열교환기 (LMTD): 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 열교환기 (LMTD) 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

LMTD 법: 두 흐름 사이의 온도 차는 열교환기를 따라 변하므로, 전열 식에는 그 대수 평균을 씁니다: Q̇ = U·A·ΔTlm, ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) (ΔT₁, ΔT₂는 양 끝의 온도 차). 입출구 온도가 같다면 대향류의 ΔTlm이 병류보다 큽니다.

Q: 열교환기 (LMTD)에서 자주 하는 실수는?

온도차는 지수적으로 감소합니다: T s − T c,out = (T s − T c,in )·e−UA/(ṁc p ).

Q: 열교환기 (LMTD) 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: LMTD 보통: 필요 면적 어려움: 전체 설계 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 열교환기 (LMTD) 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: LMTD, 필요 면적, 전체 설계.

무료 연습 문제쉬움

대향류 열교환기에서 고온 유체는 115에서 100 °C까지 냉각되고 저온 유체는 15에서 100 °C까지 가열된다. 대수 평균 온도 차 ΔT_lm을(를) 구하시오.

T_h: 115 → 100 °CT_c: 15 → 100 °C

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열교환기 (LMTD) 무료로 연습하기 지금 열교환기 (LMTD) 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움LMTD
보통필요 면적
어려움전체 설계

핵심 공식

열부하: Q = U·A·ΔT_lm
대수 평균 온도차: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
유체별 열수지: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

열교환기 (LMTD) 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 에너지 수지

1열교환기가 하는 일

열교환기는 열을 뜨거운 유체에서 차가운 유체로 금속 벽을 통해 옮깁니다. 예를 들어 안쪽에 뜨거운 기름이, 바깥쪽에 냉각수가 있는 관입니다.

옮길 수 있는 열의 양은 세 가지에 달려 있습니다: 벽이 열을 얼마나 잘 통과시키는지, 벽이 얼마나 많은지, 유체 사이의 온도차가 얼마나 큰지.

Q = U · A · ΔT_lm

Q: W 단위의 열부하.
U: W/(m²·K) 단위의 총괄 열전달 계수. U가 클수록 더 좋은 열교환기입니다.
A: m² 단위의 열전달 면적.
ΔT_lm: 대수 평균 온도차, 올바른 “평균” 온도차.

흐름은 같은 방향(병류) 또는 반대 방향(향류)으로 흐를 수 있습니다.

그림에서 왼쪽 열교환기는 병류이고 오른쪽은 향류입니다. 향류는 길이를 따라 더 큰 온도차를 유지하므로 같은 면적으로 더 많은 열을 전달합니다.

2왜 대수 평균인가

유체 사이의 온도차는 어디서나 같지 않습니다. 열교환기를 따라 뜨거운 유체는 식고 차가운 유체는 데워지므로 온도차가 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 가며 변합니다.

양 끝의 차를 ΔT₁과 ΔT₂라고 합시다. 온도차는 직선으로 변하지 않으므로 단순 평균은 맞지 않습니다. 올바른 평균은 대수 평균입니다:

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂) / ln(ΔT₁ / ΔT₂)

각 끝에서 어떤 온도끼리 마주 보는지는 배치에 따라 달라집니다:

향류: ΔT₁ = T_h,in − T_c,out, ΔT₂ = T_h,out − T_c,in.
병류: ΔT₁ = T_h,in − T_c,in, ΔT₂ = T_h,out − T_c,out.

대수 평균은 항상 산술 평균보다 조금 작습니다. ΔT₁ = ΔT₂이면 ΔT_lm은 그 값 그대로입니다.

자가 점검 향류: 뜨거운 유체는 100에서 60 °C로, 차가운 유체는 20에서 50 °C로 갑니다. 양 끝의 온도차는 얼마입니까?

40 K와 30 K
50 K와 10 K
50 K와 40 K
80 K와 10 K

답: 50 K와 40 K. 향류에서는 뜨거운 입구가 차가운 출구와 마주 봅니다(100 − 50 = 50 K). 뜨거운 출구는 차가운 입구와 마주 봅니다(60 − 20 = 40 K). 80 K와 10 K은 병류의 짝짓기입니다.

3단계별 방법

네 온도를 적고 향류인지 병류인지 확인하세요.
출구 온도가 없으면 먼저 에너지 수지로 구하세요: Q = ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(T_c,out − T_c,in).
올바른 짝짓기로 양 끝의 차 ΔT₁과 ΔT₂를 구하세요.
자연로그로 ΔT_lm을 계산하세요.
면적은: A = Q/(U·ΔT_lm). U가 W/(m²·K)이면 Q를 W로 쓰세요(kW × 1000).

자가 점검 양 끝의 온도차는 ΔT₁ = 40 K, ΔT₂ = 20 K입니다. ΔT_lm은 얼마입니까?

13.86 K
20 K
28.85 K
30 K

답: 28.85 K. ΔT_lm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0.693 = 28.85 K입니다. 산술 평균인 30 K은 가깝지만 너무 높습니다.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

향류 열교환기가 100 kW를 전달합니다. 뜨거운 유체는 120에서 60 °C로 식고 차가운 유체는 20에서 50 °C로 데워집니다. 총괄 열전달 계수는 500 W/(m²·K)입니다. 열전달 면적 A를 구하시오.

온도를 스케치합니다

향류이므로 뜨거운 입구(120 °C)가 차가운 출구(50 °C)와 마주 봅니다.

