Tensión y deformación axial: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: esfuerzo normal · ley de Hooke · deformación unitaria

Problemas gratis de Tensión y deformación axial con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: tensión normal, deformación y alargamiento, barra escalonada.

Problema de práctica gratisFácil
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 50 mm, E = 100 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 80 kN. Halla la tensión de compresión σr en la varilla.

P = 80 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
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Qué practicas

  1. Fáciltensión normal
  2. Mediadeformación y alargamiento
  3. Difícilbarra escalonada

Fórmulas clave

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Aprende Tensión y deformación axial desde cero

1Qué es la tensión

Tira de una barra de acero y se resiste. Que se rompa o no no depende solo de la fuerza, sino de cuánto material se reparte esa fuerza.

Un alambre fino y un cable grueso pueden soportar la misma carga. El alambre fino tiene muchas más probabilidades de fallar, porque cada milímetro cuadrado de él soporta más.

dLP

La tensión normal σ (sigma) es la fuerza por unidad de área de la sección transversal. La fuerza P actúa a lo largo del eje de la barra, por lo que se llama carga axial.

σ = P / A

Los ingenieros trabajan en newtons y milímetros. Un newton por milímetro cuadrado es un megapascal:

1 N/mm² = 1 MPa

Así que convierte primero los kN a N (× 1000). Para una barra redonda de diámetro d, el área es la de un círculo:

A = π · d² / 4
Autoevaluación Una barra con una sección de 100 mm² soporta 10 kN. ¿Cuál es la tensión?
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

Respuesta: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa sale de olvidar convertir kN a N.

2Deformación y ley de Hooke

Bajo carga la barra también se alarga un poco. Este cambio de longitud es el alargamiento δ (delta).

dLδP

La deformación unitaria ε (épsilon) es el alargamiento dividido entre la longitud original. No tiene unidad, porque son mm por mm:

ε = δ / L

Las deformaciones en los metales son minúsculas, así que a menudo se dan en microdeformaciones: 1 µε = 10⁻⁶. Una deformación de 0,0008 son 800 µε.

Para la mayoría de los materiales, la tensión y la deformación son proporcionales mientras la carga no sea demasiado grande. Esta es la ley de Hooke:

σ = E · ε

E es el módulo de Young, la rigidez del material. El acero tiene E ≈ 200 GPa, el aluminio unos 70 GPa. Como 1 GPa = 1000 MPa, el acero tiene E = 200 000 MPa.

Combinando las tres fórmulas se obtiene directamente el alargamiento:

δ = P · L / (A · E)
Autoevaluación Una barra de acero (E = 200 GPa) tiene una tensión de 200 MPa. ¿Cuál es la deformación?
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

Respuesta: 0,001. Convierte E a MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Entonces ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Dividir 200 entre 200 sin convertir da 1, que es muchísimo.

3El método paso a paso

  1. Escribe todos los valores en N y mm: P en N (kN × 1000), longitudes en mm (m × 1000), E en MPa (GPa × 1000).
  2. Halla el área: A = π·d²/4 para una barra redonda.
  3. Halla la tensión: σ = P/A, en MPa.
  4. Halla la deformación: ε = σ/E. Multiplica por 10⁶ si la respuesta se pide en µε.
  5. Halla el alargamiento: δ = ε·L, en mm.

Detente en el paso que pide la pregunta. La mayoría de las preguntas usan solo los dos o tres primeros pasos.

4Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Una barra de acero (E = 200 GPa) tiene un diámetro de 20 mm y una longitud de 2 m. Soporta una carga axial de tracción de 50 kN. Halla la tensión, la deformación y el alargamiento.

1

Observa la barra y convierte las unidades

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm y E = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

Área

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

Tensión

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Eso está muy por debajo de la resistencia del acero ordinario (unos 250 MPa), así que se aplica la ley de Hooke.

4

Deformación

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

Alargamiento

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

Comprueba la respuesta

Usa la fórmula combinada como segundo camino:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Una barra de acero de 2 m que se alarga unos 1,6 mm es realista: las deformaciones del acero se mantienen muy por debajo del 0,2 %.

