Engranajes y trenes de engranajes: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Engranajes y trenes de engranajes con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: relación de velocidades, par y potencia, tren de engranajes compuesto.

Problema de práctica gratisFácil
N1​ = 30N2​ = 48

Un engranaje motor de 30 dientes gira a 1500 rpm y engrana con un engranaje de 48 dientes. Halla la velocidad n2 del engranaje conducido.

N1 = 30N2 = 48n1 = 1500 rpm
rpm
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Qué practicas

  1. Fácilrelación de velocidades
  2. Mediapar y potencia
  3. Difíciltren de engranajes compuesto

Fórmulas clave

Engranajes en contacto
n1·N1 = n2·N2
Par
T2 = T1·(N2/N1)·η
Potencia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Tren compuesto
relación total = producto de las relaciones de cada etapa

Aprende Engranajes y trenes de engranajes desde cero

1Qué hacen los engranajes

Los engranajes transmiten el giro de un eje a otro. Sus dientes encajan entre sí, así que no pueden resbalar.

Una caja de engranajes hace dos trabajos a la vez. Cambia la velocidad de giro y cambia el par, la fuerza de giro en el eje. Más lento significa más fuerte.

Un motor eléctrico gira rápido pero con poco par. Un par de engranajes lo frena para que pueda mover una cinta transportadora pesada o un cabrestante. Una bicicleta en una marcha corta funciona igual.

El engranaje que mueve el motor es el conductor (a menudo un engranaje pequeño llamado piñón). El engranaje al que hace girar es el conducido.

N1​, n1​N2​, n2​

Dos engranajes en contacto giran en sentidos opuestos.

Autoevaluación Un engranaje pequeño mueve a uno grande. En comparación con el pequeño, el grande gira…
  1. a la misma velocidad y en el mismo sentido
  2. más deprisa, con más par
  3. más despacio, con menos par
  4. más despacio, con más par

Respuesta: más despacio, con más par. El engranaje grande necesita más vueltas del pequeño para dar una vuelta propia, así que es más lento. La potencia es casi la misma, así que el eje más lento soporta más par.

2La relación de velocidades

En el punto donde se tocan dos engranajes, sus dientes pasan al mismo ritmo. Si el piñón da una vuelta con 20 dientes, hace pasar 20 dientes del engranaje grande. Un engranaje de 60 dientes da entonces solo un tercio de vuelta.

Así que las velocidades n (en rpm) y los números de dientes N se relacionan mediante:

n1 · N1 = n2 · N2

La relación de transmisión es i = N2 / N1 = n1 / n2. Una relación de 3 significa que la salida gira tres veces más despacio.

En un tren de engranajes compuesto, dos engranajes están en el mismo eje intermedio, así que giran a la misma velocidad. La relación total es el producto de las relaciones de cada etapa:

itotal = (NB / NA) · (ND / NC)

Un engranaje intermedio entre otros dos (cada uno en su propio eje) cambia solo el sentido de giro. La velocidad del último engranaje se obtiene solo a partir del primero y del último.

Autoevaluación Un engranaje de 20 dientes que gira a 900 rpm mueve un engranaje de 60 dientes. ¿A qué velocidad gira el engranaje de 60 dientes?
  1. 1,33 rpm
  2. 2700 rpm
  3. 300 rpm
  4. 900 rpm

Respuesta: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. Multiplicar por 60/20 da 2700 rpm: el engranaje grande giraría entonces más deprisa, lo cual es al revés.

3Par y potencia

La potencia es el par por la velocidad angular. La velocidad angular debe estar en rad/s, así que primero convierte desde rpm:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

Un par de engranajes transmite casi toda la potencia. Solo se pierde un pequeño porcentaje por rozamiento, descrito por el rendimiento η (normalmente de 0,95 a 0,98):

P2 = η · P1

Como la velocidad baja según la relación de transmisión mientras la potencia se mantiene casi igual, el par sube según esa relación:

T2 = T1 · (N2 / N1) · η
Autoevaluación Un motor de 3 kW gira a 955 rpm. ¿Qué par entrega?
  1. 0,03 N·m
  2. 188 N·m
  3. 3,14 N·m
  4. 30 N·m

Respuesta: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, así que T = 3000/100 = 30 N·m. Dividir directamente entre las rpm da 3,14, dejar la potencia en kW da 0,03, y olvidar el 2π da 188.

4El método paso a paso

  1. Dibuja los engranajes y escribe el número de dientes de cada uno. Marca el eje de entrada y el eje de salida.
  2. Halla la relación de cada etapa, dientes del conducido / dientes del conductor, y multiplica las etapas en un tren compuesto.
  3. Velocidad de salida: nout = nin / itotal.
  4. Par de entrada del motor: convierte rpm a rad/s con ω = 2π·n/60, y después T = P/ω.
  5. Par de salida: multiplica por la relación y por el rendimiento de cada engrane.

Comprueba el sentido de la respuesta: una reducción hace la salida más lenta y su par mayor.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un motor de 4 kW que gira a 1200 rpm mueve un piñón de 20 dientes, que engrana con un engranaje de 60 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 96 %. Halla la velocidad del engranaje y el par de salida en su eje.

1

Dibuja el par

20, 1200 rpm60, n2​ = ?

El piñón es el conductor. La relación de transmisión es i = 60/20 = 3.

