورة وهمية، و m = +2 تعني معتدلة ومكبّرة. هكذا تعمل العدسة المكبّرة.

7أخطاء شائعة وأسئلة الامتحان

قياس الزوايا من السطح بدل العمودي.
استخدام 10·log للسعات أو 20·log للشدات: الشدات تستخدم 10·log.
إعطاء أنبوب مغلق توافقيات زوجية.
إسقاط إشارة الناقص لصورة وهمية أو عدسة مفرِّقة.
نسيان تحويل nm و mm و cm إلى أمتار في أسئلة التداخل.

سهل: v = fλ، والموجات على الأوتار، ومستويات الصوت، وقانون سنيل، وسرعة الضوء في مادة.
متوسط: الموجات الموقوفة على الأوتار وفي الأنابيب، والزاوية الحرجة، والعدسات الرقيقة، وأثر دوبلر، وقانون التربيع العكسي.
صعب: الشقوق المزدوجة، والمحازيز، والشقوق المفردة، والمرايا، وأنظمة العدستين، والأصداء من أجسام متحركة، والألياف الضوئية.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

موجة صوتية في الهواء ترددها 1 kHz وطولها الموجي 0,343 m. جد سرعتها v.

f = 1 kHzλ = 0,343 m

المطلوب: v (m/s)

أظهر التلميحات

تتحرك الموجة طولًا موجيًا واحدًا في دور واحد T = 1/f.
v = fλ.
f = 1000 Hz.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الموجات: تتحرك الموجة الدورية طولًا موجيًا واحدًا في دور واحد، إذن v = fλ مع T = 1/f. على وتر مشدود v = √(T/μ)، حيث T الشد و μ = m/L الكتلة لكل متر. ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s عند 20 °C، والضوء في الفراغ بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. يُقاس علو الصوت بمقياس لوغاريتمي: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB مع I₀ = 10⁻¹² W/m²، فعشرة أضعاف الشدة تضيف 10 dB. يوزّع مصدر نقطي قدرته P على كرة: I = P/(4πr²).

سرعة الموجة

v = fλ = 1000·0,343 = 343 m/s

الإجابة

v = 343 m/s

مثال 2متوسطة

يجب أن تقع التوافقية رقم 3 في أنبوب مفتوح الطرفين عند 686 Hz. سرعة الصوت 343 m/s. جد طول الأنبوب L.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 686 Hz

المطلوب: L (m)

أظهر التلميحات

f = n·v/(2L).
حلّ لإيجاد L.
λ = v/f = 0,5 m.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي

λ = v/f = 343/686 = 0,5 m

الطول

L = nλ/2 = 3·0,5/2 = 0,75 m

الإجابة

L = 0,75 m

مثال 3صعبة

ليف ضوئي له قلب بـ n₁ = 1,52 وغلاف بـ n₂ = 1,49. جد أكبر زاوية θ_a مع محور الليف يمكن أن يدخل عندها الضوء القادم من الهواء طرف الليف ويظل موجَّهًا بالانعكاس الداخلي الكلي.

n₁ = 1,52n₂ = 1,49n₀ = 1,00

المطلوب: θ_a (°)

أظهر التلميحات

داخل القلب يجب أن يصل الشعاع إلى الغلاف بالزاوية الحرجة على الأقل: sin θc = n₂/n₁.
عند وجه الدخول، sin θ_a = n₁·cos θc = √(n₁² − n₂²) = NA.
n₁² − n₂² = 0,0903.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

الزاوية الحرجة عند الغلاف

sin θc = 1,49/1,52 = 0,9803 → θc = 78,6°

الفتحة العددية

NA = √(1,52² − 1,49²) = 0,3005

زاوية القبول

θ_a = arcsin(0,3005) = 17,49°

الإجابة

θ_a = 17,49°

أسئلة وأجوبة

ما هو الموجات والصوت والبصريات؟

ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s، والضوء بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. تعتمد السرعة على الوسط لا على التردد.

كيف تحل مسائل الموجات والصوت والبصريات خطوة بخطوة؟

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

ما الأخطاء الشائعة في الموجات والصوت والبصريات؟