Círculo de Mohr y transformación de tensiones: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: círculo de Mohr · esfuerzos principales · tensiones principales
Problemas gratis de Círculo de Mohr y transformación de tensiones con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: tensiones principales, cortante máxima y dirección principal, tensión en un plano inclinado.
Aprende Círculo de Mohr y transformación de tensiones desde cero
Antes de esto: Tensión y deformación axial
1Por qué la tensión depende de la dirección
En la lección axial, la tensión era un único número: fuerza entre área. Pero la tensión en un punto depende de la dirección del corte que miras.
Tuerce un trozo de tiza hasta que se rompa. Se rompe siguiendo una espiral a 45°, no en línea recta. En ese plano de 45° la tracción es máxima, y la tiza es débil a tracción.
Para describir la tensión en un punto, los ingenieros dibujan un cuadradito, el elemento de tensión, con las tensiones sobre sus caras:
- σx y σy son tensiones normales, perpendiculares a las caras. Positivo significa tracción (flechas hacia fuera), negativo significa compresión.
- τxy es la tensión cortante, a lo largo de las caras. Intenta convertir el cuadrado en un rombo.
Gira el cuadrado y las tensiones sobre sus caras cambian. Esta lección muestra cómo hallarlas para todas las direcciones y cuáles son las más peligrosas.
Autoevaluación En un punto, σx = −40 MPa. ¿Qué significa esto?
- Una compresión de 40 MPa en la dirección x
- Una compresión de 40 MPa en la dirección y
- Una tensión cortante de 40 MPa
- Una tracción de 40 MPa en la dirección x
Respuesta: Una compresión de 40 MPa en la dirección x. Con la regla de signos habitual la tracción es positiva, así que una σx negativa es compresión, que actúa sobre las caras normales a x.
2Círculo de Mohr
El círculo de Mohr es una imagen de todas las direcciones a la vez. Cada punto del círculo es un posible corte a través del punto de la pieza.
Dibuja la tensión normal σ hacia la derecha y la tensión cortante τ hacia arriba. Luego sitúa dos puntos:
- el punto x en (σx, τxy): las tensiones sobre la cara normal a x,
- el punto y en (σy, −τxy): las tensiones sobre la cara normal a y.
El círculo pasa por ambos puntos. Su centro C está sobre el eje σ, a medio camino entre ellos. Su radio R sale de Pitágoras:
C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
Donde el círculo corta el eje σ, la tensión cortante es cero. Esos dos valores son las tensiones principales, la mayor y la menor tensión normal en el punto. La parte superior del círculo es la mayor tensión cortante en el plano:
σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Autoevaluación σx = 50 MPa, σy = 10 MPa y τxy = 15 MPa. ¿Cuánto vale σ1?
- 45 MPa
- 50 MPa
- 55 MPa
- 65 MPa
Respuesta: 55 MPa. C = 30 MPa y R = √(20² + 15²) = 25 MPa, así que σ1 = 55 MPa. 65 suma 20 + 15 en lugar de usar Pitágoras; 50 ignora la tensión cortante.
3Ángulos: el doble en el círculo
Girar el elemento un ángulo θ mueve su punto en el círculo de Mohr 2θ, en el mismo sentido. El sentido antihorario es positivo.
La dirección de σ1 es el ángulo θp desde el eje x, que se halla con:
tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)
Cuidado con el cuadrante. Si σx − σy es negativo, suma 180° a 2θp cuando τxy > 0, o resta 180° cuando τxy < 0. Luego divide entre 2.
Los planos de cortante máximo están a 45° de las direcciones principales (90° en el círculo).
Para un plano cuya normal está girada θ respecto al eje x, las tensiones son:
σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Autoevaluación En un punto, tan 2θp = 1 y σx − σy es positivo. ¿Cuánto vale θp?
- 22,5°
- 45°
- 90°
- −67,5°
Respuesta: 22,5°. 2θp = 45°, así que θp = 22,5°. Responder 45° olvida dividir entre 2 el ángulo del círculo. −67,5° es la dirección de σ2, a 90° de distancia.
4El método paso a paso
- Anota σx, σy y τxy con sus signos: tracción positiva, compresión negativa.
- Halla el centro C = (σx + σy)/2.
- Halla el radio R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tensiones principales: σ1 = C + R y σ2 = C − R. Mayor tensión cortante en el plano: τmax = R.
- Direcciones: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), comprueba el cuadrante y luego divide entre 2.
- Para un plano θ dado: usa las ecuaciones de σθ y τθ con 2θ.
Un esbozo rápido del círculo, aunque sea tosco, te muestra los signos y cuál es el punto σ1.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resueltoUn punto tiene σx = 80 MPa, σy = 20 MPa y τxy = 40 MPa. Calcula las tensiones principales, τmax, la dirección θp de σ1 y la tensión normal en un plano girado 45° en sentido antihorario.
1Ambas tensiones normales son de tracción. La tensión cortante es positiva.
2C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333
σx − σy es positivo, así que no hace falta corrección: 2θp = 53,1° y θp = 26,6° en sentido antihorario desde x.
5Con θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 y sin 2θ = 1.
σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6La suma σx + σy = 100 MPa es igual a σ1 + σ2 = 100 MPa. Esta suma es la misma para cualquier giro, así que es una comprobación rápida.
Además, 90 MPa está entre σ2 = 0 y σ1 = 100 MPa, como debe ocurrir con toda tensión normal.
Respuesta σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° y σ45° = 90 MPa.
6Errores frecuentes
- Sumar directamente (σx − σy)/2 y τxy. El radio los combina con Pitágoras.
- Usar θ en lugar de 2θ en las ecuaciones de transformación, o olvidar dividir entre 2 el ángulo leído en el círculo.
- Perder un signo menos: una tensión de compresión debe entrar como número negativo.
- Situar el punto y en (σy, +τxy). Está en −τxy, al lado opuesto del centro respecto de x.
- Pasar por alto el cuadrante de 2θp cuando σx < σy.
Autoevaluación σx = 60 MPa, σy = 0 y τxy = 40 MPa. ¿Cuál es la tensión cortante máxima en el plano?
- 30 MPa
- 40 MPa
- 50 MPa
- 70 MPa
Respuesta: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 suma 30 + 40; 30 ignora la tensión cortante; 40 es solo τxy.
7Cómo son las preguntas de examen
- Fácil: tensiones principales. Dados σx, σy y τxy, halla σ1 o σ2. Variantes: cortante puro, o una barra axial cortada en ángulo.
- Medio: cortante máximo y dirección principal. Halla τmax = R o el ángulo θp, entre −90° y 90°.
- Difícil: tensión en un plano inclinado. Usa la ecuación de σθ o τθ con 2θ. Las variantes combinan carga axial y torsión, o usan las tensiones principales en una comprobación de fallo como von Mises o Tresca.
Anota primero C y R. Casi todas las preguntas de este tema se responden con esos dos números.
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