Ondas, sonido y óptica: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Ondas, sonido y óptica con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: velocidad de las ondas, nivel sonoro y refracción, ondas estacionarias, lentes y Doppler, interferencia, redes, espejos y fibras.

Problema de práctica gratisFácil
λ = ?

Luz con una longitud de onda de 650 nm en el vacío entra en agua (n = 1,33). Halla su longitud de onda λ dentro del material.

n = 1,33λ0 = 650 nm
nm
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Qué practicas

  1. Fácilvelocidad de las ondas, nivel sonoro y refracción
  2. Mediaondas estacionarias, lentes y Doppler
  3. Difícilinterferencia, redes, espejos y fibras

Cómo resolver problemas de Ondas, sonido y óptica

  1. Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
  2. Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
  4. Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.

Errores frecuentes

  • Medir los ángulos desde la superficie en lugar de desde la normal.
  • Usar 20·log para las intensidades o sumar los decibelios directamente.
  • Poner la velocidad de la fuente en el numerador de la fórmula del efecto Doppler.
  • Olvidar el convenio de signos para las lentes divergentes y los espejos convexos.
  • Redondear el orden máximo de una red al entero más próximo en lugar de hacia abajo.

Fórmulas clave

Velocidad de la onda
v = fλ, T = 1/f
Cuerda
v = √(T/μ), μ = m/L
Nivel sonoro
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Fuente puntual
I = P/(4πr²)
Ondas estacionarias
cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
Efecto Doppler
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Índice de refracción
n = c/v, λ = λ0/n
Ley de Snell
n1sin θ1 = n2sin θ2
Ángulo crítico
sin θc = n2/n1
Fibra óptica
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Lentes y espejos
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doble rendija
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Red de difracción
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Rendija simple
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Aprende Ondas, sonido y óptica desde cero

Antes de esto: Muelles y péndulos

1Qué es una onda

Una onda transporta energía de un lugar a otro sin transportar materia: el medio solo oscila. En una cuerda o en el agua el movimiento es transversal (perpendicular a la dirección de avance); el sonido en el aire es longitudinal (a lo largo de ella).

λAv = fλ

La longitud de onda λ es la longitud de un ciclo completo, el periodo T es el tiempo de un ciclo y la frecuencia es f = 1/T. En un periodo la onda avanza una longitud de onda, así que:

v = fλ cuerda: v = √(T/μ), μ = m/L

El sonido en el aire viaja a unos 343 m/s y la luz a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La velocidad depende del medio, no de la frecuencia.

Autoevaluación Un sonido de 686 Hz viaja a 343 m/s. ¿Cuál es su longitud de onda?
  1. 0,002 m
  2. 0,5 m
  3. 2 m
  4. 235 000 m

Respuesta: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. Dividir al revés da 2 m, y multiplicar da un número enorme.

2Nivel sonoro y efecto Doppler

Nuestros oídos responden a la intensidad I (W/m²) en una escala logarítmica, por lo que la sonoridad se da en decibelios:

β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²

Una intensidad diez veces mayor suma 10 dB; dos fuentes idénticas suman unos 3 dB. Una fuente pequeña reparte su potencia sobre una esfera, I = P/(4πr²), así que al duplicar la distancia el nivel baja unos 6 dB.

Cuando la fuente y el oyente se acercan, el tono sube; cuando se alejan, baja (efecto Doppler):

f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)

Usa los signos superiores para el movimiento de acercamiento. La velocidad del oyente va en el numerador y la de la fuente en el denominador.

3Ondas estacionarias

Las ondas reflejadas en ambos extremos de una cuerda interfieren y forman una onda estacionaria. Una cuerda fija por ambos extremos tiene nodos en los extremos y cabe en ella un número entero de semilongitudes de onda:

n = 1n = 2n = 3
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …

Un tubo abierto por ambos extremos sigue la misma regla. Un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto, por lo que solo caben los armónicos impares: fₙ = n·v/(4L) con n = 1, 3, 5, …

Autoevaluación Un tubo cerrado por un extremo tiene su fundamental en 100 Hz. ¿Cuál de estas frecuencias puede producir también?
  1. 150 Hz
  2. 200 Hz
  3. 300 Hz
  4. 50 Hz

Respuesta: 300 Hz. Un tubo cerrado solo tiene armónicos impares: 100, 300, 500 Hz, … 200 Hz requeriría n = 2, que un tubo cerrado no admite.

