Judėjimas apskritimu: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Judėjimas apskritimu su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: įcentrinė jėga, trintis posūkyje, vertikalus apskritimas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
r = 100 m29 m/sF = ?

1600 kg automobilis pastoviu 29 m/s greičiu važiuoja horizontaliu 100 m spindulio posūkiu. Raskite reikiamą įcentrinę jėgą Fc.

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m
N
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Judėjimas apskritimuPraktikuokitės dabar: Judėjimas apskritimuKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasįcentrinė jėga
  2. Vidutinistrintis posūkyje
  3. Sunkusvertikalus apskritimas

Pagrindinės formulės

Įcentrinis pagreitis
a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga
F = m·v²/r
Kampinis greitis
ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis
vmax = √(μ·g·r)

Išmokite Judėjimas apskritimu nuo nulio

Prieš tai: Niutono dėsniai

1Kas yra apskritiminis judėjimas

Automobilis posūkyje, akmuo ant virvelės ir palydovas aplink Žemę juda apskritimu. Net kai greitis pastovus, jų kryptis nuolat keičiasi.

Krypties pokytis yra greičio pokytis, todėl kūnas greitėja. Šis pagreitis nukreiptas į apskritimo centrą. Jis vadinamas įcentriniu pagreičiu ac.

rvac​v ⊥ rac​ = v²/r

Greitis visada nukreiptas liestine, statmenai spinduliui. Jei vidinė trauka staiga išnyktų, kūnas lėktų tiesia linija liestine, o ne į išorę.

Savikontrolė Automobilis pastoviu greičiu važiuoja žiedine sankryža. Kuria kryptimi jis greitėja?
  1. Apskritimo centro link
  2. Jis nesigreitina
  3. Pirmyn, išilgai greičio
  4. Į išorę, nuo centro

Atsakymas: Apskritimo centro link. Greitis pastovus, bet kryptis keičiasi, todėl pagreitis yra. Jis nukreiptas į centrą. „Išorinis“ pojūtis – tai jūsų kūnas, kuris stengiasi judėti tiesiai.

2Įcentrinis pagreitis ir jėga

Įcentrinis pagreitis priklauso nuo greičio v (m/s) ir spindulio r (m):

ac = v² / r

Dvigubas greitis duoda keturis kartus didesnį pagreitį. Staigesnis posūkis (mažesnis r) duoda didesnį pagreitį.

Pagal antrąjį Niutono dėsnį kažkas turi sukurti tokio dydžio jėgą į vidų:

Fc = m · v² / r

Fc nėra nauja jėga. Tai tikrųjų jėgų sukurta atstojamoji jėga į vidų: trintis lygiame posūkyje, virvelės tempimo jėga, palydovui – sunkis, o pakreiptame kelyje – normalinė reakcija.

Besisukantys kūnai dažnai aprašomi kampiniu greičiu ω, rad/s. Vienas apsisukimas yra 2π rad, todėl 60 rpm yra 2π rad/s.

ω = v / r = 2π / T ac = ω² · r
Savikontrolė Dviratininkas 10 m/s greičiu važiuoja 50 m spindulio posūkiu. Koks įcentrinis pagreitis?
  1. 0,2 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 5 m/s²
  4. 5000 m/s²

Atsakymas: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s². Nepakėlus greičio kvadratu gaunama 10/50 = 0,2 m/s².

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Greičius perskaičiuokite į m/s, spindulius į m, o rpm į rad/s.
  2. Nubraižykite kūną nagrinėjamame taške ir pažymėkite centro kryptį.
  3. Nubraižykite tikrąsias jėgas: svorį, normalinę reakciją, trintį, tempimo jėgą.
  4. „Link centro“ laikykite teigiama kryptimi ir sudėkite jėgų dedamąsias ta kryptimi.
  5. Šią atstojamąją jėgą į vidų prilyginkite m·v²/r ir išspręskite.

