Spyruoklės ir švytuoklės: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Spyruoklės ir švytuoklės su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: svarelis ant spyruoklės, švytuoklė, greitis, pagreitis ir energija.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
4,8 kgk = ?

4,8 kg krovinys ant spyruoklės svyruoja 2,5 s periodu. Raskite spyruoklės standumą k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Spyruoklės ir švytuoklėsPraktikuokitės dabar: Spyruoklės ir švytuoklėsKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassvarelis ant spyruoklės
  2. Vidutinisšvytuoklė
  3. Sunkusgreitis, pagreitis ir energija

Pagrindinės formulės

Svarelis ant spyruoklės
T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė
T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis
ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energija
E = ½·k·A²

Išmokite Spyruoklės ir švytuoklės nuo nulio

Prieš tai: Niutono dėsniai

1Kas yra svyravimas

Patraukite spyruoklės pakabintą masę į šoną ir paleiskite. Ji sukasi atgal pro vidurį, iki kitos pusės ir vėl atgal. Vaikas sūpynėse ir gitaros styga daro tą patį.

Šis pasikartojantis judėjimas yra svyravimas. Vidurio taškas, kur masė ilsėtųsi, yra pusiausvyros padėtis.

m0−A+Axk
  • Amplitudė A yra didžiausias atstumas nuo pusiausvyros, m.
  • Periodas T yra laikas vienam pilnam svyravimui, ten ir atgal, s.
  • Dažnis f yra svyravimų skaičius per sekundę, hercais (Hz).
f = 1 / T
Savikontrolė Masė ant spyruoklės padaro 20 pilnų svyravimų per 10 s. Koks periodas?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Atsakymas: 0,5 s. T = laikas / svyravimų skaičius = 10/20 = 0,5 s. 2 yra dažnis Hz (20/10), svyravimų skaičius per sekundę.

2Paprastasis harmoninis judėjimas

Spyruoklė traukia atgal jėga, proporcinga ištempimui: F = −k·x. Standumas k yra N/m. Minuso ženklas reiškia, kad jėga visada nukreipta atgal į pusiausvyrą.

Tokia grąžinamoji jėga sukelia paprastąjį harmoninį judėjimą (PHJ). Padėtis laike seka kosinuso kreivę:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

Kampinis dažnis ω (omega), rad/s, nustato, kaip greitai judėjimas kartojasi. Vienas periodas yra 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

Amplitudė periodo nekeičia. Didesnis svyravimas apima didesnį atstumą, bet ir juda greičiau.

3Spyruoklės ir švytuoklės formulės

Masei ant spyruoklės sunkesnė masė svyruoja lėčiau, o standesnė spyruoklė greičiau:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Paprastajai švytuoklei, kurios ilgis L, esant mažiems svyravimams, masė visiškai nesvarbi:

T = 2π · √(L / g)

Jei spyruoklė kabo vertikaliai, svoris ją ištempia iki naujos pusiausvyros: k·x = m·g. Pagal tai randama k iš išmatuoto ištempimo.

Greitis didžiausias pusiausvyroje ir lygus nuliui galuose. Pagreitis didžiausias galuose, kur spyruoklės jėga didžiausia:

vmax = A · ω amax = A · ω²

Visa energija išlieka ta pati: E = ½·k·A². Padėtyje x ji pasidalija kaip ½·k·x² + ½·m·v².

Savikontrolė Masę ant spyruoklės pakeičiate dvigubai sunkesne. Kas nutinka periodui?
  1. Ji padvigubėja
  2. Jis tampa 1,41 karto trumpesnis
  3. Jis tampa 4 kartus ilgesnis
  4. Jis tampa √2 ≈ 1,41 karto ilgesnis

Atsakymas: Jis tampa √2 ≈ 1,41 karto ilgesnis. T = 2π·√(m/k), taigi T auga proporcingai m kvadratinei šakniai. Padvigubinus m, T padauginamas iš √2. Sakyti, kad jis padvigubėja, reiškia pamiršti šaknį.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Viską paverskite SI vienetais: gramus į kg, centimetrus į m.
  2. Nuspręskite, kokia tai sistema: masė ant spyruoklės (naudokite k ir m) ar švytuoklė (naudokite L ir g).
  3. Jei duotas periodas ar svyravimų skaičius, pirmiausia raskite T: T = laikas / skaičius.
  4. Raskite ω pagal sistemą: ω = √(k/m) arba ω = 2π/T.
  5. Naudokite formulę tam, ko klausiama: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² arba energija ½·k·A².
  6. Patikrinkite, ar atsakymas pagrįstas: standžiai spyruoklei sekundės dalis, ilgai švytuoklei kelios sekundės.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

0,5 kg masė ant spyruoklės, kurios k = 200 N/m, patraukiama 5 cm nuo pusiausvyros ir paleidžiama. Raskite periodą T, dažnį f, didžiausią greitį vmax ir didžiausią pagreitį amax.

