Mechaniniai virpesiai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Mechaniniai virpesiai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: savasis dažnis, slopinimo koeficientas, nuosekliai ir lygiagrečiai sujungtos spyruoklės.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Mašina stovi ant spyruoklinių atramų, kurios nuo jos svorio susispaudžia 15 mm. Laikykite ją neslopinama vieno laisvės laipsnio sistema ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Pakabinkite masę ant spyruoklės, patraukite šiek tiek žemyn ir paleiskite. Ji šokinėja aukštyn ir žemyn aplink ramybės padėtį. Tas pasikartojantis judėjimas yra vibracija.
Kiekviena tokia sistema turi savo mėgstamą ritmą, laisvųjų virpesių dažnį. Jis priklauso tik nuo spyruoklės standumo ir masės sunkumo, o ne nuo to, kiek patraukėte.
Inžinieriams tai svarbu, nes mašina, purtoma savo laisvųjų virpesių dažniu, gali smarkiai vibruoti. Tai vadinama rezonansu. Variklių atramos, skalbimo mašinos ir tiltai visi projektuojami atsižvelgiant į jį.
Standesnė spyruoklė vibraciją pagreitina. Sunkesnė masė ją sulėtina.
Savikontrolė Masę ant spyruoklės pakeičiate keturis kartus sunkesne. Kas nutinka laisvųjų virpesių dažniui?
Ji padvigubėja
Ji sumažėja perpus
Jis tampa keturis kartus mažesnis
Jos lieka tokios pačios
Atsakymas: Ji sumažėja perpus. Dažnis priklauso nuo √(k/m). Keturis kartus didesnė masė kvadratinę šaknį padalija iš √4 = 2, taigi dažnis sumažėja perpus.
2Laisvųjų virpesių dažnis ir spyruoklių deriniai
Masei m (kg) ant spyruoklės, kurios standumas k (N/m), laisvųjų virpesių kampinis dažnis rad/s yra:
ωn = √(k / m)
Vienas pilnas ciklas yra 2π radianų. Taigi laisvųjų virpesių dažnis hercais (ciklai per sekundę) ir periodas (sekundės per ciklą) yra:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Kartais žinote tik tai, kiek spyruoklė įlinksta po svoriu, statinį įlinkį δst = m·g/k. Tada ωn = √(g / δst), kai δst metrais.
Kai yra kelios spyruoklės, pirmiausia pakeiskite jas viena ekvivalentine spyruokle:
Greta (lygiagrečiai) spyruoklės dalijasi apkrovą, o standumai susideda.
Viena po kitos (nuosekliai) kiekviena spyruoklė neša visą apkrovą, o ekvivalentinė spyruoklė yra minkštesnė už bet kurią iš jų.
Savikontrolė Dvi 10 kN/m spyruoklės sujungtos viena po kitos (nuosekliai). Koks ekvivalentinis standumas?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Atsakymas: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, taigi k = 5 kN/m. Sudėjimas iki 20 kN/m yra lygiagrečių spyruoklių taisyklė.
3Slopinimas
Tikros vibracijos užgęsta. Slopintuvas (stūmoklis, judantis per alyvą, kaip automobilio amortizatorius) pašalina energiją. Jo stiprumas yra slopinimo koeficientas c N·s/m.
Kritinis slopinimas yra slopinimo kiekis, kuris vos sustabdo masės šokinėjimą:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Slopinimo santykis lygina tikrąjį slopinimą su ta kritine reikšme:
ζ = c / cc
ζ < 1: nepakankamai slopinama. Masė vis dar vibruoja, bet svyravimai mažėja.
ζ = 1: kritiškai slopinama. Ji grįžta į ramybę kuo greičiau be persvyravimo.
ζ > 1: pernelyg slopinama. Ji lėtai ropščiasi atgal nevibruodama.
Nepakankamai slopinama sistema vibruoja šiek tiek lėčiau nei neslopinama, slopinamų virpesių dažniu:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Savikontrolė 10 kg masė stovi ant 1000 N/m spyruoklės su slopintuvu, kurio c = 50 N·s/m. Koks slopinimo santykis?
0,25
0,5
2,5
4
Atsakymas: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, taigi ζ = 50/200 = 0,25. Pamiršus daugiklį 2 gaunama 0,5, o dalijant atvirkščiai – 4.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Viską paverskite SI vienetais: kN/m į N/m (× 1000), mm į m, gramus į kg.
Jei yra kelios spyruoklės, sujunkite jas į vieną k: lygiagrečiai sudėkite, nuosekliai sudėkite jų atvirkštinius dydžius.
Raskite ωn = √(k/m) rad/s.