Lygiame posūkyje vidinę jėgą sukuria vien trintis. Didžiausias greitis, prieš pradedant slysti, gaunamas iš μ·m·g = m·v²/r. Masė suprastėja:

vmax = √(μ · g · r)

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Automobilis važiuoja lygiu 40 m spindulio posūkiu. Statinės trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Naudokite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas.

1

Kuri jėga nukreipta į vidų?

Lygiame kelyje sunkis ir normalinė reakcija yra vertikalios. Į šoną, posūkio centro link, veikia tik trintis.

2

Didžiausia trinties jėga

Lygiame kelyje N = m·g, todėl trintis gali būti ne didesnė nei:

Ff,max = μ · m · g
3

Prilyginkite įcentrinei jėgai

μ · m · g = m · v² / r

Masė m yra abiejose pusėse ir suprastėja, todėl atsakymas toks pat mažam automobiliui ir sunkvežimiui.

4

Išspręskite greičiui

v² = μ · g · r = 0,5 · 9,81 · 40 = 196,2 m²/s²
vmax = √196,2 ≈ 14,0 m/s
5

Patikrinkite atsakymą

14,0 m/s × 3,6 ≈ 50 km/h. Tai protingas didžiausias greitis 40 m spindulio staigiam posūkiui. Slidus kelias (mažesnis μ) duotų mažesnį greitį.

Atsakymas

vmax ≈ 14,0 m/s, apie 50 km/h.

5Vertikalūs apskritimai

Vertikaliame apskritime svoris kartais nukreiptas į centrą, kartais – nuo jo. Nagrinėkite viršų ir apačią atskirai.

Tm·gTm·gT + m·g = m·v²/rT − m·g = m·v²/r
  • Viršuje tempimo jėga (arba normalinė reakcija) ir svoris nukreipti žemyn, centro link.
  • Apačioje tempimo jėga nukreipta aukštyn, į centrą, bet svoris nukreiptas nuo jo. Virvelė turi išlaikyti svorį ir sukurti įcentrinę jėgą.

Viršuje virvelė vos išlieka įsitempusi, kai T = 0. Tada vidinę jėgą sukuria vien svoris: m·g = m·v²/r, todėl vmin = √(g·r).

Jei žinote greitį viename taške ir jo reikia kitame, naudokite energiją: pakilimas 2r kainuoja 2·g·r v²/2 vienam kilogramui, todėl vtop² = vbottom² − 4·g·r.

6Dažnos klaidos

  • Įcentrinė jėga braižoma kaip papildoma jėga šalia trinties ar tempimo jėgos. Ji yra tikrųjų jėgų suma.
  • Pamirštama pakelti greitį kvadratu v²/r.
  • Tiesiogiai naudojami km/h ar rpm. Pirmiausia perskaičiuokite į m/s arba rad/s.
  • Neteisingas svorio ženklas vertikaliame apskritime: viršuje jis padeda, o apačioje veikia prieš virvelę.
  • Manoma, kad kūną veikia jėga į išorę. Žemės atskaitos sistemoje tokios jėgos nėra.
Savikontrolė 0,5 kg rutulys ant 1 m virvelės žemiausiame vertikalaus apskritimo taške juda 4 m/s greičiu. Kai g = 9,81 m/s², kokia ten virvelės tempimo jėga?
  1. 12,9 N
  2. 3,1 N
  3. 4,9 N
  4. 8 N

Atsakymas: 12,9 N. Apačioje T − m·g = m·v²/r, todėl T = 0,5 · 9,81 + 0,5 · 16/1 = 4,9 + 8 = 12,9 N. 8 N pamiršta svorį. 3,1 N svorį atima, o ne prideda.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: įcentrinė jėga. Raskite ac arba Fc automobiliui posūkyje, akmeniui ant virvelės ar taškui besisukančiame diske.
  • Vidutiniai: trintis posūkyje ir panašūs atvejai: didžiausias greitis lygiame posūkyje, pakreiptas posūkis, kelio kupra, kūginė švytuoklė ar atrakciono rotorius.
  • Sunkūs: vertikalus apskritimas. Tempimo jėga viršuje ar apačioje, mažiausias greitis viršuje arba „mirties kilpa“ taikant energijos tvermę.