1

Vienetai

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Kampinis dažnis

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Periodas ir dažnis

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

Didžiausias greitis

Masė greičiausia, kai praeina pusiausvyrą.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

Didžiausias pagreitis

Pagreitis didžiausias galuose, kur masė apsisuka.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Patikrinkite atsakymą

Energijos patikrinimas: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, ir ½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Visa spyruoklės energija pusiausvyroje tampa kinetine energija.

Atsakymas

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmax = 1 m/s ir amax = 20 m/s².

6Dažnos klaidos

  • Amplitudė naudojama cm, o ne m.
  • Trupmena apverčiama: T = 2π·√(m/k), o ne √(k/m). Švytuoklei tai √(L/g).
  • Pamirštamas 2π arba painiojami ω (rad/s) ir f (Hz).
  • Manoma, kad masė keičia švytuoklės periodą arba kad amplitudė keičia bet kokį periodą.
  • Painiojami vmax = A·ω ir amax = A·ω².
Savikontrolė Masė svyruoja 10 cm amplitude ir ω = 10 rad/s. Koks jos didžiausias pagreitis?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Atsakymas: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². Naudojant A = 10 (cm) gaunama 1000. 1 m/s yra A·ω, didžiausias greitis, o ne pagreitis.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: masė ant spyruoklės. Raskite T, f arba k, kartais pagal svyravimų skaičių arba pagal tai, kiek masė ištempia kabančią spyruoklę.
  • Vidutiniai: švytuoklė. Raskite jos periodą, ilgį duotam periodui arba g kitoje planetoje. Kai kuriuose klausimuose prašoma greičio padėtyje ar duotu laiku.
  • Sunkūs: greitis, pagreitis ir energija: vmax, amax, kinetinė energija padėtyje arba amplitudė po to, kai kulka pataiko į bloką ant spyruoklės.

Greitas bet kurios švytuoklės patikrinimas: 1 m švytuoklės periodas Žemėje yra apie 2 s.

Savikontrolė Švytuoklės ilgis 2,45 m. Kai g = 9,81 m/s², koks jos periodas esant mažiems svyravimams?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Atsakymas: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. Apverstas √(g/L) duoda 12,6 s, pamiršus šaknį gaunama 1,57 s, o pamiršus 2π – 0,50 s.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
3,2 kgk = 210 N/m

3,2 kg svarelis ant 210 N/m standumo spyruoklės svyruoja ant paviršiaus be trinties. Raskite periodą T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Raskite T (s)

Rodyti užuominas
  1. Spyruoklinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo amplitudės.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Periodas

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Atsakymas

T = 0,7756 s
Pavyzdys 2Vidutinis
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

1,1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 120 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 6 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Raskite v (m/s)

Rodyti užuominas
  1. Energija tvari: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Taigi v = ω·√(A² − x²), kur ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Atsakymas

v = 0,3766 m/s
Pavyzdys 3Sunkus
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

1,7 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, atitraukiamas 11 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Raskite amax (m/s²)

Rodyti užuominas
  1. ω = √(k/m).
  2. Pagreitis didžiausias kraštiniuose taškuose: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Didžiausias pagreitis

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Atsakymas

amax = 24,59 m/s²

Klausimai ir atsakymai

Spyruoklės ir švytuoklės: kas tai?

Patraukite spyruoklės pakabintą masę į šoną ir paleiskite. Ji sukasi atgal pro vidurį, iki kitos pusės ir vėl atgal. Vaikas sūpynėse ir gitaros styga daro tą patį.

Šis pasikartojantis judėjimas yra svyravimas. Vidurio taškas, kur masė ilsėtųsi, yra pusiausvyros padėtis.

Spyruoklės ir švytuoklės: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Spyruoklės ir švytuoklės: kokios klaidos dažniausios?
  • Įtraukite 2π: T = 2π·√(m/k) ir f = 1/T.
  • Patikrinkite trupmeną po šaknimi: T = 2π·√(m/k), masė skaitiklyje.
  • Tai didžiausias greitis, esant pusiausvyros padėtyje. Taške x greitis mažesnis: v = ω·√(A² − x²).
Spyruoklės ir švytuoklės: ką lavinsite?
  • Lengvas: svarelis ant spyruoklės
  • Vidutinis: švytuoklė
  • Sunkus: greitis, pagreitis ir energija

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Niutono dėsniai

Toliau

Mechaniniai virpesiaiBangos, garsas ir optika

Skaičiuoklės

Švytuoklės ir spyruoklės periodo skaičiuoklėSpyruoklės standumo skaičiuoklė (Huko dėsnis)

Kursai su šia tema

DinamikaFizika 1: mechanikaBangos ir optikaAP Physics 1 uždaviniai

Daugiau temų: Fizika

KinematikaNiutono dėsniaiJudėjimas apskritimuJudesio kiekis ir susidūrimaiKulono dėsnis ir elektrinis laukasMagnetiniai laukai ir indukcijaBangos, garsas ir optika

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Spyruoklės ir švytuoklės su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Spyruoklės ir švytuoklėsPraktikuokitės dabar: Spyruoklės ir švytuoklėsKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.