Rotación del sólido rígido: problemas de práctica con soluciones paso a paso

1Qué es la rotación de un sólido rígido

Un sólido rígido es un objeto que conserva su forma: un volante de inercia, una polea, una puerta o una rueda que rueda. En este tema el cuerpo gira alrededor de un eje.

Todos los puntos del cuerpo giran el mismo ángulo en el mismo tiempo. Por eso se describe el movimiento con magnitudes angulares en lugar de distancias:

• θ: el ángulo girado, en radianes (rad). Una vuelta son 2π rad.
• ω: la velocidad angular, en rad/s.
• α: la aceleración angular, en rad/s².

Las máquinas dan las velocidades en revoluciones por minuto (rpm). Conviértelas antes de calcular:

Un punto a una distancia r del eje se mueve con rapidez v = ω·r y tiene una aceleración a = α·r a lo largo de su trayectoria.

Todo lo que sabes del movimiento rectilíneo tiene un gemelo giratorio: la fuerza se convierte en momento, la masa en momento de inercia, y ΣF = m·a en ΣM = I·α.

2El momento de inercia

La masa indica lo difícil que es acelerar un cuerpo en línea recta. El momento de inercia de masa I indica lo difícil que es ponerlo a girar.

La masa lejos del eje cuenta mucho más que la masa cercana, porque cuenta con el cuadrado de su distancia:

No necesitas sumar las piezas tú mismo. Aprende estos resultados estándar respecto al centro de masa G:

• Barra delgada de longitud L, eje por el centro: m·L²/12.
• Disco macizo o cilindro de radio R: ½·m·R².
• Anillo delgado o aro: m·R².
• Esfera maciza: (2/5)·m·R². Esfera hueca: (2/3)·m·R².
• Masa puntual a una distancia r: m·r².

Cuando el eje O no pasa por G, usa el teorema de los ejes paralelos. Aquí d es la distancia entre O y G:

Una barra que gira alrededor de su extremo tiene d = L/2, así que I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Algunas preguntas dan un radio de giro k en lugar de una forma. Entonces I = m·k². Para un cuerpo formado por partes, halla la I de cada parte respecto al mismo eje y suma.

3Momentos, energía y momento angular

Tres herramientas resuelven casi todos los problemas de rotación. Elige la que corresponda a la pregunta.

1. Momentos. La suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α. Úsala para aceleraciones y fuerzas.

Con un par constante el movimiento angular tiene α constante, y las ecuaciones de la cinemática tienen gemelas giratorias: ω = ω₀ + α·t y ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Energía. Un cuerpo que gira almacena energía cinética. Un par T que gira un ángulo θ realiza trabajo, y la potencia de un eje que gira es el par por la velocidad angular:

Un cuerpo que rueda sin deslizar se mueve y gira a la vez, con v = ω·r. Tiene los dos tipos de energía cinética:

El número c depende solo de la forma: 0,4 para una esfera maciza, 0,5 para un cilindro macizo, 2/3 para una esfera hueca y 1 para un aro. En una pendiente, a = g·sen θ / (1 + c).

3. Momento angular. L = I·ω. Cuando no actúa ningún momento exterior respecto al eje, L se mantiene, incluso cuando los cuerpos quedan unidos y se pierde energía cinética:

4El método paso a paso

1. Dibuja el cuerpo y elige el eje: el pivote o eje fijo, o el centro en un cuerpo que rueda.
2. Halla el momento de inercia respecto a ese eje. Usa los resultados estándar y suma m·d² cuando el eje esté desplazado.
3. Convierte toda velocidad en rpm a rad/s con ω = 2π·n/60.
4. Elige la herramienta. Aceleraciones y fuerzas: ΣM = I·α (con ΣF = m·a para las partes que se mueven en línea recta). Velocidades tras una distancia o un ángulo: energía. Impactos, agarres bruscos y cuerpos que recogen su masa: momento angular.
5. Relaciona el movimiento rectilíneo con el giratorio allí donde los une una cuerda o un contacto de rodadura: v = ω·r y a = α·r.
6. Resuelve, y comprueba el resultado con una segunda herramienta si puedes.

Para un cuerpo que cuelga de una cuerda que pasa por una polea, dibuja dos diagramas de cuerpo libre: uno para el bloque (fuerzas) y otro para la polea (momentos). La tensión de la cuerda aparece en ambos.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

6Errores frecuentes

• Dejar las velocidades en rpm en ω, E = ½·I·ω² o P = T·ω. Convierte primero a rad/s.
• Usar el momento de inercia respecto al centro en un cuerpo que gira alrededor de su extremo. Suma m·d².
• Olvidar la energía cinética de rotación de un cuerpo que rueda o de una polea.
• Tratar como masa puntual una esfera o un disco en el extremo de una barra. Suma también su propia I respecto a su centro.
• Suponer que la energía cinética se conserva cuando los cuerpos se agarran o quedan unidos. Usa en su lugar el momento angular.
• Contar las revoluciones en radianes: N = θ/(2π).

7Cómo son las preguntas de examen

• Fácil: momento de inercia. Una barra respecto a un eje desplazado, un péndulo formado por una barra y una esfera o un disco, la energía cinética de un volante de inercia, o el par o el tiempo necesarios para acelerar un volante.
• Medio: ΣM = I·α, trabajo y potencia. Una barra soltada desde la horizontal, un bloque en una polea, las revoluciones que da un volante frenado, el par o la potencia de un eje, o la rapidez de una barra que oscila.
• Difícil: rodadura y momento angular. Una esfera, un cilindro o un aro que ruedan por una pendiente, el rozamiento necesario para rodar, la parte de energía de rotación, un anillo soltado sobre un disco que gira, una persona que recoge unas pesas, o una bala que golpea una barra colgante.

En un volante frenado, el freno realiza un trabajo igual a la energía almacenada: T·θ = ½·I·ω². Divide θ entre 2π para obtener las revoluciones.

Una barra articulada por un extremo y soltada desde la horizontal tiene α = 3·g/(2·L) justo después de soltarla. Su extremo libre acelera a 1,5·g.

Para una bala que se queda clavada en una barra, el momento angular respecto al pivote se conserva: m·v·d = (I_barra + m·d²)·ω.