Kiekvienu atveju pirmiausia klauskite: kuri tikroji jėga ar kuris jų derinys nukreiptas į centrą?

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
r = 110 m14 m/sF = ?

1700 kg automobilis pastoviu 14 m/s greičiu važiuoja horizontaliu 110 m spindulio posūkiu. Raskite reikiamą įcentrinę jėgą Fc.

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

Raskite Fc (N)

Rodyti užuominas
  1. Judėjimas apskritimu pastovaus didumo greičiu vis tiek reiškia pagreitį, nukreiptą į centrą.
  2. a = v²/r ir F = m·a.
  3. v² = 196 m²/s².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Įcentrinis pagreitis

ac = v²/r = 14²/110 = 1,782 m/s²

Įcentrinė jėga

Fc = m·a = 1700·1,782 = 3029 N

Atsakymas

Fc = 3029 N
Pavyzdys 2Vidutinis
r = 50 mvmax​ = ?

Automobilis važiuoja horizontaliu 50 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 50 mμs = 0,3g = 9,81 m/s²

Raskite vmax (m/s)

Rodyti užuominas
  1. Trintis – vienintelė į centrą nukreipta jėga, ir ji negali viršyti μ·m·g.
  2. Prilyginkite m·v²/r = μ·m·g. Masė susiprastina.
  3. v = √(μ·g·r).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·50) = 12,13 m/s

Atsakymas

vmax = 12,13 m/s (43,67 km/h)
Pavyzdys 3Sunkus
R = 3,5 mh = 11,9 m

1 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 11,9 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 3,5 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą Nbottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 1 kgh = 11,9 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

Raskite Nbottom (N)

Rodyti užuominas
  1. Energija: apačioje v² = 2g·h.
  2. Apačioje: N − m·g = m·v²/R.
  3. v² = 233,5 m²/s².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·11,9 = 233,5 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 1·233,5/3,5 + 9,81 = 76,52 N

Atsakymas

Nbottom = 76,52 N

Klausimai ir atsakymai

Judėjimas apskritimu: kas tai?

Automobilis posūkyje, akmuo ant virvelės ir palydovas aplink Žemę juda apskritimu. Net kai greitis pastovus, jų kryptis nuolat keičiasi.

Krypties pokytis yra greičio pokytis, todėl kūnas greitėja. Šis pagreitis nukreiptas į apskritimo centrą. Jis vadinamas įcentriniu pagreičiu ac.

Judėjimas apskritimu: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Judėjimas apskritimu: kokios klaidos dažniausios?
  • Greitį pakelkite kvadratu: a = v²/r.
  • Tai v². Ištraukite kvadratinę šaknį: v = √(μ·g·r).
  • Greitį pateikite m/s, o ne km/h.
Judėjimas apskritimu: ką lavinsite?
  • Lengvas: įcentrinė jėga
  • Vidutinis: trintis posūkyje
  • Sunkus: vertikalus apskritimas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Niutono dėsniai

Toliau

Magnetiniai laukai ir indukcija

Skaičiuoklės

Įcentrinės jėgos skaičiuoklė

Kursai su šia tema

DinamikaFizika 1: mechanikaAP Physics 1 uždaviniai

Daugiau temų: Fizika

KinematikaNiutono dėsniaiJudesio kiekis ir susidūrimaiSpyruoklės ir švytuoklėsKulono dėsnis ir elektrinis laukasMagnetiniai laukai ir indukcijaBangos, garsas ir optika

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Judėjimas apskritimu su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Judėjimas apskritimuPraktikuokitės dabar: Judėjimas apskritimuKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.