ऊष्मा विनिमयक (LMTD): चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त ऊष्मा विनिमयक (LMTD) अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: LMTD, आवश्यक क्षेत्रफल, पूरा डिज़ाइन।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
लंबाईT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂प्रतिप्रवाह

एक प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में गर्म तरल 115 से 100 °C तक ठंडा होता है जबकि ठंडा तरल 15 से 100 °C तक गर्म होता है। लघुगणकीय माध्य तापांतर ΔTlm ज्ञात कीजिए।

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
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ऊष्मा विनिमयक (LMTD) का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी ऊष्मा विनिमयक (LMTD) का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानLMTD
  2. मध्यमआवश्यक क्षेत्रफल
  3. कठिनपूरा डिज़ाइन

मुख्य सूत्र

ऊष्मा भार
Q = U·A·ΔTlm
लघुगणकीय माध्य तापमान अंतर
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
धारा संतुलन
Q = ṁcp(Tin − Tout)

ऊष्मा विनिमयक (LMTD) शुरू से सीखें

इससे पहले: ऊर्जा संतुलन

1ऊष्मा विनिमयक क्या करता है

ऊष्मा विनिमयक धातु की दीवार से होकर ऊष्मा को गर्म तरल से ठंडे तरल तक ले जाता है, उदाहरण के लिए एक नली जिसके भीतर गर्म तेल और बाहर ठंडा करने वाला पानी हो।

वह कितनी ऊष्मा ले जा सकता है यह तीन बातों पर निर्भर करता है: दीवार ऊष्मा को कितनी अच्छी तरह गुज़ारती है, कितनी दीवार है, और तरलों के बीच तापांतर कितना बड़ा है।

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: ऊष्मा भार, W में।
  • U: समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक, W/(m²·K) में। बड़ा U यानी बेहतर विनिमयक।
  • A: ऊष्मा अंतरण क्षेत्रफल, m² में।
  • ΔTlm: लघुगणकीय माध्य तापांतर, सही “औसत” तापांतर।

धाराएँ एक ही दिशा में (समांतर प्रवाह) या विपरीत दिशाओं में (प्रतिप्रवाह) बह सकती हैं।

hc⇉hc⇄

आकृति में बायाँ विनिमयक समांतर प्रवाह वाला है और दायाँ प्रतिप्रवाह वाला। प्रतिप्रवाह अपनी लंबाई के अनुदिश बड़ा तापांतर बनाए रखता है, इसलिए उसी क्षेत्रफल के लिए अधिक ऊष्मा स्थानांतरित करता है।

2लघुगणकीय माध्य क्यों

तरलों के बीच तापांतर हर जगह समान नहीं होता। विनिमयक के अनुदिश गर्म तरल ठंडा होता है और ठंडा तरल गर्म, इसलिए अंतर एक सिरे से दूसरे सिरे तक बदलता है।

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

दोनों सिरों के अंतरों को ΔT1 और ΔT2 कहें। अंतर सीधी रेखा में नहीं बदलता, इसलिए सादा औसत सही नहीं है। सही औसत लघुगणकीय माध्य है:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

हर सिरे पर कौन-से तापमान आमने-सामने होते हैं, यह व्यवस्था पर निर्भर करता है:

  • प्रतिप्रवाह: ΔT1 = Th,in − Tc,out और ΔT2 = Th,out − Tc,in।
  • समांतर प्रवाह: ΔT1 = Th,in − Tc,in और ΔT2 = Th,out − Tc,out।

लघुगणकीय माध्य हमेशा समांतर माध्य से थोड़ा नीचे रहता है। यदि ΔT1 = ΔT2 हो, तो ΔTlm सीधे वही मान होता है।

स्व-जाँच प्रतिप्रवाह: गर्म तरल 100 से 60 °C तक जाता है, ठंडा तरल 20 से 50 °C तक। सिरों के अंतर क्या हैं?
  1. 40 K और 30 K
  2. 50 K और 10 K
  3. 50 K और 40 K
  4. 80 K और 10 K

उत्तर: 50 K और 40 K. प्रतिप्रवाह में गर्म प्रवेश ठंडे निर्गम के सामने होता है (100 − 50 = 50 K) और गर्म निर्गम ठंडे प्रवेश के सामने (60 − 20 = 40 K)। 80 K और 10 K समांतर प्रवाह की जोड़ी है।

3विधि चरण-दर-चरण

  1. चारों तापमान लिख लें और जाँचें कि प्रवाह प्रतिप्रवाह है या समांतर।
  2. यदि कोई निर्गम तापमान छूटा हो, तो पहले उसे ऊर्जा संतुलन से निकालें: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in)।
  3. सही जोड़ी के साथ सिरों के अंतर ΔT1 और ΔT2 निकालें।
  4. प्राकृतिक लघुगणक से ΔTlm निकालें।
  5. क्षेत्रफल के लिए: A = Q/(U·ΔTlm)। जब U, W/(m²·K) में हो तब Q को W में रखें (kW × 1000)।
स्व-जाँच सिरों के अंतर ΔT₁ = 40 K और ΔT₂ = 20 K हैं। ΔTlm क्या है?
  1. 13.86 K
  2. 20 K
  3. 28.85 K
  4. 30 K