Jei klausiama hercų, dalykite iš 2π: fn = ωn/(2π). Periodui imkite T = 1/fn.
Esant slopinimui, raskite cc = 2·√(k·m), tada ζ = c/cc ir, jei klausiama, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Laikykite ω (rad/s) ir f (Hz) atskirai. Jie skiriasi 2π ≈ 6,28 karto, ir jų painiojimas yra dažniausias būdas prarasti taškus.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
50 kg masė kabo ant 20 kN/m standumo spyruoklės. Nepaisykite slopinimo. Raskite laisvųjų virpesių dažnį fn Hz ir virpesių periodą.
1
Nubraižykite ir perskaičiuokite
Standumas turi būti N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Masė jau kg.
2
Savasis kampinis dažnis
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Paverskite hercais
Padalykite iš 2π, kad gautumėte pilnus ciklus per sekundę:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Periodas
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
Masė per sekundę padaro kiek daugiau nei tris pilnus ciklus aukštyn ir žemyn.
5
Patikrinkite atsakymą
Statinis įlinkis yra δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Tie patys 20 rad/s, rasti kitu būdu. Atsakymas teisingas.
6
Toliau: pridėkite slopintuvą
Su slopintuvu c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, taigi ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Atsakymas
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), o periodas yra T ≈ 0,314 s.
6Dažnos klaidos
ωn pateikiamas rad/s, kai klausiama fn Hz, arba atvirkščiai.
Standumas paliekamas kN/m. Formulei reikia N/m.
Spyruoklės nuosekliai sudedamos taip, tarsi būtų lygiagrečios.
Pamirštamas 2 formulėje cc = 2·√(k·m).
ωn = √(k/m) naudojamas svoris m·g vietoj masės m.
Savikontrolė 4 kg masė kabo ant 400 N/m spyruoklės. Koks jos laisvųjų virpesių dažnis Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Atsakymas: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, o fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Sustojus ties 10 gaunama rad/s, o ne Hz; dauginant iš 2π gaunama 62,8; naudojant 0,4 (kN/m) gaunama 0,05 Hz.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: laisvųjų virpesių dažnis. Masė ant spyruoklės: raskite ωn rad/s arba fn Hz. Kai kuriuose klausimuose duotas tik mašinos ant atramų statinis įlinkis.
Vidutiniai: slopinimo santykis. Raskite ζ pagal m, k ir c arba slopinamų virpesių dažnį fd pagal duotą ζ. Kiti pateikia dvi viršūnes iš laisvųjų virpesių bandymo.
Sunkūs: spyruoklės nuosekliai ir lygiagrečiai, kartais abu (dvi greta esančios spyruoklės laiko strypą, o trečia spyruoklė po juo). Pirmiausia raskite keq, tada fn.
Dviem viršūnėms x0 ir xn, nutolusioms n ciklų, naudokite logaritminį dekrementą:
40 kg masė kabo ant spyruoklės, kurios standumas 15 kN/m. Slopinimo nepaisykite. Raskite savąjį dažnį fn Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Raskite fn(Hz)
Rodyti užuominas
Skaičiuokite SI vienetais: k N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Savasis kampinis dažnis
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
Hercais
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Atsakymas
fn = 3,082 Hz
Pavyzdys 2Vidutinis
10 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 50 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Raskite fd(Hz)
Rodyti užuominas
Pirmiausia raskite neslopinamų virpesių savąjį dažnį.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Neslopinamų virpesių savasis dažnis
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Slopinamųjų virpesių savasis dažnis
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Atsakymas
fd = 10,31 Hz
Pavyzdys 3Sunkus
5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 80 kN/m, apatinės k₂ = 20 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą keq kN/m.
Pakabinkite masę ant spyruoklės, patraukite šiek tiek žemyn ir paleiskite. Ji šokinėja aukštyn ir žemyn aplink ramybės padėtį. Tas pasikartojantis judėjimas yra vibracija.
Kiekviena tokia sistema turi savo mėgstamą ritmą, laisvųjų virpesių dažnį. Jis priklauso tik nuo spyruoklės standumo ir masės sunkumo, o ne nuo to, kiek patraukėte.
Mechaniniai virpesiai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Mechaniniai virpesiai: kokios klaidos dažniausios?
Tai ωn rad/s. Padalykite iš 2π, kad gautumėte dažnį hercais.
Prieš naudodami ωn = √(k/m), kN/m perskaičiuokite į N/m (padauginkite iš 1000).
Kad gautumėte Hz, ωn padalykite iš 2π, o ne dauginkite.
Mechaniniai virpesiai: ką lavinsite?
Lengvas: savasis dažnis
Vidutinis: slopinimo koeficientas
Sunkus: nuosekliai ir lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.