Išmokite Standžiojo kūno sukimasis nuo nulio
Prieš tai: Niutono dėsniai, Darbas ir energija
1Kas yra standaus kūno sukimasis
Standusis kūnas yra objektas, išlaikantis savo formą: smagratis, skriemulys, durys ar riedantis ratas. Šioje temoje kūnas sukasi apie ašį.
Kiekvienas kūno taškas per tą patį laiką pasisuka tuo pačiu kampu. Todėl judėjimą aprašote kampiniais dydžiais, o ne atstumais:
- θ: pasisukimo kampas radianais (rad). Vienas apsisukimas yra 2π rad.
- ω: kampinis greitis, rad/s.
- α: kampinis pagreitis, rad/s².
Mašinos greičius nurodo apsisukimais per minutę (rpm). Prieš skaičiuodami juos perskaičiuokite:
ω = 2π·n / 60
Taškas atstumu r nuo ašies juda greičiu v = ω·r ir turi pagreitį a = α·r išilgai savo trajektorijos.
Viskas, ką žinote apie judėjimą tiese, turi sukamąjį dvynį: jėga tampa momentu, masė – inercijos momentu, o ΣF = m·a tampa ΣM = I·α.
Savikontrolė Ratas sukasi 600 rpm. Koks jo kampinis greitis rad/s?
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62,8 rad/s
Atsakymas: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. 10 yra apsisukimai per sekundę (trūksta 2π), 3770 pamiršta dalyti iš 60, o 600 vis dar rpm.
2Inercijos momentas
Masė parodo, kaip sunku kūną pagreitinti tiese. Masės inercijos momentas I parodo, kaip sunku jį pradėti sukti.
Masė, esanti toli nuo ašies, skaičiuojasi daug labiau nei esanti arti, nes skaičiuojasi atstumo kvadratu:
I = Σ m·r² (vienetas: kg·m²)
Nereikia pačiam sudėti dalių. Išmokite šiuos standartinius rezultatus masės centro G atžvilgiu:
- Liekna lazda, ilgis L, ašis per vidurį: m·L²/12.
- Pilnaviduris diskas ar cilindras, spindulys R: ½·m·R².
- Plonas žiedas ar lankas: m·R².
- Pilnavidurė sfera (rutulys): (2/5)·m·R². Tuščiavidurė sfera: (2/3)·m·R².
- Taškinė masė atstumu r: m·r².
Kai ašis O neina per G, naudokite lygiagrečių ašių teoremą. Čia d yra atstumas tarp O ir G:
IO = IG + m·d²
Lazda, besisukanti apie galą, turi d = L/2, todėl IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.
Kai kurie klausimai vietoj formos pateikia inercijos spindulį k. Tada I = m·k². Kūnui iš dalių raskite kiekvienos dalies I apie tą pačią ašį ir sudėkite.
Savikontrolė Vienalytė 3 kg masės ir 2 m ilgio lazda sukasi apie vieną savo galą. Koks jos inercijos momentas?
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
Atsakymas: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², arba IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² yra reikšmė apie centrą, 3 kg·m² yra tik m·d² dalis, o 12 kg·m² yra m·L² be jokio daugiklio.
3Momentai, energija ir judesio kiekio momentas
Trys įrankiai išsprendžia beveik kiekvieną sukimosi uždavinį. Pasirinkite atitinkantį klausimą.
1. Momentai. Momentų apie ašį suma lygi I·α. Naudokite pagreičiams ir jėgoms.
ΣM = I·α
Esant pastoviam sukimo momentui kampinis judėjimas turi pastovų α, o kinematikos lygtys turi sukamuosius dvynius: ω = ω₀ + α·t ir ω² = ω₀² + 2·α·θ.
2. Energija. Besisukantis kūnas kaupia kinetinę energiją. Sukimo momentas T, pasukantis kampu θ, atlieka darbą, o besisukančio veleno galia yra sukimo momentas, padaugintas iš kampinio greičio:
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
Kūnas, kuris rieda neslysdamas, juda ir sukasi vienu metu, kai v = ω·r. Jis turi abiejų rūšių kinetinę energiją:
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
Skaičius c priklauso tik nuo formos: 0,4 pilnaviduriam rutuliui, 0,5 pilnaviduriam cilindrui, 2/3 tuščiaviduriai sferai ir 1 lankui. Pasvirusioje plokštumoje a = g·sin θ / (1 + c).
3. Judesio kiekio momentas. L = I·ω. Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, L išlieka tas pats, net kai kūnai sukimba ir kinetinė energija prarandama:
I1·ω1 = I2·ω2
Savikontrolė Variklis sukuria 100 N·m sukimo momentą 600 rpm. Kokia jo galia?
- 1 kW
- 377 kW
- 6,28 kW
- 60 kW
Atsakymas: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s, todėl P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. 60 kW naudoja rpm kaip ω, 1 kW naudoja apsisukimus per sekundę, o 377 kW pamiršta dalyti iš 60.
4Metodas žingsnis po žingsnio
- Nubraižykite kūną ir pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą ar veleną arba centrą riedančiam kūnui.
