Tolydumas ir Bernulis: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Tolydumas ir Bernulis su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: tolydumas, horizontalus susiaurėjimas, kylantis vamzdis.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Vanduo 0,75 m/s greičiu teka plačiąja vamzdžio dalimi, kurios skersmuo 75 mm. Raskite tūrinį debitą Q.
Uždėkite nykštį ant sodo žarnos galo ir vanduo ištrūks greičiau. Tiek pat vandens turi praeiti per mažesnę angą, todėl jis turi judėti greičiau.
Ši idėja vadinama tolydumu: pilname vamzdyje vanduo negali nei kauptis, nei išnykti. Kiek vandens kiekvieną sekundę įteka, tiek ir turi ištekėti.
Antroji idėja, Bernulio lygtis, sieja greitį, slėgį ir aukštį. Kur vanduo pagreitėja, jo slėgis krinta. Kur jis kyla, jo slėgis irgi krinta.
Kartu šios dvi idėjos leidžia nuspėti greitį ir slėgį bet kurioje vamzdžio vietoje. Šioje temoje skystis yra nespūdus (kaip vanduo), o trinties nuostoliai ignoruojami.
Savikontrolė Vanduo teka vamzdžiu, kuris siaurėja. Kas nutinka jo greičiui siaurojoje dalyje?
Didėja
Jos lieka tokios pačios
Mažėja
Vanduo sustoja
Atsakymas: Didėja. Tas pats tūris per sekundę turi praeiti pro mažesnį plotą, todėl vanduo turi judėti greičiau.
2Debitas ir tolydumas
Tūrinis debitasQ – tai skysčio tūris, praeinantis per sekundę, m³/s. Vienas litras per sekundę (L/s) yra 0,001 m³/s.
Skysčiui, judančiam vidutiniu greičiu v per skerspjūvį, kurio plotas A:
Q = A · v A = π · d² / 4
Masės debitas yra ṁ = ρ · Q, kg/s, kur ρ yra tankis (vandens 1000 kg/m³).
Tolydumas sako, kad Q yra tas pats kiekvienoje vamzdžio atkarpoje:
A1 · v1 = A2 · v2
Apvaliuose vamzdžiuose π/4 sutrumpėja, todėl v2 = v1 · (d1 / d2)². Perpus sumažinus skersmenį, vanduo juda keturis kartus greičiau.
Savikontrolė Vamzdis susiaurėja nuo 80 mm iki 40 mm. Plačiojoje dalyje vanduo juda 1 m/s greičiu. Kokiu greičiu jis juda siaurojoje dalyje?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Atsakymas: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Plotas priklauso nuo skersmens kvadrato. Naudojant skersmenų santykį be kvadrato gaunama 2 m/s.
3Bernulio lygtis
Palei srovės liniją be nuostolių energija kiekvienam skysčio kubiniam metrui išlieka ta pati. Ją sudaro trys dalys: slėgis, judėjimas ir aukštis.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: slėgis, Pa.
½ρv²: kinetinė energija kiekvienam m³, taip pat Pa.
ρgz: aukščio energija kiekvienam m³, kur z yra aukštis virš bet kurio jūsų pasirinkto atskaitos lygio.
Taigi, jei viena dalis didėja, kita turi mažėti. Greitesnio vandens slėgis mažesnis. Aukščiau esančio vandens slėgis mažesnis.
Naudingas ypatingas atvejis – bakas, iš kurio vanduo ištuštėja pro mažą skylę, esančią h gylyje po atviru paviršiumi. Paviršius vos juda, ir abu taškai yra atmosferos slėgyje, todėl gaunamas Toričelio dėsnis:
v = √(2gh)
Savikontrolė Atviras vandens bakas ištuštėja pro mažą skylę 5 m žemiau vandens paviršiaus. Nepaisant nuostolių, kokiu greičiu srovė išsiveržia iš skylės? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Atsakymas: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Pamiršus 2 gaunama 7,00 m/s, o pamiršus kvadratinę šaknį – 98,1.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Nubraižykite vamzdį ir sunumeruokite dvi atkarpas: 1 – kur žinote daugiausia, 2 – kur yra nežinomasis.
Perskaičiuokite vienetus: mm į m, kPa į Pa, L/s į m³/s.
Raskite plotus A = π·d²/4 ir pagal tolydumą apskaičiuokite trūkstamą greitį.
Užrašykite Bernulio lygtį tarp 1 ir 2 atkarpų. Horizontaliam vamzdžiui z1 = z2, todėl aukščio nariai sutrumpėja.
Išspręskite nežinomąjį, tada prireikus vėl perskaičiuokite į kPa.
Išlaikykite nuoseklius vienetus. Kai ρ yra kg/m³, o v – m/s, narys ½ρv² išeina Pa, o ne kPa.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka horizontaliu vamzdžiu, kuris susiaurėja nuo 100 mm iki 50 mm. Plačiojoje dalyje slėgis yra 200 kPa, o greitis 1,5 m/s. Nepaisydami nuostolių, raskite slėgį siaurojoje dalyje.
1
Nubraižykite vamzdį
1 atkarpa yra plačioji dalis, kurioje viskas žinoma. 2 atkarpa yra siaurioji dalis.