2

Velocidad de salida

n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3

Par de entrada

Convierte primero la velocidad del motor a rad/s:

ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4

Par de salida

T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5

Comprueba la respuesta

Potencia de salida: P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W, y ω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

El mismo par, hallado a partir de la potencia. La respuesta es correcta.

Respuesta

El engranaje gira a n2 = 400 rpm con un par de salida de T2 ≈ 91,7 N·m.

6Errores frecuentes

  • Dar la vuelta a la relación de dientes. Un engranaje conducido mayor debe girar más despacio.
  • Usar rpm en P = T·ω. Convierte a rad/s con ω = 2π·n/60.
  • Dividir el par entre la relación en lugar de multiplicar. Una reducción aumenta el par.
  • Dividir entre el rendimiento. El rozamiento hace el par de salida menor, así que multiplica por η.
  • Contar un engranaje intermedio en la relación, o multiplicar los dientes de dos engranajes que están en el mismo eje.
Autoevaluación Un piñón de 20 dientes transmite 10 N·m y mueve un engranaje de 60 dientes. El rendimiento es del 95 %. ¿Cuál es el par de salida?
  1. 28,5 N·m
  2. 3,17 N·m
  3. 30 N·m
  4. 31,6 N·m

Respuesta: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Dividir entre la relación da 3,17, ignorar el rendimiento da 30, y dividir entre η da 31,6.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: la relación de velocidades. Halla la velocidad del engranaje conducido, o el número de dientes necesario para una velocidad dada. Las variantes incluyen un engranaje intermedio y el tamaño de los engranajes a partir del módulo m: diámetro primitivo d = m·N, distancia entre centros a = m·(N1 + N2)/2.
  • Medio: par y potencia. Un motor de potencia y velocidad dadas mueve un par de engranajes: halla el par de entrada o de salida. Otras preguntas piden la fuerza tangencial sobre los dientes, Ft = 2T/d, o incluyen un tornillo sin fin (relación = dientes de la rueda / entradas del tornillo).
  • Difícil: un tren de engranajes compuesto. Halla la velocidad de salida, los dientes necesarios en el último engranaje, o el par de salida con un rendimiento para cada engrane. Algunas preguntas usan un tren planetario.

Para un tren compuesto como A (20) → B (60), luego C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9, así que una entrada de 900 rpm da 100 rpm en la salida.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

Un motor que gira a 1500 rpm acciona una polea de 160 mm. Una correa la conecta con una polea de 400 mm. Suponiendo que no hay deslizamiento, halla la velocidad n2 de la polea conducida.

n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mm

Calcula n2 (rpm)

Mostrar pistas
  1. La correa se mueve a una sola velocidad, así que ambos bordes tienen la misma velocidad.
  2. π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
  3. n₂ = 1500·160/400.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.

Velocidades periféricas iguales

n₁·d₁ = n₂·d₂

Velocidad de la polea conducida

n2 = 1500·160/400 = 600 rpm

Respuesta

n2 = 600 rpm
Ejemplo 2Media
N1​ = 16N2​ = 80

Un motor de 7,5 kW que gira a 1450 rpm acciona un piñón de 16 dientes, que engrana con una rueda de 80 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 98 %. Halla el par de salida T2 en el eje de la rueda.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 80η = 98%

Calcula T2 (N·m)

Mostrar pistas
  1. Par del motor a partir de la potencia: T = P/ω, con ω = 2π·n/60 en rad/s.
  2. ω₁ = 151,8 rad/s.
  3. El engranaje multiplica el par por N₂/N₁ (y pierde un poco por rozamiento).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Par del motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Par de salida

T2 = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

Respuesta

T2 = 242 N·m
Ejemplo 3Difícil
A = 32B = 60C = 50D = ?

En un tren de engranajes compuesto, la rueda A (32 dientes) del eje de entrada gira a 960 rpm y acciona la rueda B (60 dientes). La rueda C (50 dientes) está fijada al mismo eje que B y acciona la rueda D del eje de salida. La salida debe girar a 320 rpm. ¿Cuántos dientes ND debe tener la rueda D?

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 50nout = 320 rpm

Calcula ND

Mostrar pistas
  1. Halla primero la velocidad del eje intermedio: nB = nin·A/B.
  2. Después C acciona D: ND = C·nB/nout.
  3. nB = 512 rpm.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Velocidad del eje intermedio

nB = nC = 960·32/60 = 512 rpm

Dientes de la rueda D

ND = C·nC/nout = 50·512/320 = 80

Respuesta

ND = 80

Preguntas y respuestas

Engranajes y trenes de engranajes: ¿qué es?

Los engranajes transmiten el giro de un eje a otro. Sus dientes encajan entre sí, así que no pueden resbalar.

Una caja de engranajes hace dos trabajos a la vez. Cambia la velocidad de giro y cambia el par, la fuerza de giro en el eje. Más lento significa más fuerte.

Engranajes y trenes de engranajes: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.

Engranajes y trenes de engranajes: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • La polea mayor gira más despacio: n₂ = n₁·d₁/d₂.
  • Son iguales las velocidades periféricas, no las de los ejes.
  • El par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.
Engranajes y trenes de engranajes: ¿qué se practica?
  • Fácil: relación de velocidades
  • Media: par y potencia
  • Difícil: tren de engranajes compuesto

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