Vibraciones mecánicas: problemas de práctica con soluciones paso a paso
Problemas gratis de Vibraciones mecánicas con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: frecuencia natural, factor de amortiguamiento, muelles en serie y en paralelo.
Problema de práctica gratisFácil
Una máquina se apoya sobre soportes elásticos, que se comprimen 15 mm bajo su peso. Trátala como un sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento y usa g = 9,81 m/s². Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Cuelga una masa de un resorte, tira de ella un poco hacia abajo y suéltala. Rebota arriba y abajo alrededor de su posición de reposo. Ese movimiento repetitivo es una vibración.
Todo sistema así tiene su propio ritmo favorito, la frecuencia natural. Depende solo de lo rígido que sea el resorte y de lo pesada que sea la masa, no de cuánto tiraste.
A los ingenieros les importa porque una máquina que se sacude a su frecuencia natural puede vibrar violentamente. Esto se llama resonancia. Los soportes de motor, las lavadoras y los puentes se diseñan teniéndola en cuenta.
Un resorte más rígido hace la vibración más rápida. Una masa más pesada la hace más lenta.
Autoevaluación Sustituyes la masa de un resorte por otra cuatro veces más pesada. ¿Qué pasa con la frecuencia natural?
Se duplica
Se hace cuatro veces menor
Se mantiene igual
Se reduce a la mitad
Respuesta: Se reduce a la mitad. La frecuencia depende de √(k/m). Con cuatro veces la masa, la raíz cuadrada se divide entre √4 = 2, así que la frecuencia se reduce a la mitad.
2Frecuencia natural y combinaciones de resortes
Para una masa m (kg) en un resorte de rigidez k (N/m), la frecuencia circular natural en rad/s es:
ωn = √(k / m)
Un ciclo completo son 2π radianes. Por tanto, la frecuencia natural en hercios (ciclos por segundo) y el período (segundos por ciclo) son:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
A veces solo sabes cuánto se hunde el resorte bajo el peso, la deflexión estática δst = m·g/k. Entonces ωn = √(g / δst), con δst en metros.
Cuando hay varios resortes, sustitúyelos primero por un resorte equivalente:
Uno al lado de otro (en paralelo), los resortes se reparten la carga y las rigideces se suman.
Uno a continuación de otro (en serie), cada resorte soporta toda la carga, y el resorte equivalente es más blando que cualquiera de ellos.
Autoevaluación Dos resortes de 10 kN/m cada uno están conectados uno a continuación del otro (en serie). ¿Cuál es la rigidez equivalente?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Respuesta: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, así que k = 5 kN/m. Sumarlas para obtener 20 kN/m es la regla de los resortes en paralelo.
3Amortiguamiento
Las vibraciones reales se extinguen. Un amortiguador (un émbolo que se mueve por aceite, como el amortiguador de un coche) saca energía. Su intensidad es el coeficiente de amortiguamiento c en N·s/m.
El amortiguamiento crítico es la cantidad de amortiguamiento que justo impide que la masa rebote:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
El factor de amortiguamiento compara el amortiguamiento real con ese valor crítico:
ζ = c / cc
ζ < 1: subamortiguado. La masa sigue vibrando, pero las oscilaciones se reducen.
ζ = 1: amortiguamiento crítico. Vuelve al reposo lo más rápido posible sin sobrepasarlo.
ζ > 1: sobreamortiguado. Vuelve despacio sin vibrar.
Un sistema subamortiguado vibra algo más despacio que el no amortiguado, a la frecuencia natural amortiguada:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Autoevaluación Una masa de 10 kg está sobre un resorte de 1000 N/m con un amortiguador de c = 50 N·s/m. ¿Cuál es el factor de amortiguamiento?
0,25
0,5
2,5
4
Respuesta: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, así que ζ = 50/200 = 0,25. Olvidar el factor 2 da 0,5, y dividir al revés da 4.
4El método paso a paso
Convierte todo a unidades del SI: kN/m a N/m (× 1000), mm a m, gramos a kg.
Si hay varios resortes, combínalos en un solo k: súmalos en paralelo, suma sus inversos en serie.
Halla ωn = √(k/m) en rad/s.
Si la pregunta pide hercios, divide entre 2π: fn = ωn/(2π). Para el período, toma T = 1/fn.
