相関係数の計算ツール（ピアソンとスピアマン）
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
ピアソンの相関係数 r0.9733
r²0.9473
スピアマンの順位相関係数 ρ0.9762
ピアソンの r の t 統計量10.39
ピアソンの r の p 値（H₀：線形相関なし）4.657 × 10⁻⁵
スピアマンの ρ の p 値（t 近似）3.314 × 10⁻⁵
| x | y | x の順位 | y の順位 | d² |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 52 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 58 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 61 | 3 | 4 | 1 |
| 7 | 60 | 4 | 3 | 1 |
| 8 | 72 | 5 | 5 | 0 |
| 10 | 75 | 6 | 6 | 0 |
| 11 | 80 | 7 | 7 | 0 |
| 13 | 86 | 8 | 8 | 0 |
2 つの変数がどれだけ強く連動するかを測ります。対応する x と y の値を入力すると、ピアソンの相関係数 r、決定係数 r²、スピアマンの順位相関 ρ が得られ、同順位の値には平均順位が与えられます。計算ツールは、t 統計量と両側 p 値を使ってピアソンの r の線形相関の検定も行い、スピアマンの ρ の近似 p 値も示します。
ステップごとの解答
平均
x̄ = 7.5, ȳ = 68, n = 8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1002
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 305
ピアソンの相関
r = Sxy/√(Sxx·Syy) = 305/√(98·1002) = 0.9733
r² = 0.9473
スピアマンの順位相関
各リストを小さい順に 1 から順位付けし、順位の差 d を 2 乗します。
Σd² = 2
ρ = 1 − 6Σd²/(n(n² − 1)) = 1 − 6·2/(8·63) = 0.9762
ピアソンの r の有意性検定（H₀：線形相関なし）
t = r·√(n − 2)/√(1 − r²) = 0.9733·√6/√(1 − 0.9473) = 10.39
df = n − 2 = 6
p = 2·P(T > |t|) = 4.657 × 10⁻⁵
スピアマンの ρ の有意性
t = ρ·√(n − 2)/√(1 − ρ²) = 11.02, p ≈ 3.314 × 10⁻⁵
この t 近似は、およそ 10 組以上のデータで妥当です。標本が小さい場合は、ρ の正確な棄却限界値の表を使ってください。
重要な公式
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
相関係数の計算方法
- 平均 x̄ と ȳ を計算します。
- 平方和 Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) を計算します。
- ピアソン：r = Sxy/√(Sxx·Syy)。値は常に −1 から 1 の間です。
- スピアマン：各変数を小さい順に順位付けし、同順位の値には順位の平均を与え、順位に対するピアソンの r を計算します。同順位がなければ、これは 1 − 6Σd²/(n(n² − 1)) に等しくなります。
- t = r√(n − 2)/√(1 − r²)、自由度 n − 2 で、ピアソンの r の線形相関を検定します（H₀：線形相関なし）。
質問と回答
ピアソンの代わりにスピアマンを使うのはいつですか？
ピアソンは直線的な関係を測り、外れ値に敏感です。スピアマンは値の順序だけを使うので、増加し続ける（または減少し続ける）あらゆる関係を測ることができ、外れ値や偏ったデータに頑健です。順位データや順序尺度のデータにはスピアマンを使います。
r² は何を意味しますか？
r² は、x の直線で説明される y の変動の割合です。r = 0.9733 のとき r² = 0.9473 なので、直線は変動の約 95% を説明します。
強い相関があれば、x が y の原因だと証明できますか？
いいえ。両方の変数が第三の変数に左右されている場合や、因果の向きが逆の場合もあります。相関は、値が一緒にどう動くかを表すだけです。
どのくらいなら強い相関といえますか？
目安として、|r| が 0.3 未満は弱い、0.3～0.7 は中程度、0.7 を超えると強いとされますが、分野によって異なります。物理の実験では 0.9 でも悪く、社会科学では 0.5 でも大きいことがあります。必ず散布図も見てください。
p 値が n に依存するのはなぜですか？
点が少ないと、高い r は偶然でも簡単に起こります。点が多いと、小さな r でも H₀ のもとではまず起こりません。t 統計量 r√(n − 2)/√(1 − r²) は点の数とともに大きくなります。
自分で練習する
線形回帰と相関を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。