Torsión de ejes: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: esfuerzo cortante por torsión · ángulo de torsión
Problemas gratis de Torsión de ejes con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: tensión cortante, ángulo de torsión, transmisión de potencia.
Problema de práctica gratisFácil
Un eje macizo circular transmite un par T. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
Un eje es una barra giratoria que transmite un esfuerzo de giro: el árbol de transmisión de un coche, el husillo de un taladro, el eje de una bomba.
El esfuerzo de giro es el par T. Es una fuerza por el brazo sobre el que actúa, en N·m. Empujar 200 N en el extremo de una llave de 0,5 m da T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Un eje cargado con un par está en torsión. Se retuerce un poco, y su material soporta una tensión cortante τ (tau): las rebanadas vecinas del eje intentan deslizarse una respecto a otra.
En el diseño importan dos preguntas: ¿es la tensión cortante lo bastante baja (resistencia)?, y ¿es el giro lo bastante pequeño (rigidez)?
Autoevaluación Empujas 200 N en el extremo de una llave de 0,5 m, en ángulo recto. ¿Qué par aplicas?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Respuesta: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Dividir entre 0,5 da 400; olvidar el brazo da 200.
2Tensión cortante y momento polar
El centro del eje apenas se deforma. Cuanto más lejos del centro está un punto, más se cizalla. Así, la tensión cortante crece linealmente con el radio, desde cero en el centro hasta su máximo en la superficie.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Aquí ρ (rho) es la distancia al centro, r = d/2 es el radio exterior y J es el momento polar de inercia (segundo momento polar de área). J mide lo bien que la sección resiste la torsión:
Para un eje macizo de diámetro d, y para un eje hueco con diámetro exterior do y diámetro interior di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Para un eje macizo las dos fórmulas se combinan en una más corta:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Trabaja en N·mm y mm, así la tensión sale en N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.
Autoevaluación En un eje macizo τmax = 60 MPa. ¿Cuál es la tensión cortante a medio camino entre el centro y la superficie?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Respuesta: 30 MPa. La tensión crece linealmente con ρ, así que en ρ = r/2 es la mitad de τmax: 30 MPa. No es igual en todas partes, y solo es cero en el centro.
3Ángulo de torsión y potencia
El extremo libre del eje gira el ángulo de torsión φ (phi). Un eje más largo o más delgado se retuerce más; un material más rígido se retuerce menos:
φ = T · L / (G · J)
G es el módulo de rigidez (módulo cortante) del material: unos 80 GPa para el acero y 26 GPa para el aluminio. La fórmula da φ en radianes. Multiplica por 180/π para obtener grados.
Los ejes suelen transmitir potencia de un motor. La potencia es el par por la velocidad angular, donde la velocidad en rpm debe convertirse primero en rad/s:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Así que una pregunta que da kW y rpm empieza con T = P/ω, con P en vatios.
Autoevaluación Un eje gira a ω = 100 rad/s y transmite 5 kW. ¿Qué par soporta?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Respuesta: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 sale de usar 5 en lugar de 5000 W; 20 divide ω entre P.
4El método paso a paso
Si se dan la potencia y la velocidad, halla primero el par: ω = 2πN/60, luego T = P/ω.
Convierte a N y mm: T en N·mm (N·m × 1000), L en mm, G en MPa (GPa × 1000).
Halla J: π·d⁴/32 para un eje macizo, π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco.
Tensión cortante: τmax = T·r/J con r el radio exterior.
Giro: φ = TL/(GJ) en radianes, luego × 180/π si piden grados.
En una pregunta de diseño (hallar d), iguala τmax = 16T/(πd³) a la tensión admisible y despeja d.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Un eje macizo de acero (G = 80 GPa) de 40 mm de diámetro y 1 m de longitud está empotrado en un extremo. Un par de 500 N·m actúa en el extremo libre. Halla τmax y el ángulo de torsión φ en grados.
1
Mira el eje y convierte las unidades
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Momento polar de inercia
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Tensión cortante máxima
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
La fórmula corta da lo mismo: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Algo menos de un grado y medio en un metro de eje de acero es un tamaño razonable.
Respuesta
τmax = 39,8 MPa y φ = 1,42°.
6Errores frecuentes
Usar el diámetro en lugar del radio en τ = T·r/J. Eso duplica la tensión.
Olvidar convertir N·m en N·mm, lo que hace la tensión 1000 veces demasiado pequeña.
Usar rpm directamente en P = T·ω. Convierte antes a rad/s con ω = 2πN/60.
Dar φ en radianes cuando piden grados, o al revés.
En un eje hueco: restar los diámetros antes de elevar a la cuarta potencia. Usa do⁴ − di⁴.
Autoevaluación Un eje hueco con diámetro exterior de 40 mm tiene J = 200 000 mm⁴. Soporta T = 1000 N·m. ¿Cuánto vale τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Respuesta: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Usar r = 40 mm (el diámetro) da 200 MPa; dejar T en N·m da 0,1 MPa; olvidar r da 5.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: tensión cortante. Un eje macizo de diámetro d soporta T; halla τmax. Las variantes piden la tensión a un radio dado o el par admisible.
Medio: ángulo de torsión. También se dan L y G; halla φ en grados. Las variantes usan un eje hueco o escalonado.
Difícil: transmisión de potencia. Se dan la potencia en kW y la velocidad en rpm; halla el par y luego τmax en un eje hueco, o el diámetro mínimo para una tensión admisible.
Escribe el par en N·mm junto al problema antes que nada. Es el número que usan todos los pasos siguientes.
Un eje macizo de 40 mm de diámetro transmite un par de 750 N·m. Halla la tensión cortante τρ a un radio de 15 mm del centro.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Calcula τρ(MPa)
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En un eje circular la tensión cortante es proporcional a la distancia al centro: τ = T·ρ/J.
Usa N y mm en todo: T en N·mm, L en mm, G en MPa (GPa × 1000), J en mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Tensión cortante en ρ
Como comparación, en la superficie τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Respuesta
τρ = 44,76 MPa
Ejemplo 2Media
Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Calcula φ(°)
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Usa φ = TL/(GJ), que da radianes.
Usa N y mm en todo: T en N·mm, L en mm, G en MPa (GPa × 1000), J en mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Respuesta
φ = 6,576°
Ejemplo 3Difícil
Un eje macizo debe transmitir 15 kW a 1000 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Calcula d(mm)
Mostrar pistas
Par a partir de la potencia: T = P/ω con ω = 2πN/60 en rad/s.
Iguala τmax = 16T/(πd³) a la tensión admisible y despeja d.
T = 143,2 N·m.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Diámetro a partir de la tensión admisible
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Respuesta
d = 21,35 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
Preguntas y respuestas
Torsión de ejes: ¿qué es?
Un eje es una barra giratoria que transmite un esfuerzo de giro: el árbol de transmisión de un coche, el husillo de un taladro, el eje de una bomba.
El esfuerzo de giro es el par T. Es una fuerza por el brazo sobre el que actúa, en N·m. Empujar 200 N en el extremo de una llave de 0,5 m da T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Torsión de ejes: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Torsión de ejes: ¿cuáles son los errores más comunes?
Usar el diámetro en lugar del radio en τ = T·r/J.
Olvidar pasar de rpm a rad/s.
Dar el ángulo de torsión en radianes cuando se pide en grados.
Torsión de ejes: ¿qué se practica?
Fácil: tensión cortante
Media: ángulo de torsión
Difícil: transmisión de potencia
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.