Continuidad y Bernoulli: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: ecuación de Bernoulli · ecuación de continuidad · efecto Venturi
Problemas gratis de Continuidad y Bernoulli con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: continuidad, reducción horizontal, tubería ascendente.
Problema de práctica gratisFácil
El agua circula a 0,75 m/s por el tramo ancho de la tubería, que tiene un diámetro de 75 mm. Halla el caudal Q.
Pon el pulgar sobre el extremo de una manguera de jardín y el agua sale más rápida. La misma cantidad de agua tiene que pasar por una abertura más pequeña, así que debe moverse más rápido.
Esa idea es la continuidad: en una tubería llena, el agua no se puede acumular ni desaparecer. Lo que entra cada segundo tiene que salir cada segundo.
La segunda idea, la ecuación de Bernoulli, relaciona velocidad, presión y altura. Donde el agua acelera, su presión baja. Donde sube, su presión también baja.
Juntas, estas dos ideas permiten predecir la velocidad y la presión en cualquier punto de una tubería. En este tema el fluido es incompresible (como el agua) y se ignoran las pérdidas por rozamiento.
Autoevaluación El agua fluye por una tubería que se estrecha. ¿Qué ocurre con su velocidad en la parte estrecha?
Aumenta
Disminuye
El agua se detiene
Se mantiene igual
Respuesta: Aumenta. El mismo volumen por segundo debe pasar por un área menor, así que el agua debe moverse más rápido.
2Caudal y continuidad
El caudal volumétricoQ es el volumen de fluido que pasa por segundo, en m³/s. Un litro por segundo (L/s) son 0,001 m³/s.
Para un fluido que se mueve a una velocidad media v por una sección de área A:
Q = A · v A = π · d² / 4
El caudal másico es ṁ = ρ · Q, en kg/s, donde ρ es la densidad (1000 kg/m³ para el agua).
La continuidad dice que Q es el mismo en cada sección de la tubería:
A1 · v1 = A2 · v2
En tuberías circulares el π/4 se simplifica, así que v2 = v1 · (d1 / d2)². Reducir el diámetro a la mitad hace el agua cuatro veces más rápida.
Autoevaluación Una tubería se estrecha de 80 mm a 40 mm. El agua se mueve a 1 m/s en la parte ancha. ¿A qué velocidad se mueve en la parte estrecha?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Respuesta: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. El área depende del diámetro al cuadrado. Usar la razón de diámetros sin elevar al cuadrado da 2 m/s.
3La ecuación de Bernoulli
A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, la energía por metro cúbico de fluido se mantiene igual. Tiene tres partes: presión, movimiento y altura.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: la presión, en Pa.
½ρv²: la energía cinética por m³, también en Pa.
ρgz: la energía de altura por m³, donde z es la altura sobre cualquier nivel de referencia que elijas.
Así que si una parte crece, otra debe disminuir. El agua más rápida tiene menos presión. El agua más alta tiene menos presión.
Un caso especial útil es un depósito que se vacía por un pequeño orificio a una profundidad h bajo la superficie libre. La superficie apenas se mueve y ambos puntos están a presión atmosférica, lo que da la ley de Torricelli:
v = √(2gh)
Autoevaluación Un depósito abierto de agua se vacía por un pequeño orificio situado 5 m bajo la superficie del agua. Sin tener en cuenta las pérdidas, ¿a qué velocidad sale el chorro por el orificio? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Respuesta: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Olvidar el 2 da 7,00 m/s, y olvidar la raíz cuadrada da 98,1.
4El método paso a paso
Dibuja la tubería y numera dos secciones: la 1 donde sepas más, la 2 donde esté la incógnita.
Convierte las unidades: mm a m, kPa a Pa, L/s a m³/s.
Halla las áreas A = π·d²/4 y usa la continuidad para obtener la velocidad que falta.
Escribe Bernoulli entre las secciones 1 y 2. Para una tubería horizontal z1 = z2, así que los términos de altura se anulan.
Despeja la incógnita y, si hace falta, vuelve a convertir a kPa.