2
Greitis siaurojoje dalyje
Skersmuo sumažėja perpus, todėl greitis padidėja (100/50)² = 4 kartus:
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Užrašykite Bernulio lygtį
Vamzdis horizontalus, todėl aukščio nariai sutrumpėja:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Įrašykite skaičius paskaliais
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Patikrinkite atsakymą
Siaurojoje dalyje vanduo greitesnis, todėl jo slėgis turi būti mažesnis. 183,1 kPa yra mažiau nei 200 kPa, kaip ir tikėtasi.
Naudojamas skersmenų santykis vietoj plotų santykio: greičiai keičiasi proporcingai skersmens kvadratui.
Spindulys naudojamas taip, tarsi jis būtų skersmuo, formulėje A = π·d²/4, arba pamirštama /4.
kPa ir Pa painiojimas. Bernulio lygtyje dirbkite paskaliais, o pabaigoje perskaičiuokite.
m³/s pateikiami kaip L/s. Norėdami gauti L/s, m³/s padauginkite iš 1000.
Pamirštamas aukščio narys ρ·g·Δz, kai vamzdis kyla ar leidžiasi.
Savikontrolė Vanduo teka 2 m/s greičiu vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Koks tūrinis debitas?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Atsakymas: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², taigi Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Pamiršus /4 gaunama 62,8, o pamiršus π/4 – 20.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvas: tolydumas. Raskite debitą, masės debitą, greitį siauresnėje atkarpoje arba vamzdžio skersmenį, reikalingą duotam debitui. Kai kuriuose klausimuose taikomas Toričelio dėsnis tuštėjančiam bakui.
Vidutinis: horizontalus perėjimas. Raskite slėgį vienoje atkarpoje pagal kitą. Variantuose naudojamas Venturi matuoklis, Pito vamzdelis (v = √(2Δp/ρ)) arba diafragma su debito koeficientu.
Sunkus: kylantis vamzdis. Svarbus aukščio narys: kiekvienas pakilimo metras sumažina slėgį ρ·g·1 = 9,81 kPa vandeniui. Variantuose pasitaiko sifonas, slėginis bakas ir fontanas.
Aukščiau pateiktame pavyzdyje 5 m pakilimas tarp atkarpų sumažintų p2 dar 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, iki 134,1 kPa.
Vanduo teka vamzdžiu, kurio skersmuo siaurėja nuo 100 mm iki 50 mm. Plačiojoje dalyje greitis yra 2,75 m/s. Raskite greitį v2 siaurojoje dalyje.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Raskite v2(m/s)
Rodyti užuominas
Kiekvieną sekundę per kiekvieną pjūvį prateka tas pats vandens tūris: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, o plotas proporcingas d², todėl v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Tolydumas ir Bernulis: nespūdžiam skysčiui debitas visuose pjūviuose vienodas, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Išilgai srovės linijos be nuostolių p + ½ρv² + ρgz yra pastovus, todėl ten, kur skystis greitesnis ar aukščiau, slėgis mažesnis.
Tolydumas
Debitas abiejuose pjūviuose vienodas.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Atsakymas
v2 = 11 m/s
Pavyzdys 2Vidutinis
Vanduo teka horizontaliu vamzdžiu, kuris siaurėja nuo 150 mm iki 50 mm. Plačiojoje dalyje slėgis yra 250 kPa, o greitis 0,5 m/s. Nepaisydami nuostolių, raskite slėgį p2 siaurojoje dalyje.
Tolydumas ir Bernulis: nespūdžiam skysčiui debitas visuose pjūviuose vienodas, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Išilgai srovės linijos be nuostolių p + ½ρv² + ρgz yra pastovus, todėl ten, kur skystis greitesnis ar aukščiau, slėgis mažesnis.
Tolydumas ir Bernulis
Skaičiuokite Pa, tada padalykite iš 1000, kad gautumėte kPa.
Uždarame vandens rezervuare virš vandens yra suslėgtas oras, kurio manometrinis slėgis 190 kPa. Vanduo išteka į atvirą orą per 25 mm skersmens angą, esančią 4 m žemiau vandens paviršiaus. Nepaisydami nuostolių, raskite debitą Q. Imkite g = 9,81 m/s².
Bernulio lygtis nuo vandens paviršiaus (manometrinis slėgis p, rimties būsena) iki čiurkšlės (atmosferos slėgis).
p/ρ + gh = ½v², todėl v = √(2(p/ρ + gh)), kai p paskaliais.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Uždėkite nykštį ant sodo žarnos galo ir vanduo ištrūks greičiau. Tiek pat vandens turi praeiti per mažesnę angą, todėl jis turi judėti greičiau.
Ši idėja vadinama tolydumu: pilname vamzdyje vanduo negali nei kauptis, nei išnykti. Kiek vandens kiekvieną sekundę įteka, tiek ir turi ištekėti.
Tolydumas ir Bernulis: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Tolydumas ir Bernulis: nespūdžiam skysčiui debitas visuose pjūviuose vienodas, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Išilgai srovės linijos be nuostolių p + ½ρv² + ρgz yra pastovus, todėl ten, kur skystis greitesnis ar aukščiau, slėgis mažesnis.
Tolydumas ir Bernulis: kokios klaidos dažniausios?
Oro slėgis taip pat stumia vandenį lauk: įtraukite p/ρ į Bernulio lygtį.
Vandens aukštis taip pat didina greitį: v = √(2(p/ρ + gh)).
Tolydumas ir Bernulis: ką lavinsite?
Lengvas: tolydumas
Vidutinis: horizontalus susiaurėjimas
Sunkus: kylantis vamzdis
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.