Con amortiguamiento, halla cc = 2·√(k·m), luego ζ = c/cc y, si lo piden, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Mantén separados ω (rad/s) y f (Hz). Se diferencian en un factor 2π ≈ 6,28, y confundirlos es la forma más común de perder puntos.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Una masa de 50 kg cuelga de un resorte con una rigidez de 20 kN/m. Ignora el amortiguamiento. Halla la frecuencia natural fn en Hz y el período de vibración.
1
Dibuja y convierte
La rigidez debe estar en N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. La masa ya está en kg.
2
Pulsación natural
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Convierte a hercios
Divide entre 2π para contar ciclos completos por segundo:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
El período
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
La masa hace algo más de tres ciclos completos de subida y bajada cada segundo.
5
Comprueba la respuesta
La deflexión estática es δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Los mismos 20 rad/s, hallados de otra manera. La respuesta es correcta.
6
Un paso más: añade un amortiguador
Con un amortiguador de c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, así que ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Respuesta
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), y el período es T ≈ 0,314 s.
6Errores frecuentes
Dar ωn en rad/s cuando la pregunta pide fn en Hz, o al revés.
Dejar la rigidez en kN/m. La fórmula necesita N/m.
Sumar resortes en serie como si estuvieran en paralelo.
Olvidar el 2 en cc = 2·√(k·m).
Usar el peso m·g en lugar de la masa m en ωn = √(k/m).
Autoevaluación Una masa de 4 kg cuelga de un resorte de 400 N/m. ¿Cuál es su frecuencia natural en Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Respuesta: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, y fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Quedarse en 10 da rad/s, no Hz; multiplicar por 2π da 62,8; usar 0,4 (kN/m) da 0,05 Hz.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: frecuencia natural. Una masa en un resorte: halla ωn en rad/s o fn en Hz. Algunas preguntas dan solo la deflexión estática de una máquina sobre sus soportes.
Medio: factor de amortiguamiento. Halla ζ a partir de m, k y c, o halla la frecuencia amortiguada fd a partir de un ζ dado. Otras dan dos picos de un ensayo de vibración libre.
Difícil: resortes en serie y en paralelo, a veces ambos (dos resortes uno al lado del otro sujetando una barra, con un tercer resorte debajo). Halla primero keq y luego fn.
Para dos picos x0 y xn separados n ciclos, usa el decremento logarítmico:
Una masa de 40 kg cuelga de un muelle con una rigidez de 15 kN/m. Desprecia el amortiguamiento. Halla la frecuencia natural fn en Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Calcula fn(Hz)
Mostrar pistas
Trabaja en unidades SI: k en N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Pulsación natural
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
En hercios
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Respuesta
fn = 3,082 Hz
Ejemplo 2Media
Una masa de 10 kg sobre un muelle con una rigidez de 50 kN/m tiene un amortiguador viscoso que da un factor de amortiguamiento de 0,4. Halla la frecuencia natural amortiguada fd de su vibración libre en Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Calcula fd(Hz)
Mostrar pistas
Halla primero la frecuencia natural sin amortiguamiento.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frecuencia natural sin amortiguamiento
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Frecuencia natural amortiguada
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Respuesta
fd = 10,31 Hz
Ejemplo 3Difícil
Una masa de 5 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 80 kN/m y el inferior k₂ = 20 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Calcula keq(kN/m)
Mostrar pistas
Los muelles en paralelo comparten la deformación: las rigideces se suman. Los muelles en serie comparten la fuerza: las flexibilidades 1/k se suman.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Rigidez equivalente
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Cuelga una masa de un resorte, tira de ella un poco hacia abajo y suéltala. Rebota arriba y abajo alrededor de su posición de reposo. Ese movimiento repetitivo es una vibración.
Todo sistema así tiene su propio ritmo favorito, la frecuencia natural. Depende solo de lo rígido que sea el resorte y de lo pesada que sea la masa, no de cuánto tiraste.
Vibraciones mecánicas: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vibraciones mecánicas: ¿cuáles son los errores más comunes?
Esa es ωn en rad/s. Divide entre 2π para obtener la frecuencia en Hz.
Pasa los kN/m a N/m (multiplica por 1000) antes de usar ωn = √(k/m).
Divide ωn entre 2π para obtener Hz; no multipliques.
Vibraciones mecánicas: ¿qué se practica?
Fácil: frecuencia natural
Media: factor de amortiguamiento
Difícil: muelles en serie y en paralelo
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
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