Magnetiniai laukai ir indukcija: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Magnetiniai laukai ir indukcija su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: srovių laukai ir magnetinės jėgos, įkrautosios dalelės, Faradėjus ir Lencas, generatoriai, induktyvumas ir dalelių pluoštai.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
100 vijų ir 2 cm spindulio plokščia apskrita ritė perneša 0,5 A srovę. Raskite magnetinio srauto tankį B jos centre.
Kiekvieną elektros srovę supa magnetinis laukas B, matuojamas teslomis (T). Žemės laukas yra apie 50 µT; šaldytuvo magnetas – kelios mT.
Aplink ilgą tiesų laidą jėgų linijos yra apskritimai. Nukreipkite dešinės rankos nykštį išilgai srovės: pirštai užsilenks B kryptimi (dešinės rankos suėmimo taisyklė). Brėžiniuose ⊗ reiškia lauką į lapą, o ⊙ – iš lapo.
laidas: B = μ₀I/(2πr) kilpos centras: B = μ₀NI/(2R) solenoidas: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Visada naudokite metrus: 5 cm yra 0,05 m. Ilgo solenoido viduje laukas yra tolygus ir nepriklauso nuo spindulio.
Savikontrolė Atstumas nuo ilgo tiesaus laido padvigubėja. Kas atsitinka su B?
Ji padvigubėja
Ji sumažėja perpus
Jos lieka tokios pačios
Sumažėja iki ketvirtadalio
Atsakymas: Ji sumažėja perpus. B = μ₀I/(2πr) mažėja kaip 1/r, todėl dvigubas atstumas duoda perpus mažesnį lauką. 1/r² dėsnis galioja taškiniams krūviams, o ne laidams.
2Magnetinės jėgos
Laukas veikia judančius krūvius. Tiesų L ilgio laidą su srove I ir pavienį krūvį q, judantį greičiu v:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ yra kampas tarp srovės (arba greičio) ir lauko: laidą, lygiagretų B, jėga neveikia. Jėga statmena abiem. Dešinės rankos pirštus nukreipkite išilgai v ir lenkite link B: nykštys rodo F teigiamam krūviui. Elektronui kryptį apverskite.
Kadangi jėga visada statmena greičiui, krūvis, judantis skersai tolygaus lauko, juda apskritimu. Prilyginus |q|vB = mv²/r, gaunama r = mv/(|q|B). Vieno apsisukimo trukmė T = 2πm/(|q|B) nepriklauso nuo greičio.
Du lygiagretūs laidai traukia vienas kitą, kai srovės teka ta pačia kryptimi, ir stumia, kai teka priešingomis kryptimis; F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Savikontrolė Protonas ir elektronas juda tuo pačiu greičiu skersai to paties lauko. Kuris juda didesniu apskritimu?
Abu apskritimai vienodo dydžio
Elektronas
Nė vienas: jie juda tiesiomis linijomis
Protonas
Atsakymas: Protonas. r = mv/(|q|B). Abiejų krūvio dydis vienodas, bet protonas maždaug 1836 kartų sunkesnis, todėl jo apskritimas 1836 kartų didesnis. Be to, jie linksta priešingomis kryptimis.
3Srautas ir Faradėjaus dėsnis
Kontūro magnetinis srautas parodo, kiek lauko jį kerta: Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Vienetas: veberis (Wb = T·m²).
Kai ritę kertantis srautas keičiasi, indukuojasi elektrovara (Faradėjaus dėsnis). Indukuota srovė teka taip, kad jos pačios laukas priešintųsi pokyčiui (Lenco dėsnis):
ε = −N·ΔΦ/Δt
Srautas gali keistis, nes kinta B, kinta plotas arba ritė sukasi. Apverčiant ritę lauke, srautas pakeičia ženklą, todėl ΔΦ = 2BA.
L ilgio strypas, judantis greičiu v skersai lauko, nubrėžia plotą, todėl ε = BLv. Su rezistoriumi R srovė I = ε/R, o laukas veikia tą srovę priešinga jėga F = BIL: reikia nuolat traukti, kad strypas judėtų.
Savikontrolė Laukas į lapą per kontūrą didėja. Kuria kryptimi teka indukuota srovė, žiūrint iš priekio?
Pagal laikrodžio rodyklę
Prieš laikrodžio rodyklę
Priklauso nuo kontūro dydžio
Srovės nėra
Atsakymas: Prieš laikrodžio rodyklę. Indukuota srovė priešinasi srauto į lapą didėjimui, todėl jos pačios laukas kontūro viduje nukreiptas iš lapo. Pagal suėmimo taisyklę tam reikia srovės prieš laikrodžio rodyklę.
4Generatoriai ir induktyvumas
N vijų ir ploto A ritė, sukdamasi kampiniu greičiu ω lauke B, sukuria sinusinę elektrovarą, kurios amplitudė E₀ = NBAω. Efektinė vertė yra E₀/√2, o ω = 2π·n/60, kai n išreikštas aps./min.
Besikeičianti srovė ritėje keičia jos pačios srautą, kuris indukuoja elektrovarą, priešinančią pokyčiui: tai savaiminė indukcija L, matuojama henriais (H).
