Tiro parabólico: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: movimiento parabólico · tiro oblicuo · lanzamiento de proyectiles
Problemas gratis de Tiro parabólico con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: lanzamiento horizontal, lanzamiento desde el suelo, lanzamiento desde una altura.
Problema de práctica gratisFácil
Se lanza una piedra horizontalmente desde lo alto de un muro de 20 m de altura y cae a 22 m del pie del muro. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad de lanzamiento v0.
Un proyectil es un objeto que vuela por el aire con la gravedad como única fuerza que actúa sobre él. Un balón pateado, una piedra lanzada desde un puente y el agua de una manguera son proyectiles.
En este tema se ignora la resistencia del aire. Entonces la trayectoria es siempre una curva suave llamada parábola.
La idea clave: el movimiento se divide en dos partes independientes. Hacia los lados, nada empuja ni frena al objeto. Hacia arriba y abajo, la gravedad tira de él con g = 9,81 m/s².
Así que la velocidad horizontal se mantiene igual todo el tiempo, mientras que la velocidad vertical cambia cada segundo. Las dos partes comparten una sola cosa: el tiempo.
Autoevaluación Una pelota vuela por el aire sin resistencia del aire. ¿Qué magnitud permanece constante durante el vuelo?
La altura
La rapidez total
La velocidad horizontal
La velocidad vertical
Respuesta: La velocidad horizontal. No actúa ninguna fuerza en horizontal, así que la velocidad horizontal nunca cambia. La gravedad cambia la velocidad vertical y, con ella, la rapidez total y la altura.
2Dos movimientos, un solo reloj
Coloca el origen en el punto de lanzamiento, con x horizontal e y vertical (hacia arriba es positivo). Tras un tiempo t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Aquí h es la altura de lanzamiento sobre el suelo, vx es la velocidad horizontal y vy es la velocidad vertical inicial.
La pelota toca el suelo cuando y = 0. Resuelves la ecuación vertical para ese tiempo y después sustituyes el mismo tiempo en la ecuación horizontal.
En un lanzamiento horizontal, vy = 0. La ecuación vertical se convierte en h = ½ · g · t², así que el tiempo de caída es:
t = √(2h / g)
Este tiempo de caída no depende en absoluto de la velocidad horizontal.
Autoevaluación Desde la misma mesa, la pelota A sale rodando por el borde a 1 m/s y la pelota B a 3 m/s. ¿Cuál aterriza primero?
Aterrizan al mismo tiempo
Depende de sus masas
La pelota A
La pelota B
Respuesta: Aterrizan al mismo tiempo. Ambas empiezan con velocidad vertical cero y caen la misma altura, así que t = √(2h/g) es el mismo. La pelota B solo aterriza más lejos.
3Lanzamiento con un ángulo
Cuando la pelota se lanza con una rapidez v0 y un ángulo θ sobre la horizontal, primero descompón la velocidad en sus dos partes, las componentes:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Desde un suelo llano, la pelota sube hasta que su velocidad vertical es cero y luego cae. La subida y la caída duran lo mismo. Esto da tres resultados útiles:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
La fórmula del alcance R solo es válida cuando la pelota aterriza a la misma altura desde la que se lanzó.
Autoevaluación Una pelota se lanza a 20 m/s y 30° sobre la horizontal. ¿Cuáles son sus componentes de velocidad?
vx = 10 m/s y vy = 10 m/s
vx = 10 m/s y vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s y vy = 10 m/s
vx = 20 m/s y vy = 20 m/s
Respuesta: vx = 17,3 m/s y vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s y vy = 20 · sen 30° = 10 m/s. Intercambiarlas usa el seno para la parte horizontal, que es la confusión clásica.
4El método paso a paso
Dibuja la trayectoria. Marca la altura de lanzamiento h, la rapidez de lanzamiento v0, el ángulo θ y lo que debes hallar.
Descompón la velocidad de lanzamiento en componentes: vx = v0 · cos θ y vy = v0 · sen θ. Un lanzamiento horizontal tiene vy = 0.
Usa el movimiento vertical para hallar el tiempo de vuelo: pon y = 0 en y = h + vy·t − ½·g·t² y despeja t.
Usa ese tiempo en el movimiento horizontal: x = vx · t.
Para la rapidez en cualquier instante, combina las componentes: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Comprueba que tu calculadora esté en grados antes de calcular el sen o el cos de un ángulo dado en grados.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Una pelota se lanza horizontalmente a 12 m/s desde lo alto de un acantilado de 45 m. Ignora la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿A qué distancia de la base del acantilado aterriza?
1
Dibuja la situación
El lanzamiento es horizontal, así que vx = 12 m/s y vy = 0. La pelota debe caer h = 45 m.
2
Halla el tiempo de vuelo
El movimiento vertical es una caída desde el reposo a lo largo de 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Usa el tiempo en horizontal
Durante esos 3,03 s la pelota sigue moviéndose hacia los lados a 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Comprueba la respuesta
Vuelve a poner el tiempo en el movimiento vertical: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. Es exactamente la altura del acantilado, así que el tiempo es correcto.
