Muelles y péndulos: problemas de práctica con soluciones paso a paso

1Qué es una oscilación

Tira de una masa unida a un resorte hacia un lado y suéltala. Vuelve a pasar por el medio, llega al otro lado y regresa otra vez. Un niño en un columpio y una cuerda de guitarra hacen lo mismo.

Este movimiento repetitivo es una oscilación. El punto medio, donde la masa estaría en reposo, es la posición de equilibrio.

• La amplitud A es la mayor distancia al equilibrio, en m.
• El período T es el tiempo de una oscilación completa, de ida y vuelta, en s.
• La frecuencia f es el número de oscilaciones por segundo, en hercios (Hz).

2Movimiento armónico simple

Un resorte tira hacia atrás con una fuerza proporcional al alargamiento: F = −k·x. La rigidez k está en N/m. El signo menos significa que la fuerza apunta siempre hacia el equilibrio.

Una fuerza recuperadora como esta da lugar a un movimiento armónico simple (MAS). La posición sigue una curva coseno en el tiempo:

La frecuencia angular ω (omega), en rad/s, fija lo rápido que se repite el movimiento. Un período es 2π rad.

La amplitud no cambia el período. Una oscilación mayor recorre más distancia, pero también se mueve más rápido.

3Fórmulas del resorte y del péndulo

En una masa en un resorte, una masa mayor oscila más despacio y un resorte más rígido más deprisa:

En un péndulo simple de longitud L, con oscilaciones pequeñas, la masa no importa en absoluto:

Si un resorte cuelga verticalmente, el peso lo estira hasta un nuevo equilibrio: k·x = m·g. Úsalo para hallar k a partir de un alargamiento medido.

La velocidad es máxima en el equilibrio y cero en los extremos. La aceleración es máxima en los extremos, donde la fuerza del resorte es mayor:

La energía total se mantiene: E = ½·k·A². En una posición x se reparte como ½·k·x² + ½·m·v².

4El método paso a paso

1. Convierte todo a unidades del SI: gramos a kg, centímetros a m.
2. Decide de qué sistema se trata: una masa en un resorte (usa k y m) o un péndulo (usa L y g).
3. Si se da el período o el número de oscilaciones, halla primero T: T = tiempo / número.
4. Halla ω a partir del sistema: ω = √(k/m) o ω = 2π/T.
5. Usa la fórmula de lo que piden: T, f, v_max = A·ω, a_max = A·ω² o la energía ½·k·A².
6. Comprueba que la respuesta sea razonable: un período de una fracción de segundo para un resorte rígido, unos pocos segundos para un péndulo largo.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

6Errores frecuentes

• Usar la amplitud en cm en lugar de en m.
• Invertir la fracción: T = 2π·√(m/k), no √(k/m). Para un péndulo es √(L/g).
• Olvidar el 2π, o confundir ω (rad/s) y f (Hz).
• Pensar que la masa cambia el período de un péndulo, o que la amplitud cambia cualquier período.
• Confundir v_max = A·ω y a_max = A·ω².

7Cómo son las preguntas de examen

• Fácil: una masa en un resorte. Halla T, f o k, a veces a partir de un recuento de oscilaciones o de lo que estira la masa a un resorte colgante.
• Medio: el péndulo. Halla su período, la longitud para un período dado, o g en otro planeta. Algunas preguntas piden la velocidad en una posición o en un instante dado.
• Difícil: velocidad, aceleración y energía: v_max, a_max, la energía cinética en una posición, o la amplitud después de que una bala golpea un bloque unido a un resorte.

Una comprobación rápida para cualquier péndulo: un péndulo de 1 m en la Tierra tiene un período de unos 2 s.