المبادلات الحرارية (LMTD): مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المبادلات الحرارية (LMTD) مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: LMTD, المساحة المطلوبة, تصميم كامل.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
الطولT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂جريان متعاكس

في مبادل حراري متعاكس الجريان يبرد المائع الساخن من 115 إلى 100 °C بينما يسخن المائع البارد من 15 إلى 100 °C. أوجد الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
المسألة التالية →
تدرّب على المبادلات الحرارية (LMTD) مجانًاتدرّب على المبادلات الحرارية (LMTD) الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةLMTD
  2. متوسطةالمساحة المطلوبة
  3. صعبةتصميم كامل

الصيغ الأساسية

معدّل انتقال الحرارة
Q = U·A·ΔTlm
متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
موازنة التيارات
Q = ṁcp(Tin − Tout)

تعلّم المبادلات الحرارية (LMTD) من البداية

قبل هذا: موازنة الطاقة

1ماذا يفعل المبادل الحراري

ينقل المبادل الحراري الحرارة من مائع ساخن إلى مائع بارد عبر جدار معدني، مثل أنبوب فيه زيت ساخن في الداخل وماء تبريد في الخارج.

يعتمد مقدار الحرارة التي يستطيع نقلها على ثلاثة أشياء: مدى جودة تمرير الجدار للحرارة، وكم من الجدار موجود، وكم يبلغ فرق درجة الحرارة بين المائعين.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: الحمل الحراري بوحدة W.
  • U: معامل انتقال الحرارة الكلي بوحدة W/(m²·K). وU الأكبر تعني مبادلًا أفضل.
  • A: مساحة انتقال الحرارة بوحدة m².
  • ΔTlm: فرق درجة الحرارة اللوغاريتمي المتوسط، أي «المتوسط» الصحيح لفرق درجة الحرارة.

يمكن أن تتدفق التيارات في الاتجاه نفسه (تدفق متوازٍ) أو في اتجاهين متعاكسين (تدفق متعاكس).

hc⇉hc⇄

في الشكل، المبادل الأيسر ذو تدفق متوازٍ والأيمن ذو تدفق متعاكس. يحافظ التدفق المتعاكس على فجوة حرارية أكبر على طوله، فينقل حرارة أكثر للمساحة نفسها.

2لماذا المتوسط اللوغاريتمي

فرق درجة الحرارة بين المائعين ليس واحدًا في كل مكان. على طول المبادل يبرد المائع الساخن ويسخن المائع البارد، فتتغير الفجوة من طرف إلى آخر.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

سمِّ الفرقين عند الطرفين ΔT1 وΔT2. لا تتغير الفجوة في خط مستقيم، لذا فالمتوسط العادي غير صحيح. والمتوسط الصحيح هو المتوسط اللوغاريتمي:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

أي درجات الحرارة تتقابل عند كل طرف يعتمد على الترتيب:

  • التدفق المتعاكس: ΔT1 = Th,in − Tc,out وΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • التدفق المتوازي: ΔT1 = Th,in − Tc,in وΔT2 = Th,out − Tc,out.

يقع المتوسط اللوغاريتمي دائمًا أقل قليلًا من المتوسط الحسابي. وإذا كان ΔT1 = ΔT2 فإن ΔTlm هو تلك القيمة ببساطة.

تحقّق ذاتي تدفق متعاكس: ينتقل المائع الساخن من 100 إلى 60 °C، والبارد من 20 إلى 50 °C. ما الفرقان عند الطرفين؟
  1. 40 K و30 K
  2. 50 K و10 K
  3. 50 K و40 K
  4. 80 K و10 K

الإجابة: 50 K و40 K. في التدفق المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد (100 − 50 = 50 K) ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد (60 − 20 = 40 K). أما 80 K و10 K فهو الاقتران في التدفق المتوازي.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. دوّن درجات الحرارة الأربع وتحقق هل التدفق متعاكس أم متواز.
  2. إذا نقصت درجة حرارة مخرج فأوجدها أولًا بموازنة طاقة: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. أوجد فرقي الطرفين ΔT1 وΔT2 بالاقتران الصحيح.
  4. احسب ΔTlm باللوغاريتم الطبيعي.
  5. للمساحة: A = Q/(U·ΔTlm). ضع Q بـ W (kW × 1000) حين تكون U بـ W/(m²·K).
تحقّق ذاتي فرقا الطرفين ΔT₁ = 40 K وΔT₂ = 20 K. ما ΔTlm؟
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

الإجابة: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. والمتوسط الحسابي، 30 K، قريب لكنه أعلى مما يجب.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

ينقل مبادل حراري متعاكس التدفق 100 kW. يبرد المائع الساخن من 120 إلى 60 °C ويسخن المائع البارد من 20 إلى 50 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 500 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة A.

1

ارسم درجات الحرارة

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

تدفق متعاكس، لذا يقابل مدخل الساخن (120 °C) مخرج البارد (50 °C).

2

فرقا الطرفين

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

المساحة

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

تحقّق من الإجابة

ΔTlm = 53,61 K تقع بين 40 و70 K وأقل قليلًا من متوسطهما 55 K، كما يجب.

في التدفق المتوازي يكون الفرقان 100 K و10 K، فيعطيان ΔTlm = 39,09 K وA = 5,12 m². ويحتاج التدفق المتعاكس إلى مساحة أقل.