Mantén las unidades coherentes. Con ρ en kg/m³ y v en m/s, el término ½ρv² sale en Pa, no en kPa.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Agua (ρ = 1000 kg/m³) fluye por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 50 mm. En la sección ancha la presión es 200 kPa y la velocidad es 1,5 m/s. Sin tener en cuenta las pérdidas, halla la presión en la sección estrecha.
1
Dibuja la tubería
La sección 1 es la parte ancha, donde todo es conocido. La sección 2 es la parte estrecha.
2
Velocidad en la parte estrecha
El diámetro se reduce a la mitad, así que la velocidad se multiplica por (100/50)² = 4:
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Escribe Bernoulli
La tubería es horizontal, así que los términos de altura se anulan:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Sustituye, en pascales
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Comprueba la respuesta
El agua es más rápida en la parte estrecha, así que su presión debe ser menor. 183,1 kPa es menor que 200 kPa, como se esperaba.
El caudal es Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s en ambas secciones.
Respuesta
p2 ≈ 183,1 kPa en la sección estrecha (v2 = 6 m/s).
6Errores frecuentes
Usar la razón de diámetros en lugar de la razón de áreas: las velocidades cambian con el cuadrado del diámetro.
Usar el radio como si fuera el diámetro en A = π·d²/4, o olvidar el /4.
Mezclar kPa y Pa. Trabaja en Pa en Bernoulli y convierte al final.
Dar m³/s como si fueran L/s. Multiplica los m³/s por 1000 para obtener L/s.
Olvidar el término de altura ρ·g·Δz cuando la tubería sube o baja.
Autoevaluación El agua fluye a 2 m/s por una tubería de 100 mm de diámetro interior. ¿Cuál es el caudal volumétrico?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Respuesta: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², así que Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Olvidar el /4 da 62,8, y olvidar π/4 da 20.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: continuidad. Halla un caudal, un caudal másico, la velocidad en una sección más estrecha o el diámetro de tubería necesario para un caudal dado. Algunas preguntas usan la ley de Torricelli para un depósito que se vacía.
Medio: un reductor horizontal. Halla la presión en una sección a partir de la otra. Las variantes usan un caudalímetro Venturi, un tubo de Pitot (v = √(2Δp/ρ)) o un orificio con coeficiente de descarga.
Difícil: una tubería ascendente. El término de altura importa: cada metro de subida reduce la presión en ρ·g·1 = 9,81 kPa para el agua. Las variantes incluyen un sifón, un depósito presurizado y una fuente.
En el ejemplo anterior, una subida de 5 m entre las secciones reduciría p2 otros 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, hasta 134,1 kPa.
El agua circula por una tubería que se estrecha de 100 mm a 50 mm de diámetro. La velocidad en el tramo ancho es 2,75 m/s. Halla la velocidad v2 en el tramo estrecho.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Calcula v2(m/s)
Mostrar pistas
Por cada sección pasa el mismo volumen de agua cada segundo: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, y el área va con d², así que v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad
El caudal es el mismo en ambos tramos.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Respuesta
v2 = 11 m/s
Ejemplo 2Media
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 50 mm. En el tramo ancho la presión es 250 kPa y la velocidad 0,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
Usa primero la continuidad para hallar la velocidad en el tramo estrecho.
Bernoulli para una tubería horizontal: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
v2 = 4,5 m/s.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 190 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 25 mm de diámetro, 4 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².
Bernoulli desde la superficie del agua (presión manométrica p, en reposo) hasta el chorro (presión atmosférica).
p/ρ + gh = ½v², así que v = √(2(p/ρ + gh)) con p en Pa.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Pon el pulgar sobre el extremo de una manguera de jardín y el agua sale más rápida. La misma cantidad de agua tiene que pasar por una abertura más pequeña, así que debe moverse más rápido.
Esa idea es la continuidad: en una tubería llena, el agua no se puede acumular ni desaparecer. Lo que entra cada segundo tiene que salir cada segundo.
Continuidad y Bernoulli: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli: ¿cuáles son los errores más comunes?
La presión del aire también empuja el agua hacia fuera: incluye p/ρ en la ecuación de Bernoulli.
La altura del agua también contribuye a la velocidad: v = √(2(p/ρ + gh)).
Continuidad y Bernoulli: ¿qué se practica?
Fácil: continuidad
Media: reducción horizontal
Difícil: tubería ascendente
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.