الحركة الدائرية: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: كيف تحل مسائل الحركة الدائرية خطوة بخطوة؟

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

Q: ماذا تغطي تمارين الحركة الدائرية؟

سهلة: القوة المركزية متوسطة: الاحتكاك في المنعطف صعبة: الدائرة الرأسية لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في الحركة الدائرية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: القوة المركزية, الاحتكاك في المنعطف, الدائرة الرأسية.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

سيارة كتلتها 1600 kg تسير في منعطف مستوٍ نصف قطره 100 m بسرعة ثابتة 29 m/s. أوجد القوة المتجهة نحو الداخل (المركزية) F_c اللازمة.

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m

المسألة التالية →

تدرّب على الحركة الدائرية مجانًا تدرّب على الحركة الدائرية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةالقوة المركزية
متوسطةالاحتكاك في المنعطف
صعبةالدائرة الرأسية

الصيغ الأساسية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

تعلّم الحركة الدائرية من البداية

قبل هذا: قوانين نيوتن

1ما هي الحركة الدائرية

سيارة في منعطف، وحجر مربوط بخيط، وقمر صناعي حول الأرض، كلها تتحرك على دائرة. وحتى بسرعة ثابتة يتغير اتجاهها باستمرار.

تغيّر الاتجاه تغيّر في السرعة المتجهة، فيتسارع الجسم. ويتجه هذا التسارع نحو مركز الدائرة. ويسمى التسارع المركزي a_c.

السرعة المتجهة دائمًا على المماس، عموديةً على نصف القطر. ولو توقف الشدّ إلى الداخل فجأةً لانطلق الجسم في خط مستقيم على المماس، لا نحو الخارج.

تحقّق ذاتي تسير سيارة حول دوّار بسرعة ثابتة. في أي اتجاه تتسارع؟

إلى الأمام، على امتداد سرعتها
لا تتسارع
نحو الخارج، بعيدًا عن المركز
نحو مركز الدائرة

الإجابة: نحو مركز الدائرة. السرعة ثابتة لكن الاتجاه يتغير، فيوجد تسارع. وهو يتجه نحو المركز. أما الإحساس بالدفع «إلى الخارج» فهو محاولة جسمك الاستمرار في خط مستقيم.

2التسارع المركزي والقوة المركزية

يتوقف التسارع المركزي على السرعة v (m/s) ونصف القطر r (m):

a_c = v² / r

ضعف السرعة يعطي أربعة أمثال التسارع. والمنعطف الأضيق (r أصغر) يعطي تسارعًا أكبر.

وبحسب القانون الثاني لنيوتن، يجب أن تتوفر قوة نحو الداخل بهذا المقدار:

F_c = m · v² / r

F_c ليست قوة جديدة. إنها القوة المحصلة نحو الداخل الناتجة عن قوى حقيقية: الاحتكاك في منعطف أفقي، أو الشد في خيط، أو الجاذبية لقمر صناعي، أو قوة رد الفعل العمودية على طريق مائل.

كثيرًا ما تُوصف الأجسام الدوّارة بـ السرعة الزاوية ω بوحدة rad/s. الدورة الواحدة تساوي 2π rad، فـ 60 rpm تساوي 2π rad/s.

ω = v / r = 2π / T a_c = ω² · r

تحقّق ذاتي يقود دراج بسرعة 10 m/s في منعطف نصف قطره 50 m. ما التسارع المركزي؟

0,2 m/s²
2 m/s²
5 m/s²
5000 m/s²

الإجابة: 2 m/s². a_c = v²/r = 100/50 = 2 m/s². ونسيان تربيع السرعة يعطي 10/50 = 0,2 m/s².

3الطريقة خطوة بخطوة

حوّل السرعات إلى m/s وأنصاف الأقطار إلى m وrpm إلى rad/s.
ارسم الجسم عند النقطة المطلوبة وعلّم اتجاه المركز.
ارسم القوى الحقيقية: الوزن، وقوة رد الفعل العمودية، والاحتكاك، والشد.
اعتبر «نحو المركز» موجبًا واجمع مركّبات القوى في ذلك الاتجاه.
ساوِ هذه المحصلة نحو الداخل مع m·v²/r وحُلّ.

في منعطف أفقي يعطي الاحتكاك وحده القوة نحو الداخل. وتنتج أقصى سرعة قبل الانزلاق من μ·m·g = m·v²/r. والكتلة تُختزل:

v_max = √(μ · g · r)

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

تدخل سيارة منعطفًا أفقيًا نصف قطره 40 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة اجتياز المنعطف بها دون انزلاق.

أي قوة تتجه نحو الداخل؟

على طريق أفقي، الجاذبية وقوة رد الفعل العمودية رأسيتان. والاحتكاك وحده يؤثر جانبيًا، نحو مركز المنعطف.

أكبر قوة احتكاك

على طريق مستوٍ N = m·g، لذا فأكبر احتكاك ممكن:

F_f,max = μ · m · g

ساوِها بالقوة المركزية

μ · m · g = m · v² / r

الكتلة m في الطرفين وتُختزل، فالجواب نفسه لسيارة صغيرة ولشاحنة.

