Sviedinio judėjimas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Sviedinio judėjimas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: horizontalus metimas, metimas nuo žemės, metimas iš aukščio.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Akmuo horizontaliai išmetamas nuo 20 m aukščio sienos viršaus ir nukrinta 22 m atstumu nuo sienos papėdės. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite išmetimo greitį v0.
Sviedinys yra objektas, skrendantis oru, kurį veikia tik sunkis. Spirtas kamuolys, nuo tilto mestas akmuo ir vanduo iš žarnos yra sviediniai.
Šioje temoje oro pasipriešinimo nepaisoma. Tada trajektorija visada yra glotni kreivė, vadinama parabole.
Pagrindinė idėja: judėjimas skyla į dvi atskiras dalis. Į šoną niekas objekto nestumia ir nelėtina. Aukštyn ir žemyn sunkis traukia jį g = 9,81 m/s² pagreičiu.
Taigi horizontalus greitis visą laiką išlieka toks pat, o vertikalus greitis kinta kiekvieną sekundę. Šios dvi dalys dalijasi tik vienu dalyku: laiku.
Savikontrolė Kamuolys skrenda oru be oro pasipriešinimo. Kuris dydis skrydžio metu išlieka pastovus?
Aukštis
Horizontalusis greitis
Vertikalusis greitis
Visas greitis
Atsakymas: Horizontalusis greitis. Į šoną jokia jėga neveikia, todėl horizontalusis greitis niekada nekinta. Sunkis keičia vertikalųjį greitį, o kartu ir visą greitį bei aukštį.
2Du judėjimai, vienas laikrodis
Koordinačių pradžią dėkite paleidimo taške, su x horizontaliai ir y vertikaliai (aukštyn teigiama). Po laiko t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Čia h yra paleidimo aukštis virš žemės, vx yra horizontalusis greitis, o vy yra pradinis vertikalusis greitis.
Kamuolys atsitrenkia į žemę, kai y = 0. Išsprendžiate vertikalią lygtį tam laikui, tada tą patį laiką įrašote į horizontalią lygtį.
Horizontaliam paleidimuivy = 0. Vertikali lygtis tampa h = ½ · g · t², todėl kritimo laikas yra:
t = √(2h / g)
Šis kritimo laikas visai nepriklauso nuo horizontaliojo greičio.
Savikontrolė Nuo to paties stalo kamuolys A nurieda per kraštą 1 m/s greičiu, o kamuolys B – 3 m/s. Kuris nukris pirmas?
Jie nukris tuo pačiu metu
Kamuolys A
Kamuolys B
Priklauso nuo jų masių
Atsakymas: Jie nukris tuo pačiu metu. Abu pradeda su nuliniu vertikaliuoju greičiu ir krenta tą patį aukštį, todėl t = √(2h/g) yra tas pats. Kamuolys B tik nukrinta toliau.
3Paleidimas kampu
Kai kamuolys paleidžiamas greičiu v0 kampu θ virš horizonto, pirmiausia greitį išskaidykite į dvi dalis, dedamąsias:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Nuo lygios žemės kamuolys kyla, kol jo vertikalusis greitis tampa nulis, tada krinta atgal. Kilimas ir kritimas trunka vienodai. Tai duoda tris naudingus rezultatus:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
Nuotolio formulė R galioja tik tada, kai kamuolys nusileidžia tame pačiame aukštyje, iš kurio buvo paleistas.
Savikontrolė Kamuolys paleidžiamas 20 m/s greičiu 30° kampu virš horizonto. Kokios jo greičio dedamosios?
vx = 10 m/s ir vy = 10 m/s
vx = 10 m/s ir vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s ir vy = 10 m/s
vx = 20 m/s ir vy = 20 m/s
Atsakymas: vx = 17,3 m/s ir vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s ir vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Sukeitus jas, horizontaliajai daliai naudojamas sin, o tai klasikinė painiava.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Nubraižykite trajektoriją. Pažymėkite paleidimo aukštį h, paleidimo greitį v0, kampą θ ir tai, ką reikia rasti.
Paleidimo greitį išskaidykite į dedamąsias: vx = v0 · cos θ ir vy = v0 · sin θ. Horizontaliam paleidimui vy = 0.
Skrydžio laikui rasti naudokite vertikalųjį judėjimą: lygtyje y = h + vy·t − ½·g·t² padėkite y = 0 ir išspręskite t.
Tą laiką naudokite horizontaliame judėjime: x = vx · t.
Greičiui bet kuriuo momentu sujunkite dedamąsias: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Patikrinkite, ar skaičiuotuvas nustatytas laipsniams, prieš imdami sin ar cos kampo, pateikto laipsniais.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Kamuolys metamas horizontaliai 12 m/s greičiu nuo 45 m skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir naudokite g = 9,81 m/s². Kokiu atstumu nuo skardžio pagrindo jis nukris?
1
Nubraižykite situaciją
Paleidimas horizontalus, todėl vx = 12 m/s ir vy = 0. Kamuolys turi nukristi h = 45 m.