- Raskite inercijos momentą apie tą ašį. Naudokite standartinius rezultatus ir pridėkite m·d², kai ašis pastumta.
- Kiekvieną rpm greitį perskaičiuokite į rad/s pagal ω = 2π·n/60.
- Pasirinkite įrankį. Pagreičiai ir jėgos: ΣM = I·α (su ΣF = m·a dalims, judančioms tiese). Greičiai po atstumo ar kampo: energija. Smūgiai, staigūs sukibimai ir kūnai, kurie traukia savo masę: judesio kiekio momentas.
- Sujunkite tiesinį ir sukamąjį judėjimą ten, kur juos jungia virvė ar riedantis kontaktas: v = ω·r ir a = α·r.
- Išspręskite ir, jei galite, patikrinkite rezultatą antru įrankiu.
Kūnui, kabančiam ant virvės per skriemulį, nubraižykite dvi laisvojo kūno diagramas: vieną blokui (jėgos) ir vieną skriemuliui (momentai). Virvės tempimo jėga yra abiejose.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys2 kg blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio. Skriemulys yra vienalytis pilnaviduris diskas, 4 kg masės ir 0,2 m spindulio, ant bevaržės ašies. Blokas paleidžiamas iš ramybės. Naudokite g = 9,81 m/s². Raskite bloko pagreitį, virvės tempimo jėgą ir bloko greitį nukritus 1 m.
1Skriemulys yra pilnaviduris diskas, besisukantis apie savo centrą.
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²
2Blokui teigiama kryptimi laikykite žemyn. Sunkis traukia jį žemyn, o virvės tempimo jėga T traukia aukštyn.
m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a
3Tik tempimo jėga turi momentą apie ašį, petys R. Virvė neslysta, todėl α = a/R.
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a
4Įrašykite T = 2·a į bloko lygtį.
19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²
T = 2 · 4,905 = 9,81 N
Skriemulys sukasi su α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².
5Pagreitis pastovus, o blokas pradeda iš ramybės, todėl naudokite v² = 2·a·s.
v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s
6Vietoj to naudokite energiją. Prarasta potencinė energija virsta bloko ir skriemulio kinetine energija, kai ω = v/R.
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²
Taigi v² = 9,81 ir v ≈ 3,13 m/s, tas pats kaip anksčiau.
Atsakymas a ≈ 4,91 m/s², T ≈ 9,81 N ir v ≈ 3,13 m/s po 1 m.
6Dažnos klaidos
- Greičiai palikti rpm ω, E = ½·I·ω² ar P = T·ω reiškiniuose. Pirmiausia perskaičiuokite į rad/s.
- Naudojamas inercijos momentas apie centrą kūnui, kuris sukasi apie galą. Pridėkite m·d².
- Pamirštama riedančio kūno ar skriemulio sukimosi kinetinė energija.
- Rutulys ar diskas lazdos gale laikomas taškine mase. Pridėkite ir jo paties I apie jo centrą.
- Manoma, kad kinetinė energija išlieka, kai kūnai sukimba ar susikabina. Vietoj to naudokite judesio kiekio momentą.
- Apsisukimai skaičiuojami radianais: N = θ/(2π).
Savikontrolė 2 kg pilnaviduris cilindras rieda neslysdamas 3 m/s greičiu. Kokia jo visa kinetinė energija?
- 13,5 J
- 18 J
- 4,5 J
- 9 J
Atsakymas: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J, kai c = 0,5 pilnaviduriam cilindrui. 9 J yra tik slenkamoji dalis, 4,5 J – tik sukamoji, o 18 J naudoja c = 1, lanko reikšmę.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
- Lengvi: inercijos momentas. Lazda apie pastumtą ašį, švytuoklė iš lazdos ir rutulio ar disko, smagračio kinetinė energija arba smagračiui išsukti reikalingas sukimo momentas ar laikas.
- Vidutiniai: ΣM = I·α, darbas ir galia. Iš horizontalios padėties paleista lazda, blokas ant skriemulio, stabdomo smagračio apsisukimai, veleno sukimo momentas ar galia arba siūbuojančios lazdos greitis.
- Sunkūs: riedėjimas ir judesio kiekio momentas. Rutulys, cilindras ar lankas, riedantis nuo nuolydžio, riedėjimui reikalinga trintis, sukamosios energijos dalis, ant besisukančio disko numestas žiedas, žmogus, pritraukiantis hantelius, arba kulka, atsitrenkianti į kabančią lazdą.
Stabdomam smagračiui stabdys atlieka darbą, lygų sukauptai energijai: T·θ = ½·I·ω². Padalykite θ iš 2π, kad gautumėte apsisukimus.
Lazda, pritvirtinta šarnyru viename gale ir paleista iš horizontalios padėties, iškart po paleidimo turi α = 3·g/(2·L). Jos laisvasis galas greitėja 1,5·g.
Kulkai, įstringančiai lazdoje, judesio kiekio momentas apie šarnyrą išlieka: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω.
Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje