Sijų atramų reakcijos: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Sijų atramų reakcijos su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: 1 sutelktoji jėga, 2 sutelktosios jėgos, sutelktoji jėga + išskirstytoji apkrova.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
Kaip spręsti uždavinius tema Sijų atramų reakcijos
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Dažnos klaidos
Momento petys matuojamas nuo netinkamo taško.
Pamirštama išskirstytąją apkrovą pakeisti jos atstojamąja.
Supainiojama, kuri atrama perima kurią reakciją.
Pagrindinės formulės
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Išmokite Sijų atramų reakcijos nuo nulio
1Kas yra atramų reakcijos
Sija yra ilgas tiesus elementas, perimantis apkrovas per tarpą, kaip lentyna, perdangos sija ar nedidelis tiltas.
Sija remiasi į atramas. Kai apkrovos spaudžia siją žemyn, atramos spaudžia atgal aukštyn. Šios jėgos aukštyn yra atramų reakcijos.
Čia 10 kN apkrova yra lygiai viduryje. Pagal simetriją kiekviena atrama perima pusę jos: RA = RB = 5 kN.
Kai apkrova ne viduryje, artimesnė atrama perima daugiau. Tiksliai rasti, kiek, yra šios pamokos tema.
Reakcijų reikia pirmiausia beveik kiekvienam kitam sijos klausimui: skersinei jėgai, lenkimo momentui, įtempiui ir įlinkiui.
Savikontrolė Sija ant dviejų atramų perima 10 kN lygiai tarp atramų viduryje. Kokia reakcija kiekvienoje atramoje?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Atsakymas: 5 kN. Dvi reakcijos kartu turi perimti visus 10 kN, o pagal simetriją jos lygios: 10/2 = 5 kN. 10 kN kiekvienoje atramoje perimtų apkrovą du kartus.
2Atramos, momentai ir pusiausvyra
Kiekvieno tipo atrama gali spausti atgal savo būdu.
Ritininė atrama (B paveiksle) gali spausti tik statmenai paviršiui, kuriuo rieda. Ji duoda vieną vertikalią reakciją.
Šarnyrinė nejudama atrama (A) neleidžia sijai judėti jokia kryptimi. Ji duoda vertikalią ir horizontalią reakciją. Esant tik vertikalioms apkrovoms, horizontalioji lygi nuliui.
Standžiai įtvirtinta atrama, pavyzdžiui, siena, taip pat neleidžia sijai suktis. Ji duoda vertikalią jėgą ir reakcijos momentą.
Momentas yra jėgos sukamasis poveikis taško atžvilgiu. Tai jėga, padauginta iš jos statmeno atstumo nuo to taško:
M = F · d
Ramybėje esanti sija nejuda ir nesisuka. Taigi galioja trys pusiausvyros lygtys:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Momentų lygtis galioja bet kurio taško atžvilgiu. Rinkitės atramą kaip tą tašką: jos reakcijos atstumas lygus nuliui, todėl ji iš lygties iškrinta.
Savikontrolė 6 kN jėga veikia 2 m nuo taško A. Koks jos momentas A atžvilgiu?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Atsakymas: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Jėgos ir atstumo dalyba (3) arba sudėtis (8) yra įprastos klaidos.
3Pasiskirstusios apkrovos
Kai kurios apkrovos paskirstytos išilgai sijos, pavyzdžiui, perdangos ar sniego svoris. Tolygiai pasiskirsčiusi apkrova (UDL) kiekvienam metrui turi tą pačią reikšmę w, kN/m.
Reakcijoms rasti UDL galite pakeisti viena jėga. Jos dydis yra apkrova metrui, padauginta iš apkrauto ilgio, ir ji veikia apkrautos dalies viduryje:
W = w · ℓ
Paveiksle ℓ = 3 m, todėl W = 4 · 3 = 12 kN. Ji veikia apkrovos viduryje, ties x = 1 + 1,5 = 2,5 m nuo A.
Konsolė yra įtvirtinta tik viename gale, kaip balkonas. Siena duoda jėgą aukštyn ir momentą. Galinei apkrovai P atstumu L: RA = P ir MA = P·L.
Šioje konsolėje RA = 5 kN ir MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Savikontrolė 4 kN/m UDL veikia nuo x = 1 m iki x = 4 m. Kokia viena jėga ją pakeičia ir kur?
12 kN ties x = 1,5 m
12 kN ties x = 2 m
12 kN ties x = 2,5 m
4 kN ties x = 2,5 m
Atsakymas: 12 kN ties x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN apkrovos viduryje, 1 + 1,5 = 2,5 m nuo A. 1,5 m matuojama nuo apkrovos pradžios, o ne nuo A. 2 m yra viso tarpatramio vidurys, o ne apkrautos dalies.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Nubraižykite siją ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis: RA ties šarnyru ir RB ties ritinėle atrama.
Kiekvieną UDL pakeiskite viena jėga w·ℓ apkrautos dalies viduryje.
Imkite momentus A atžvilgiu. RA iškrenta, todėl RB gaunate tiesiogiai: RB·L = Σ(kiekviena apkrova × jos atstumas nuo A).
Naudokite ΣFy = 0: RA = (visa apkrova) − RB.