2
Raskite skrydžio laiką
Vertikalusis judėjimas yra kritimas iš ramybės per 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Naudokite laiką į šoną
Per tuos 3,03 s kamuolys toliau juda į šoną 12 m/s greičiu:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Patikrinkite atsakymą
Grąžinkite laiką į vertikalųjį judėjimą: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. Tai tiksliai skardžio aukštis, taigi laikas teisingas.
Maždaug 36 m atstumas 12 m/s metimui per 3 s taip pat yra pagrįstas dydis.
5
Einame toliau: smūgio greitis
Prieš pat nusileidžiant vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s žemyn, o vx vis dar 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Atsakymas
Kamuolys nukrinta x ≈ 36,3 m nuo skardžio pagrindo po 3,03 s.
6Dažnos klaidos
Naudojamas visas greitis v0, kur reikia dedamosios. Skrydžio laikas gaunamas tik iš vy, nuotolis – tik iš vx.
Painiojami sin ir cos. Horizontalioji dedamoji eina su cos θ, kai θ matuojamas nuo horizontalės.
Skaičiuotuvas nustatytas radianams, o kampas duotas laipsniais.
Naudojama R = v0² · sin 2θ / g, kai kamuolys nusileidžia žemiau ar aukščiau nei buvo paleistas. Tada reikia spręsti vertikaliąją lygtį.
Horizontaliam judėjimui priskiriamas pagreitis. Į šoną greitis pastovus.
Savikontrolė Kamuolys spiriamas nuo lygios žemės 20 m/s greičiu 30° kampu virš horizonto. Kiek laiko jis būna ore? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Atsakymas: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, todėl t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Naudojant visą 20 m/s gaunama 4,08 s, o 1,02 s yra tik laikas iki aukščiausio taško.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: horizontalus paleidimas nuo skardžio ar sienos. Raskite skrydžio laiką, nusileidimo atstumą, paleidimo greitį iš duoto nusileidimo atstumo arba smūgio greitį. Kai kurie lengvi klausimai prašo laiko iki aukščiausio paleidimo nuo žemės taško.
Vidutiniai: paleidimas nuo lygios žemės kampu. Raskite skrydžio laiką, didžiausią aukštį ar nuotolį. Variantai prašo paleidimo greičio ar kampo, duodančio tam tikrą nuotolį, arba aukščio, kuriame kamuolys praskrenda sieną.
Sunkūs: paleidimas kampu nuo skardžio viršaus arba nusileidimas ant stogo. Padėjus y = 0 (arba stogo aukštį) gaunama kvadratinė lygtis t atžvilgiu: imkite teigiamą šaknį.
Sunkiu atveju nusileidimo kampas žemiau horizonto gaunamas iš galutinių dedamųjų: tan α = |vy − g·t| / vx.
Kamuolys metamas horizontaliai nuo 55 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Raskite x(m)
Rodyti užuominas
Horizontalųjį ir vertikalųjį judėjimą nagrinėkite atskirai. Juos sieja tik laikas t.
Kamuolys nusileidžia, kai jo aukštis y(t) tampa 0. Užrašykite y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, o skrydis trunka 3,349 s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Išskaidykite pradinį greitį
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Skrydžio laikas
Išspręskite y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Horizontalus atstumas
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Atsakymas
x = 33,49 m
Pavyzdys 2Vidutinis
Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Raskite t(s)
Rodyti užuominas
Horizontalųjį ir vertikalųjį judėjimą nagrinėkite atskirai. Juos sieja tik laikas t.
Dėl simetrijos kilimo laikas lygus kritimo laikui.
vy = 22,52 m/s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Išskaidykite pradinį greitį
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Skrydžio laikas
Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Atsakymas
t = 4,591 s
Pavyzdys 3Sunkus
Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo 55 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Raskite t(s)
Rodyti užuominas
Horizontalųjį ir vertikalųjį judėjimą nagrinėkite atskirai. Juos sieja tik laikas t.
Kamuolys nusileidžia, kai jo aukštis y(t) tampa 0. Užrašykite y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Išskaidykite pradinį greitį
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Skrydžio laikas
Išspręskite y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Atsakymas
t = 5,06 s
Klausimai ir atsakymai
Sviedinio judėjimas: kas tai?
Šioje temoje oro pasipriešinimo nepaisoma. Tada trajektorija visada yra glotni kreivė, vadinama parabole.
Pagrindinė idėja: judėjimas skyla į dvi atskiras dalis. Į šoną niekas objekto nestumia ir nelėtina. Aukštyn ir žemyn sunkis traukia jį g = 9,81 m/s² pagreičiu.
Sviedinio judėjimas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: vx = v₀·cos θ ir vy = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.
Sviedinio judėjimas: kokios klaidos dažniausios?
Naudojamas v₀ vietoj dedamosios.
Skaičiuotuvas nustatytas radianais, nors kampas duotas laipsniais.
Naudojama nuotolio formulė v₀²·sin 2θ/g, kai paleidimo ir nusileidimo aukščiai skiriasi.
Sviedinio judėjimas: ką lavinsite?
Lengvas: horizontalus metimas
Vidutinis: metimas nuo žemės
Sunkus: metimas iš aukščio
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.