Respuesta

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε y δ = 1,59 mm.

5Barras con más de un tramo

Una barra escalonada está formada por tramos con diámetros distintos, y a veces con materiales distintos.

A1​L1​A2​L2​P

Corta la barra por cualquier punto y mira la parte situada a la derecha del corte. Solo tira de ella P, así que todos los tramos soportan la misma fuerza P.

Las áreas son distintas, así que las tensiones son distintas. El tramo más delgado tiene la mayor tensión.

Cada tramo se alarga por su cuenta, con sus propios A, L y E. El alargamiento total es la suma:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
Autoevaluación Una barra escalonada soporta 20 kN. El tramo 1 tiene A = 400 mm², el tramo 2 tiene A = 100 mm². ¿Cuál es la mayor tensión en la barra?
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

Respuesta: 200 MPa. Ambos tramos soportan 20 kN. El delgado tiene 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa es el tramo grueso, 40 MPa suma las áreas por error, y 250 MPa suma las dos tensiones por error.

6Errores frecuentes

  • Olvidar convertir kN a N, lo que hace la tensión 1000 veces demasiado pequeña.
  • Usar E en GPa junto a una tensión en MPa. Escribe E en MPa (GPa × 1000).
  • Usar π·d² o π·d en lugar de π·d²/4 para el área de un círculo.
  • Dejar L en metros cuando δ debe salir en milímetros.
  • Repartir P entre los tramos de una barra escalonada. Cada tramo soporta toda la P.
Autoevaluación Una barra con A = 30 mm² soporta P = 6 kN. ¿Cuál es la tensión?
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Respuesta: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa usa 6 en lugar de 6000 N; 5 MPa divide el área entre la fuerza; 180 las multiplica.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: tensión normal. Una barra redonda de diámetro d soporta P; halla σ = P/A.
  • Medio: deformación y alargamiento. También te dan L y el E del material; halla ε (en µε) o δ (en mm).
  • Difícil: una barra escalonada con dos tramos, posiblemente de materiales distintos. Halla el alargamiento total o la mayor tensión.

Escribe las unidades junto a cada número. Casi todas las respuestas erróneas en este tema se equivocan en un factor de 1000.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 50 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 500 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 300 kN. Halla la tensión de compresión σr en la varilla.

P = 300 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Calcula σr (MPa)

Mostrar pistas
  1. Placas rígidas: la varilla y el tubo se acortan lo mismo, así que ε es la misma en ambos.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Deformación común

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Tensión en la varilla

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Respuesta

σr = 70,74 MPa
Ejemplo 2Media
Ø 20 mmLatón2,5 mP = 10 kN

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Calcula ε (µε)

Mostrar pistas
  1. Encadena tres relaciones: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
  2. Pasa E a MPa (GPa × 1000) para que coincida con la tensión en MPa, y L a mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Respuesta

ε = 318,3 µε
Ejemplo 3Difícil
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 40 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Calcula σ2 (MPa)

Mostrar pistas
  1. La unión se desplaza lo mismo para ambos tramos: uno se alarga y el otro se acorta.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Parte del tramo 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

Tensión

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (compresión)

Respuesta

σ2 = 9,821 MPa

Preguntas y respuestas

Tensión y deformación axial: ¿qué es?

Tira de una barra de acero y se resiste. Que se rompa o no no depende solo de la fuerza, sino de cuánto material se reparte esa fuerza.

Un alambre fino y un cable grueso pueden soportar la misma carga. El alambre fino tiene muchas más probabilidades de fallar, porque cada milímetro cuadrado de él soporta más.

Tensión y deformación axial: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Tensión y deformación axial: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Los dos materiales no reparten la tensión por igual: reparten la deformación. El más rígido soporta más tensión.
  • El tubo soporta parte de la carga.
  • Esa es la tensión en el tubo.
Tensión y deformación axial: ¿qué se practica?
  • Fácil: tensión normal
  • Media: deformación y alargamiento
  • Difícil: barra escalonada

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Cómo funciona la práctica

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