उत्तर: 28.85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0.693 = 28.85 K। समांतर माध्य, 30 K, करीब है पर थोड़ा ज़्यादा।

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक 100 kW स्थानांतरित करता है। गर्म तरल 120 से 60 °C तक ठंडा होता है और ठंडा तरल 20 से 50 °C तक गर्म होता है। समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक 500 W/(m²·K) है। ऊष्मा अंतरण क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

1

तापमानों का रेखाचित्र बनाएँ

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

प्रतिप्रवाह है, इसलिए गर्म प्रवेश (120 °C) ठंडे निर्गम (50 °C) के सामने है।

2

सिरों के अंतर

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

लघुगणकीय माध्य तापांतर

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0.5596 = 53.61 K
4

क्षेत्रफल

Q = 100 kW = 100 000 W।

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53.61) = 3.73 m²
5

उत्तर जाँचें

ΔTlm = 53.61 K 40 और 70 K के बीच है और उनके माध्य 55 K से ठीक नीचे, जैसा होना चाहिए।

समांतर प्रवाह में सिरे 100 K और 10 K होते, जिससे ΔTlm = 39.09 K और A = 5.12 m² आता। प्रतिप्रवाह को कम क्षेत्रफल चाहिए।

उत्तर

A ≈ 3.73 m² (ΔTlm = 53.61 K)।

5सामान्य गलतियाँ

  • प्रतिप्रवाह विनिमयक में समांतर प्रवाह की तरह तापमानों की जोड़ी बनाना, या उलटा।
  • लघुगणकीय माध्य की जगह समांतर माध्य का उपयोग करना।
  • एक धारा के तापमान-परिवर्तन (उदाहरण के लिए 120 − 60) को ΔT1 मानना। ΔT हमेशा एक ही सिरे पर गर्म घटा ठंडा होता है।
  • U के W/(m²·K) में होने पर Q को kW में छोड़ देना। क्षेत्रफल 1000 गुना छोटा आता है।
  • ln की जगह log₁₀ का उपयोग करना।
स्व-जाँच Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) और ΔTlm = 25 K है। कितना क्षेत्रफल चाहिए?
  1. 0.004 m²
  2. 0.25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

उत्तर: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m²। Q को kW में छोड़ने पर 0.004 m² आता है, 1000 गुना छोटा। 0.25 m² भिन्न को उलट देने से आता है।

6परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: चार तापमानों से प्रतिप्रवाह विनिमयक के लिए ΔTlm ज्ञात करें।
  • मध्यम: उदाहरण की तरह, प्रतिप्रवाह या समांतर प्रवाह में, दिए गए ऊष्मा भार और U के लिए क्षेत्रफल A ज्ञात करें।
  • कठिन: पूरा डिज़ाइन। पानी का निर्गम तापमान नहीं दिया गया है: गर्म धारा से Q ज्ञात करें, ऊर्जा संतुलन से पानी का निर्गम, फिर ΔTlm और A।

कुछ प्रश्न संघनित्र का उपयोग करते हैं: गर्म पक्ष एक स्थिर तापमान पर संघनित होता है। तब दोनों सिरों के अंतर उसी तापमान का उपयोग करते हैं, और प्रतिप्रवाह या समांतर प्रवाह एक ही ΔTlm देते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
लंबाईT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂प्रतिप्रवाह

एक प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में गर्म तरल 100 से 80 °C तक ठंडा होता है जबकि ठंडा तरल 30 से 85 °C तक गर्म होता है। लघुगणकीय माध्य तापांतर ΔTlm ज्ञात कीजिए।

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

ज्ञात करें: ΔTlm (K)

संकेत दिखाएँ
  1. विनिमयक के हर सिरे पर दोनों धाराओं के बीच तापांतर ज्ञात करें।
  2. प्रतिप्रवाह में गर्म इनलेट ठंडे आउटलेट के सामने और गर्म आउटलेट ठंडे इनलेट के सामने होता है।
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

LMTD विधि: विनिमयक के साथ धाराओं के बीच तापांतर बदलता है, इसलिए दर समीकरण उसका लघुगणकीय माध्य लेता है: Q̇ = U·A·ΔTlm, जहाँ ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), और ΔT₁ व ΔT₂ दोनों सिरों पर अंतर हैं। समान इनलेट और आउटलेट तापमानों के लिए प्रतिप्रवाह, समांतर प्रवाह से बड़ा ΔTlm देता है।

सिरों पर तापांतर

प्रतिप्रवाह में गर्म इनलेट ठंडे आउटलेट के सामने और गर्म आउटलेट ठंडे इनलेट के सामने होता है।

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

लघुगणकीय माध्य तापांतर

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29.07 K

उत्तर

ΔTlm = 29.07 K
उदाहरण 2मध्यम
लंबाईT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂समांतर प्रवाह