4Refracción y lentes

La luz se ralentiza en el vidrio o en el agua en un factor n = c/v (el índice de refracción). En una frontera el rayo cambia de dirección (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal:

θ₁θ₂n₁n₂ > n₁
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ ángulo crítico: sin θc = n₂/n₁

Al pasar de un medio denso a otro menos denso más allá de θc, toda la luz se refleja (reflexión interna total). Las fibras ópticas guían la luz de este modo.

FFd₀dᵢ

Las lentes delgadas y los espejos curvos obedecen a una misma ecuación, con el aumento m = −dᵢ/d₀:

1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ

Signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo. Una dᵢ positiva es una imagen real y una dᵢ negativa una virtual; m < 0 significa que la imagen está invertida.

5Interferencia y difracción

La luz de dos rendijas estrechas separadas una distancia d se superpone en una pantalla situada a una distancia L. Donde la diferencia de camino d·sin θ es un número entero de longitudes de onda, las ondas se suman: franjas brillantes.

d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d

Una red de difracción tiene muchas rendijas: N líneas por mm significa d = 1/N mm. Sus máximos son nítidos y están muy separados, y el orden más alto es el mayor entero m con m ≤ d/λ. Una sola rendija de anchura a tiene franjas oscuras en a·sin θ = mλ, por lo que su máximo central tiene una anchura de 2λL/a.

6Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un objeto está a 30 cm delante de una lente convergente con f = 10 cm. Halla la distancia de la imagen y el aumento.

1

Ecuación de la lente

1/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30

Así que dᵢ = 15 cm.

2

Naturaleza de la imagen

dᵢ es positiva, así que la imagen es real: se forma al otro lado de la lente y se puede recoger en una pantalla.

3

Aumento

m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5

La imagen está invertida y tiene la mitad del tamaño del objeto.

4

Comprobación con un esquema

Un rayo paralelo al eje se desvía pasando por F al otro lado; un rayo que pasa por el centro sigue recto. Se cruzan a 15 cm detrás de la lente, por debajo del eje.

Respuesta

dᵢ = 15 cm y m = −0,5: una imagen real, invertida y de la mitad de tamaño.

Autoevaluación Un objeto está a 5 cm delante de una lente convergente con f = 10 cm. ¿Qué tipo de imagen se forma?
  1. Ninguna imagen: los rayos salen paralelos
  2. Real e invertida, al otro lado
  3. Real y derecha, del mismo lado
  4. Virtual y derecha, del mismo lado que el objeto

Respuesta: Virtual y derecha, del mismo lado que el objeto. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, así que dᵢ = −10 cm: una distancia de imagen negativa significa una imagen virtual, y m = +2 significa derecha y ampliada. Así funciona una lupa.

7Errores comunes y preguntas de examen

  • Medir los ángulos desde la superficie en lugar de desde la normal.
  • Usar 10·log para amplitudes o 20·log para intensidades: las intensidades usan 10·log.
  • Dar armónicos pares para un tubo cerrado.
  • Omitir el signo menos de una imagen virtual o de una lente divergente.
  • Olvidar convertir nm, mm y cm a metros en las preguntas de interferencia.
  • Fácil: v = fλ, ondas en cuerdas, niveles sonoros, ley de Snell y velocidad de la luz en un material.
  • Medio: ondas estacionarias en cuerdas y tubos, el ángulo crítico, lentes delgadas, el efecto Doppler y la ley del inverso del cuadrado.
  • Difícil: rendijas dobles, redes, rendijas simples, espejos, sistemas de dos lentes, ecos de objetos en movimiento y fibras ópticas.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
λ = 0,343 mv = ?f = 1 kHz

Una onda sonora en el aire tiene una frecuencia de 1 kHz y una longitud de onda de 0,343 m. Halla su velocidad v.

f = 1 kHzλ = 0,343 m

Calcula v (m/s)

Mostrar pistas
  1. La onda avanza una longitud de onda en un periodo T = 1/f.
  2. v = fλ.
  3. f = 1000 Hz.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Ondas: una onda periódica avanza una longitud de onda en un periodo, así que v = fλ con T = 1/f. En una cuerda tensa v = √(T/μ), con T la tensión y μ = m/L la masa por metro. El sonido en el aire viaja a unos 343 m/s a 20 °C, y la luz en el vacío a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonoridad se mide en una escala logarítmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², así que una intensidad diez veces mayor suma 10 dB. Una fuente puntual reparte su potencia P sobre una esfera: I = P/(4πr²).