Una distancia de unos 36 m para un lanzamiento a 12 m/s durante 3 s también tiene un tamaño razonable.
5
Un paso más: la rapidez del impacto
Justo antes de aterrizar, vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s hacia abajo, mientras que vx sigue siendo 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Respuesta
La pelota aterriza a x ≈ 36,3 m de la base del acantilado, tras 3,03 s.
6Errores frecuentes
Usar la rapidez completa v0 donde corresponde una componente. El tiempo de vuelo sale solo de vy, el alcance solo de vx.
Confundir sen y cos. La componente horizontal va con cos θ cuando θ se mide desde la horizontal.
Una calculadora en radianes cuando el ángulo está en grados.
Usar R = v0² · sen 2θ / g cuando la pelota aterriza más abajo o más arriba de donde salió. Entonces debes resolver la ecuación vertical.
Dar una aceleración al movimiento horizontal. En horizontal, la velocidad es constante.
Autoevaluación Se patea un balón desde un suelo llano a 20 m/s y 30° sobre la horizontal. ¿Cuánto tiempo está en el aire? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Respuesta: 2,04 s. vy = 20 · sen 30° = 10 m/s, así que t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Usar los 20 m/s completos da 4,08 s, y 1,02 s es solo el tiempo hasta el punto más alto.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: un lanzamiento horizontal desde un acantilado o un muro. Halla el tiempo de vuelo, la distancia de aterrizaje, la rapidez de lanzamiento a partir de una distancia de aterrizaje dada, o la rapidez de impacto. Algunas preguntas fáciles piden el tiempo hasta el punto más alto de un lanzamiento desde el suelo.
Medio: un lanzamiento desde un suelo llano con un ángulo. Halla el tiempo de vuelo, la altura máxima o el alcance. Hay variantes que piden la rapidez o el ángulo de lanzamiento que da cierto alcance, o la altura a la que la pelota pasa sobre un muro.
Difícil: un lanzamiento con un ángulo desde lo alto de un acantilado, o un aterrizaje sobre un tejado. Poner y = 0 (o la altura del tejado) da una ecuación cuadrática en t: toma la raíz positiva.
En el caso difícil, el ángulo de aterrizaje por debajo de la horizontal se obtiene de las componentes finales: tan α = |vy − g·t| / vx.
Se lanza una pelota horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 55 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Calcula x(m)
Mostrar pistas
Trata por separado el movimiento horizontal y el vertical. Solo comparten el tiempo t.
La pelota aterriza cuando su altura y(t) llega a 0. Escribe y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, y el vuelo dura 3,349 s.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Descompón la velocidad de lanzamiento
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Tiempo de vuelo
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Distancia horizontal
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Respuesta
x = 33,49 m
Ejemplo 2Media
Se lanza una pelota a 60° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Calcula t(s)
Mostrar pistas
Trata por separado el movimiento horizontal y el vertical. Solo comparten el tiempo t.
Por simetría, el tiempo de subida es igual al de bajada.
vy = 22,52 m/s.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Descompón la velocidad de lanzamiento
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Tiempo de vuelo
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Respuesta
t = 4,591 s
Ejemplo 3Difícil
Se lanza una pelota a 25° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 55 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Calcula t(s)
Mostrar pistas
Trata por separado el movimiento horizontal y el vertical. Solo comparten el tiempo t.
La pelota aterriza cuando su altura y(t) llega a 0. Escribe y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Descompón la velocidad de lanzamiento
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Tiempo de vuelo
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Respuesta
t = 5,06 s
Preguntas y respuestas
Tiro parabólico: ¿qué es?
Un proyectil es un objeto que vuela por el aire con la gravedad como única fuerza que actúa sobre él. Un balón pateado, una piedra lanzada desde un puente y el agua de una manguera son proyectiles.
En este tema se ignora la resistencia del aire. Entonces la trayectoria es siempre una curva suave llamada parábola.
Tiro parabólico: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Descompón la velocidad de lanzamiento en componentes: vx = v₀·cos θ y vy = v₀·sin θ.
El movimiento horizontal tiene velocidad constante; el vertical tiene aceleración −g.
Halla el tiempo de vuelo a partir del movimiento vertical.
Usa ese tiempo en el movimiento horizontal para hallar el alcance.
Tiro parabólico: ¿cuáles son los errores más comunes?
Usar v₀ en lugar de una componente.
Tener la calculadora en radianes cuando el ángulo está en grados.
Usar la fórmula del alcance v₀²·sin 2θ/g cuando las alturas de lanzamiento y de llegada son distintas.
Tiro parabólico: ¿qué se practica?
Fácil: lanzamiento horizontal
Media: lanzamiento desde el suelo
Difícil: lanzamiento desde una altura
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.