ε = L·ΔI/Δt ilgas solenoidas: L = μ₀N²A/l energija: W = ½LI²
Dvi ritės su bendru srautu turi abipusį induktyvumą M: besikeičianti srovė vienoje indukuoja kitoje ε₂ = M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂) ir 0 ≤ k ≤ 1. Tuo remiasi transformatoriai.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
40 cm ilgio metalinis strypas slysta 5 m/s greičiu bėgeliais 0,5 T lauke. Bėgeliai sujungti 2 Ω rezistoriumi. Raskite srovę ir jėgą, reikalingą strypui judinti pastoviu greičiu.
1
Indukuota elektrovara
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Srovė
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Stabdymo jėga
Srovė strype yra lauke, todėl strypą veikia F = BIL jėga priešinga jo judėjimui (Lenco dėsnis).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Patikrinimas pagal energiją
Traukimo galia F·v = 0,10 · 5 = 0,5 W lygi rezistoriuje išsiskiriančiai šilumai I²R = 0,25 · 2 = 0,5 W. Energija išsaugoma.
Atsakymas
I = 0,5 A ir F = 0,10 N.
6Dažnos klaidos
Palikti atstumus cm arba plotus cm². 1 cm² = 10⁻⁴ m².
Naudoti kampą su plokštuma, o ne su normale, formulėje Φ = BA·cos θ.
Faradėjaus dėsnyje naudoti galutinį lauką, o ne lauko pokytį.
Pamiršti apversti jėgos kryptį neigiamam krūviui.
Painioti generatoriaus amplitudinę ir efektinę vertes.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvas: laido, kontūro ar solenoido B, jėga, veikianti laidą ar judantį krūvį, ir srautas per kontūrą.
Vidutinis: krūvio spindulys ir periodas lauke, Faradėjaus dėsnis ritei, strypas ant bėgelių, lygiagretūs laidai, jėgos ar indukuotos srovės kryptis.
Sunkus: generatoriai, savaiminė indukcija ir sukaupta energija, abipusis induktyvumas, masių spektrometrai ir greičio selektoriai.
Kryptims nubraižykite lauko simbolius ir kaskart naudokite dešinę ranką; dydžiams pirmiausia užrašykite formulę ir visus dydžius perskaičiuokite į SI vienetus.
Ilgu tiesiu laidu teka 8 A. Kokiu atstumu r nuo laido magnetinio srauto tankis yra 32 µT?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Raskite r(cm)
Rodyti užuominas
Pertvarkykite B = μ₀I/(2πr), kad rastumėte r.
r = μ₀I/(2πB).
Rezultatą iš metrų paverskite centimetrais.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Srovių magnetinis laukas: aplink ilgą tiesų laidą jėgų linijos yra apskritimai (dešinės rankos suėmimo taisyklė), B = μ₀I/(2πr). N vijų plokščios apskritos ritės centre B = μ₀NI/(2R). Ilgo solenoido viduje laukas tolygus, B = μ₀nI, kur n = N/L vijų metrui, kad ir koks būtų spindulys. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Dirbkite SI vienetais (metrais ir amperais), o kelių šaltinių laukus sudėkite kaip vektorius.
Atstumas pagal lauką
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Atsakymas
r = 5 cm
Pavyzdys 2Vidutinis
50 vijų ritės plotas yra 80 cm². Tolygus laukas, statmenas ritei, tolygiai didėja nuo 0,2 T iki 1 T per 100 ms. Raskite vidutinę indukuotą elektrovarą ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Raskite ε(V)
Rodyti užuominas
Faradėjaus dėsnis: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 m² ir Δt = 0,1 s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Srauto pokytis vienai vijai
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
Vidutinė elektrovara
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Atsakymas
ε = 3,2 V
Pavyzdys 3Sunkus
Dviejų ričių savaiminės indukcijos induktyvumai yra 50 mH ir 50 mH, o jų ryšio koeficientas 0,3. Srovė pirmoje ritėje kinta 1000 A/s sparta. Raskite antroje ritėje indukuotą elektrovarą ε.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Raskite ε(V)
Rodyti užuominas
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
M paverskite henriais.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Abipusis induktyvumas
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
Indukuota elektrovara
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Atsakymas
ε = 15 V
Klausimai ir atsakymai
Magnetiniai laukai ir indukcija: kas tai?
Kiekvieną elektros srovę supa magnetinis laukas B, matuojamas teslomis (T). Žemės laukas yra apie 50 µT; šaldytuvo magnetas – kelios mT.
Aplink ilgą tiesų laidą jėgų linijos yra apskritimai. Nukreipkite dešinės rankos nykštį išilgai srovės: pirštai užsilenks B kryptimi (dešinės rankos suėmimo taisyklė). Brėžiniuose ⊗ reiškia lauką į lapą, o ⊙ – iš lapo.
Magnetiniai laukai ir indukcija: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.
Magnetiniai laukai ir indukcija: kokios klaidos dažniausios?
Palikti ilgius cm arba plotus cm².
Naudoti laido formulę kontūrui ar solenoidui.
Naudoti kampą su plokštuma formulėje Φ = BA·cos θ, kuriai reikia kampo su normale.
Pamiršti apversti jėgos kryptį neigiamam krūviui.
Painioti generatoriaus amplitudinę ir efektinę vertes.
Magnetiniai laukai ir indukcija: ką lavinsite?
Lengvas: srovių laukai ir magnetinės jėgos
Vidutinis: įkrautosios dalelės, Faradėjus ir Lencas
Sunkus: generatoriai, induktyvumas ir dalelių pluoštai
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.