Velocidad de la onda

v = fλ = 1000·0,343 = 343 m/s

Respuesta

v = 343 m/s
Ejemplo 2Media
L = ?n = 3

Un tubo abierto por ambos extremos debe tener su armónico número 3 en 686 Hz. La velocidad del sonido es 343 m/s. Halla la longitud L del tubo.

v = 343 m/sn = 3f3 = 686 Hz

Calcula L (m)

Mostrar pistas
  1. f = n·v/(2L).
  2. Despeja L.
  3. λ = v/f = 0,5 m.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Ondas estacionarias y efecto Doppler: una cuerda fija por ambos extremos, o un tubo abierto por ambos extremos, admite un número entero de semilongitudes de onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto: L = nλ/4 solo con n impar, fn = n·v/(4L). Cuando la fuente o el observador se mueven a lo largo de la línea que los une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa los signos superiores para el movimiento de acercamiento. Dos ondas de frecuencias casi iguales producen pulsaciones a |f₁ − f₂|.

Longitud de onda

λ = v/f = 343/686 = 0,5 m

Longitud

L = nλ/2 = 3·0,5/2 = 0,75 m

Respuesta

L = 0,75 m
Ejemplo 3Difícil
θa​ = ?n1​ = 1,52n2​ = 1,49n0​ = 1,00

Una fibra óptica tiene un núcleo con n₁ = 1,52 y un revestimiento con n₂ = 1,49. Halla el mayor ángulo θa con el eje de la fibra con el que la luz del aire puede entrar por el extremo de la fibra y seguir guiada por reflexión interna total.

n1 = 1,52n2 = 1,49n0 = 1,00

Calcula θa (°)

Mostrar pistas
  1. Dentro del núcleo el rayo debe llegar al revestimiento al menos con el ángulo crítico: sin θc = n₂/n₁.
  2. En la cara de entrada, sin θa = n₁·cos θc = √(n₁² − n₂²) = NA.
  3. n₁² − n₂² = 0,0903.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Óptica geométrica: en una frontera, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal y n = c/v. Al pasar a un medio más lento el rayo se acerca a la normal. Desde un medio más denso (n₁ > n₂), más allá del ángulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda la luz se refleja: reflexión interna total. Las lentes delgadas y los espejos esféricos obedecen a 1/f = 1/do + 1/di con el aumento m = −di/do. Convenio de signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo; di > 0 para una imagen real, di < 0 para una virtual, y m < 0 para una imagen invertida.

Ángulo crítico en el revestimiento

sin θc = 1,49/1,52 = 0,9803 → θc = 78,6°

Apertura numérica

NA = √(1,52² − 1,49²) = 0,3005

Ángulo de aceptación

θa = arcsin(0,3005) = 17,49°

Respuesta

θa = 17,49°

Preguntas y respuestas

Ondas, sonido y óptica: ¿qué es?

Una onda transporta energía de un lugar a otro sin transportar materia: el medio solo oscila. En una cuerda o en el agua el movimiento es transversal (perpendicular a la dirección de avance); el sonido en el aire es longitudinal (a lo largo de ella).

La longitud de onda λ es la longitud de un ciclo completo, el periodo T es el tiempo de un ciclo y la frecuencia es f = 1/T. En un periodo la onda avanza una longitud de onda, así que:

Ondas, sonido y óptica: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
  2. Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
  4. Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.
Ondas, sonido y óptica: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Medir los ángulos desde la superficie en lugar de desde la normal.
  • Usar 20·log para las intensidades o sumar los decibelios directamente.
  • Poner la velocidad de la fuente en el numerador de la fórmula del efecto Doppler.
  • Olvidar el convenio de signos para las lentes divergentes y los espejos convexos.
  • Redondear el orden máximo de una red al entero más próximo en lugar de hacia abajo.
Ondas, sonido y óptica: ¿qué se practica?
  • Fácil: velocidad de las ondas, nivel sonoro y refracción
  • Media: ondas estacionarias, lentes y Doppler
  • Difícil: interferencia, redes, espejos y fibras

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