एक समांतर-प्रवाह ऊष्मा विनिमयक 60 kW स्थानांतरित करता है। गर्म तरल 165 से 115 °C तक ठंडा होता है और ठंडा तरल 10 से 80 °C तक गर्म होता है। समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक 500 W/(m²·K) है। आवश्यक ऊष्मा अंतरण क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

ज्ञात करें: A (m²)

संकेत दिखाएँ
  1. Q̇ = U·A·ΔTlm का उपयोग करें और A के लिए हल करें।
  2. समांतर प्रवाह में दोनों इनलेट एक ही सिरे पर और दोनों आउटलेट दूसरे सिरे पर होते हैं।
  3. ΔTlm = 80.64 K.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

LMTD विधि: विनिमयक के साथ धाराओं के बीच तापांतर बदलता है, इसलिए दर समीकरण उसका लघुगणकीय माध्य लेता है: Q̇ = U·A·ΔTlm, जहाँ ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), और ΔT₁ व ΔT₂ दोनों सिरों पर अंतर हैं। समान इनलेट और आउटलेट तापमानों के लिए प्रतिप्रवाह, समांतर प्रवाह से बड़ा ΔTlm देता है।

सिरों पर तापांतर

समांतर प्रवाह में दोनों इनलेट एक ही सिरे पर और दोनों आउटलेट दूसरे सिरे पर होते हैं।

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

लघुगणकीय माध्य तापांतर

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80.64 K

क्षेत्रफल

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80.64) = 1.488 m²

उत्तर

A = 1.488 m²
उदाहरण 3कठिन
लंबाईT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂संघनित होती भाप

3 m² ऊष्मा अंतरण क्षेत्रफल और U = 1500 W/(m²·K) वाले एक संघनित्र की नलियों के बाहर भाप स्थिर 105 °C पर संघनित होती है। ठंडा करने वाला पानी (1 kg/s, cp = 4.18 kJ/(kg·K)) 10 °C पर नलियों में प्रवेश करता है। पानी का निर्गम तापमान Tc,out ज्ञात कीजिए।

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

ज्ञात करें: Tc,out (°C)

संकेत दिखाएँ
  1. निर्गम तापमान अज्ञात है, इसलिए LMTD सीधे नहीं निकाला जा सकता। Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) को Q̇ = U·A·ΔTlm के साथ मिलाएँ।
  2. इससे ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp) मिलता है।
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1.077.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

ऊर्जा संतुलन और दर समीकरण को मिलाएँ

ΔT₁ = Ts − Tc,in और ΔT₂ = Ts − Tc,out के साथ, अंतर ΔT₁ − ΔT₂ पानी की तापमान वृद्धि के बराबर है, इसलिए वृद्धि कट जाती है।

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1.077

निर्गम तापमान

ΔT₂ = ΔT₁·e−1.077 = 95·0.3408 = 32.37 K
Tc,out = 105 − 32.37 = 72.63 °C

उत्तर

Tc,out = 72.63 °C

स्थानांतरित ऊष्मा: Q̇ = 261.8 kW।

प्रश्न और उत्तर

ऊष्मा विनिमयक (LMTD) क्या है?

ऊष्मा विनिमयक धातु की दीवार से होकर ऊष्मा को गर्म तरल से ठंडे तरल तक ले जाता है, उदाहरण के लिए एक नली जिसके भीतर गर्म तेल और बाहर ठंडा करने वाला पानी हो।

वह कितनी ऊष्मा ले जा सकता है यह तीन बातों पर निर्भर करता है: दीवार ऊष्मा को कितनी अच्छी तरह गुज़ारती है, कितनी दीवार है, और तरलों के बीच तापांतर कितना बड़ा है।

ऊष्मा विनिमयक (LMTD) के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

LMTD विधि: विनिमयक के साथ धाराओं के बीच तापांतर बदलता है, इसलिए दर समीकरण उसका लघुगणकीय माध्य लेता है: Q̇ = U·A·ΔTlm, जहाँ ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), और ΔT₁ व ΔT₂ दोनों सिरों पर अंतर हैं। समान इनलेट और आउटलेट तापमानों के लिए प्रतिप्रवाह, समांतर प्रवाह से बड़ा ΔTlm देता है।

ऊष्मा विनिमयक (LMTD) में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • तापांतर चरघातांकी रूप से घटता है: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>)।
ऊष्मा विनिमयक (LMTD) के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: LMTD
  • मध्यम: आवश्यक क्षेत्रफल
  • कठिन: पूरा डिज़ाइन

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

ऊर्जा संतुलन

कैलकुलेटर

LMTD कैलकुलेटर (लघुगणकीय माध्य तापांतर)

इस विषय वाले कोर्स

ऊष्मा अंतरणFE Chemical परीक्षा अभ्यास

केमिकल में और विषय

द्रव्यमान संतुलनऊर्जा संतुलनआदर्श गैस नियमअभिक्रिया गतिकीरिएक्टर आकार निर्धारण (CSTR और PFR)

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित ऊष्मा विनिमयक (LMTD) वर्कशीट
ऊष्मा विनिमयक (LMTD) का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी ऊष्मा विनिमयक (LMTD) का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।