الإجابة

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5أخطاء شائعة

  • اقتران درجات الحرارة للتدفق المتوازي في مبادل متعاكس التدفق، أو العكس.
  • استخدام المتوسط الحسابي بدل المتوسط اللوغاريتمي.
  • استخدام تغير درجة حرارة تيار واحد (مثلًا 120 − 60) على أنه ΔT1. ΔT هو دائمًا الساخن ناقص البارد عند الطرف نفسه.
  • ترك Q بـ kW بينما U بـ W/(m²·K). فتخرج المساحة أصغر 1000 مرة.
  • استخدام log₁₀ بدل ln.
تحقّق ذاتي Q = 50 kW وU = 500 W/(m²·K) وΔTlm = 25 K. ما المساحة اللازمة؟
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

الإجابة: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². ترك Q بـ kW يعطي 0,004 m²، أصغر 1000 مرة. و0,25 m² تأتي من قلب الكسر.

6كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: أوجد ΔTlm لمبادل متعاكس التدفق من درجات الحرارة الأربع.
  • متوسط: أوجد المساحة A لحمل حراري وU معطيين، في تدفق متعاكس أو متواز، كما في المثال.
  • صعب: تصميم كامل. درجة حرارة خروج الماء غير معطاة: أوجد Q من التيار الساخن، ثم خروج الماء من موازنة الطاقة، ثم ΔTlm وA.

تستخدم بعض الأسئلة مكثِّفًا: يتكثف الجانب الساخن عند درجة حرارة ثابتة واحدة. عندئذٍ يستخدم فرقا الطرفين تلك الدرجة، ويعطي التدفق المتعاكس أو المتوازي ΔTlm نفسه.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
الطولT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂جريان متعاكس

في مبادل حراري متعاكس الجريان يبرد المائع الساخن من 100 إلى 80 °C بينما يسخن المائع البارد من 30 إلى 85 °C. أوجد الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

المطلوب: ΔTlm (K)

أظهر التلميحات
  1. أوجد فرق درجة الحرارة بين التيارين عند كل طرف من المبادل.
  2. في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

الإجابة

ΔTlm = 29,07 K
مثال 2متوسطة
الطولT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂جريان متوازٍ

ينقل مبادل حراري متوازي الجريان 60 kW. يبرد المائع الساخن من 165 إلى 115 °C ويسخن المائع البارد من 10 إلى 80 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 500 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

المطلوب: A (m²)

أظهر التلميحات
  1. استخدم Q̇ = U·A·ΔTlm وحلّ لإيجاد A.
  2. في الجريان المتوازي يكون المدخلان عند الطرف نفسه، والمخرجان عند الطرف الآخر.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتوازي يكون المدخلان عند الطرف نفسه، والمخرجان عند الطرف الآخر.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

المساحة

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

الإجابة

A = 1,488 m²
مثال 3صعبة
الطولT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂بخار يتكاثف

يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 105 °C على السطح الخارجي لأنابيب مكثّف مساحة انتقال الحرارة فيه 3 m² و U = 1500 W/(m²·K). يدخل ماء التبريد (1 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الأنابيب عند 10 °C. أوجد درجة حرارة الماء الخارج Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

المطلوب: Tc,out (°C)

أظهر التلميحات
  1. درجة حرارة الخروج مجهولة، لذا لا يمكن حساب LMTD مباشرةً. ادمج Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) مع Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. هذا يعطي ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

ادمج موازنة الطاقة ومعادلة المعدّل

مع ΔT₁ = Ts − Tc,in و ΔT₂ = Ts − Tc,out، يساوي الفرق ΔT₁ − ΔT₂ ارتفاعَ درجة حرارة الماء، لذا يُختصر الارتفاع.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

درجة حرارة الخروج

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

الإجابة

Tc,out = 72,63 °C

الحرارة المنقولة: Q̇ = 261,8 kW.

أسئلة وأجوبة

ما هو المبادلات الحرارية (LMTD)؟

ينقل المبادل الحراري الحرارة من مائع ساخن إلى مائع بارد عبر جدار معدني، مثل أنبوب فيه زيت ساخن في الداخل وماء تبريد في الخارج.

يعتمد مقدار الحرارة التي يستطيع نقلها على ثلاثة أشياء: مدى جودة تمرير الجدار للحرارة، وكم من الجدار موجود، وكم يبلغ فرق درجة الحرارة بين المائعين.

كيف تحل مسائل المبادلات الحرارية (LMTD) خطوة بخطوة؟

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.

ما الأخطاء الشائعة في المبادلات الحرارية (LMTD)؟
  • يتناقص فرق درجة الحرارة أُسّيًا: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
ماذا تغطي تمارين المبادلات الحرارية (LMTD)؟
  • سهلة: LMTD
  • متوسطة: المساحة المطلوبة
  • صعبة: تصميم كامل

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

موازنة الطاقة

الآلات الحاسبة

حاسبة LMTD (فرق درجة الحرارة اللوغاريتمي المتوسط)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

انتقال الحرارةالتدريب لاختبار FE للهندسة الكيميائية

مواضيع أخرى في الكيميائية

موازنة الكتلةموازنة الطاقةقانون الغاز المثاليحركية التفاعلاتتحجيم المفاعلات (CSTR و PFR)

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المبادلات الحرارية (LMTD) مع الإجابات
تدرّب على المبادلات الحرارية (LMTD) مجانًاتدرّب على المبادلات الحرارية (LMTD) الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.