양 끝의 온도차

ΔT₁ = 120 − 50 = 70 K

ΔT₂ = 60 − 20 = 40 K

대수 평균 온도 차

ΔT_lm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0.5596 = 53.61 K

면적

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔT_lm) = 100 000 / (500 · 53.61) = 3.73 m²

답 검산

ΔT_lm = 53.61 K은 40과 70 K 사이에 있고 둘의 평균 55 K보다 약간 작아서 올바릅니다.

병류라면 양 끝이 100 K와 10 K가 되어 ΔT_lm = 39.09 K, A = 5.12 m²가 됩니다. 향류가 더 작은 면적을 필요로 합니다.

답

A ≈ 3.73 m² (ΔT_lm = 53.61 K).

5흔한 실수

향류 열교환기에 병류의 짝짓기를 쓰거나 그 반대로 하기.
대수 평균 대신 산술 평균을 쓰기.
한 흐름의 온도 변화(예: 120 − 60)를 ΔT₁로 쓰기. ΔT는 항상 같은 끝에서의 뜨거운 쪽 빼기 차가운 쪽입니다.
U가 W/(m²·K)인데 Q를 kW로 두기. 면적이 1000배 작게 나옵니다.
ln 대신 log₁₀을 쓰기.

자가 점검 Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K), ΔT_lm = 25 K입니다. 필요한 면적은 얼마입니까?

0.004 m²
0.25 m²
4 m²
4000 m²

답: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m²입니다. Q를 kW로 두면 0.004 m²로 1000배 작습니다. 0.25 m²는 분수를 뒤집은 값입니다.

6시험 문제의 유형

쉬움: 네 온도로부터 향류 열교환기의 ΔT_lm을 구합니다.
보통: 예제처럼 향류 또는 병류에서 주어진 열부하와 U로 면적 A를 구합니다.
어려움: 전체 설계. 물의 출구 온도가 주어지지 않습니다: 고온 흐름에서 Q를, 에너지 수지에서 물의 출구를 구한 뒤 ΔT_lm과 A를 구합니다.

일부 문제는 응축기를 씁니다: 고온 쪽이 하나의 일정한 온도에서 응축됩니다. 그러면 양 끝의 온도차가 모두 그 온도를 쓰며, 향류든 병류든 ΔT_lm이 같습니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

대향류 열교환기에서 고온 유체는 100에서 80 °C까지 냉각되고 저온 유체는 30에서 85 °C까지 가열된다. 대수 평균 온도 차 ΔT_lm을(를) 구하시오.

T_h: 100 → 80 °CT_c: 30 → 85 °C

구하는 값: ΔT_lm (K)

힌트 보기

열교환기 양 끝에서 두 흐름 사이의 온도 차를 구합니다.
대향류에서는 고온 입구가 저온 출구와, 고온 출구가 저온 입구와 마주 봅니다.
ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.

정답과 단계별 풀이 보기

LMTD 법: 두 흐름 사이의 온도 차는 열교환기를 따라 변하므로, 전열 식에는 그 대수 평균을 씁니다: Q̇ = U·A·ΔT_lm, ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) (ΔT₁, ΔT₂는 양 끝의 온도 차). 입출구 온도가 같다면 대향류의 ΔT_lm이 병류보다 큽니다.

양 끝의 온도 차

대향류에서는 고온 입구가 저온 출구와, 고온 출구가 저온 입구와 마주 봅니다.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 100 − 85 = 15 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 80 − 30 = 50 K

대수 평균 온도 차

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29.07 K

답

ΔT_lm = 29.07 K

예제 2보통

병류 열교환기가 60 kW을(를) 전달한다. 고온 유체는 165에서 115 °C까지 냉각되고 저온 유체는 10에서 80 °C까지 가열된다. 총괄 열전달 계수는 500 W/(m²·K)이다. 필요한 전열 면적 A을(를) 구하시오.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)T_h: 165 → 115 °CT_c: 10 → 80 °C

구하는 값: A (m²)

힌트 보기

Q̇ = U·A·ΔT_lm을 쓰고 A에 대해 풉니다.
병류에서는 두 입구가 같은 쪽 끝에, 두 출구가 반대쪽 끝에 있습니다.
ΔT_lm = 80.64 K.

정답과 단계별 풀이 보기

양 끝의 온도 차

병류에서는 두 입구가 같은 쪽 끝에, 두 출구가 반대쪽 끝에 있습니다.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,in = 165 − 10 = 155 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,out = 115 − 80 = 35 K

대수 평균 온도 차

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80.64 K

면적

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 60000/(500·80.64) = 1.488 m²

답

A = 1.488 m²

예제 3어려움

전열 면적 3 m², U = 1500 W/(m²·K)인 응축기의 관 바깥쪽에서 증기가 일정한 105 °C로 응축된다. 냉각수(1 kg/s, c_p = 4.18 kJ/(kg·K))는 10 °C로 관에 들어간다. 물의 출구 온도 T_c,out을(를) 구하시오.

T_s = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/sc_p = 4.18 kJ/(kg·K)T_c,in = 10 °C

구하는 값: T_c,out (°C)

힌트 보기

출구 온도를 모르므로 LMTD를 바로 계산할 수 없습니다. Q̇ = ṁc_p(T_c,out − T_c,in)과 Q̇ = U·A·ΔT_lm을 결합하세요.
그러면 ln((T_s − T_c,in)/(T_s − T_c,out)) = U·A/(ṁ·c_p)가 됩니다.
U·A/(ṁ·c_p) = 1.077.

정답과 단계별 풀이 보기

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.