حُلّ لإيجاد السرعة

v² = μ · g · r = 0,5 · 9,81 · 40 = 196,2 m²/s²

v_max = √196,2 ≈ 14,0 m/s

تحقّق من الإجابة

14,0 m/s × 3,6 ≈ 50 km/h. وهذه سرعة قصوى معقولة لمنعطف ضيق نصف قطره 40 m. والطريق الزلق (μ أصغر) يعطي سرعة أقل.

الإجابة

v_max ≈ 14,0 m/s، أي نحو 50 km/h.

5الدوائر الرأسية

في الدائرة الرأسية يتجه الوزن أحيانًا نحو المركز وأحيانًا بعيدًا عنه. انظر إلى القمة والقاع كلًا على حدة.

عند القمة يتجه الشد (أو قوة رد الفعل العمودية) والوزن كلاهما إلى الأسفل، نحو المركز.
عند القاع يتجه الشد إلى الأعلى نحو المركز لكن الوزن يتجه بعيدًا عنه. ويجب أن يحمل الخيط الوزن وأن يعطي القوة المركزية.

عند القمة يبقى الخيط مشدودًا بالكاد عندما T = 0. عندئذٍ يعطي الوزن وحده القوة نحو الداخل: m·g = m·v²/r، إذن v_min = √(g·r).

إذا عرفت السرعة عند نقطة وأردتها عند أخرى، فاستخدم الطاقة: الصعود بمقدار 2r يكلّف 2·g·r من v²/2 لكل kg، إذن v_top² = v_bottom² − 4·g·r.

6أخطاء شائعة

رسم القوة المركزية كقوة إضافية بجانب الاحتكاك أو الشد. إنها مجموع القوى الحقيقية.
نسيان تربيع السرعة في v²/r.
استخدام km/h أو rpm مباشرةً. حوّل إلى m/s أو rad/s أولًا.
الخطأ في إشارة الوزن في الدائرة الرأسية: يساعد عند القمة ويعمل ضد الخيط عند القاع.
الاعتقاد بوجود قوة نحو الخارج على الجسم. في إطار الأرض لا توجد.

تحقّق ذاتي كرة كتلتها 0,5 kg على خيط طوله 1 m تتحرك بسرعة 4 m/s عند أدنى نقطة في دائرة رأسية. إذا كانت g = 9,81 m/s²، فما الشد هناك؟

12,9 N
3,1 N
4,9 N
8 N

الإجابة: 12,9 N. عند القاع T − m·g = m·v²/r، إذن T = 0,5 · 9,81 + 0,5 · 16/1 = 4,9 + 8 = 12,9 N. أما 8 N فتنسى الوزن. و3,1 N تطرح الوزن بدلًا من إضافته.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: القوة المركزية. أوجد a_c أو F_c لسيارة في منعطف أو حجر على خيط أو نقطة على قرص يدور.
متوسط: الاحتكاك في المنعطف وما يتصل به: أقصى سرعة في منعطف أفقي، ومنعطف مائل، وحدبة في الطريق، والبندول المخروطي، والدوّار في مدينة الملاهي.
صعب: الدائرة الرأسية. الشد عند القمة أو القاع، وأصغر سرعة عند القمة، أو حلقة الموت مع حفظ الطاقة.

في كل الحالات اسأل أولًا: أي قوة حقيقية، أو أي مجموعة منها، تتجه نحو المركز؟

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

سيارة كتلتها 1700 kg تسير في منعطف مستوٍ نصف قطره 110 m بسرعة ثابتة 14 m/s. أوجد القوة المتجهة نحو الداخل (المركزية) F_c اللازمة.

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

المطلوب: F_c (N)

أظهر التلميحات

الحركة على دائرة بسرعة ثابتة تعني مع ذلك وجود تسارع نحو المركز.
a = v²/r و F = m·a.
v² = 196 m²/s².

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

التسارع المركزي

a_c = v²/r = 14²/110 = 1,782 m/s²

القوة المركزية

F_c = m·a = 1700·1,782 = 3029 N

الإجابة

F_c = 3029 N

مثال 2متوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 50 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 50 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

المطلوب: v_max (m/s)

أظهر التلميحات

الاحتكاك هو القوة الوحيدة نحو الداخل، ولا يتجاوز μ·m·g.
ضع m·v²/r = μ·m·g. تُختصر الكتلة.
v = √(μ·g·r).

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·50) = 12,13 m/s

الإجابة

v_max = 12,13 m/s (43,67 km/h)

مثال 3صعبة

عربة كتلتها 1 kg تُترك من السكون على ارتفاع 11,9 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 3,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 1 kgh = 11,9 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

المطلوب: N_bottom (N)

أظهر التلميحات

الطاقة: عند القاع v² = 2g·h.
عند القاع: N − m·g = m·v²/R.
v² = 233,5 m²/s².

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.