Patikrinimas: imkite momentus B atžvilgiu. Tai turi duoti tą patį RA.
Ženklo taisyklė 3 žingsniui: reakcija RB suka siją viena kryptimi A atžvilgiu, o žemyn nukreiptos apkrovos – kita. Jų momentai turi susibalansuoti.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Paprastai paremtos 6 m tarpatramio sijos P1 = 12 kN veikia 2 m nuo A, o P2 = 6 kN – 4 m nuo A. Raskite RA ir RB.
1
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą
Šarnyras ties A ir ritininė atrama ties B duoda po vieną reakciją aukštyn. Yra du nežinomieji, todėl pakanka dviejų lygčių.
2
Momentai A atžvilgiu
RA eina per A, todėl A atžvilgiu momento neturi. Apkrovos suka siją pagal laikrodžio rodyklę, RB – prieš laikrodžio rodyklę:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Vertikalių jėgų pusiausvyra
Dvi reakcijos kartu perima visą 12 + 6 = 18 kN apkrovą.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Patikrinkite atsakymą
Vietoj to imkite momentus B atžvilgiu. Atstumai iki B yra 4 m P1 ir 2 m P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Abu keliai sutampa. RA yra didesnė, kas logiška: sunkesnė apkrova arčiau A.
Atsakymas
RA = 10 kN ir RB = 8 kN.
6Dažnos klaidos
Atstumas matuojamas nuo netinkamo taško. Momentų lygtyje A atžvilgiu kiekvienas atstumas matuojamas nuo A.
Reakcijos sukeičiamos. Imant momentus A atžvilgiu gaunama RB, o ne RA.
Pamirštama UDL paversti viena jėga w·ℓ arba tos jėgos vieta parenkama tarpatramio, o ne apkrovos viduryje.
Painiojamos sukimo kryptys, todėl apkrova ir reakcija momentų lygtyje gauna tą patį ženklą.
Netikrinama. Antra momentų lygtis B atžvilgiu per kelias sekundes pagauna daugumą klaidų.
Savikontrolė 4 m sija ant dviejų atramų perima 8 kN 1 m nuo A. Kam lygus RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Atsakymas: 6 kN. Momentai A atžvilgiu: RB·4 = 8·1, todėl RB = 2 kN ir RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN yra RB: arčiau apkrovos esanti atrama perima daugiau.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: paprastai paremta sija su viena sutelktąja apkrova. Randate RA arba RB.
Vidutiniai: dvi sutelktosios apkrovos, kaip išspręstame pavyzdyje.
Sunkūs: sutelktoji apkrova kartu su UDL per dalį ar visą tarpatramį. Pirmiausia UDL pakeiskite w·ℓ jos viduryje.
Kiti variantai naudoja tas pačias tris lygtis: konsolė (raskite sienos momentą MA), pasvirusi apkrova (naudokite tik jos vertikalią dedamąją P·sin θ), pridėtas jėgų poros momentas, sija su iškyša virš atramos arba trikampė apkrova (atstojamoji ½·w·ℓ vieną trečdalį ilgio nuo aukštojo galo).
Atidžiai perskaitykite matmenis po sija ir prieš pradėdami užrašykite kiekvieną atstumą nuo A.
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 4 mP = 55 kN ties 2 m
Raskite RB(kN)
Rodyti užuominas
Taikykite statinės pusiausvyros sąlygas: ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Du nežinomieji, dvi lygtys.
Imkite momentus taško A atžvilgiu. RA eina per A, todėl išnyksta, ir iš karto gaunate RB.
Visa žemyn nukreipta apkrova yra 55 kN, todėl RA + RB = 55 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Atsakymas
RB = 27,5 kN
Pavyzdys 2Vidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 6 mP1 = 15 kN ties 2 mP2 = 30 kN ties 3 m
Raskite RB(kN)
Rodyti užuominas
Taikykite statinės pusiausvyros sąlygas: ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Du nežinomieji, dvi lygtys.
Imkite momentus taško A atžvilgiu. RA eina per A, todėl išnyksta, ir iš karto gaunate RB.
Visa žemyn nukreipta apkrova yra 45 kN, todėl RA + RB = 45 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Atsakymas
RB = 20 kN
Pavyzdys 3Sunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 3 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 30° kampu į horizontalę, o 2 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.
L = 4 mP = 25 kN ties 3 m, θ = 30°Q = 25 kN ties 2 m
Raskite RA(kN)
Rodyti užuominas
P išskaidykite į P·cos θ (horizontalioji) ir P·sin θ (vertikalioji). Ritininė atrama horizontaliosios jėgos neperima.
RB raskite iš momentų taško A atžvilgiu, tada Ay iš ΣFy = 0, o Ax iš ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
P dedamosios
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Reakcijos
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Atstojamoji ties A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Atsakymas
RA = 26,7 kN
Klausimai ir atsakymai
Sijų atramų reakcijos: kas tai?
Sija yra ilgas tiesus elementas, perimantis apkrovas per tarpą, kaip lentyna, perdangos sija ar nedidelis tiltas.
Sija remiasi į atramas. Kai apkrovos spaudžia siją žemyn, atramos spaudžia atgal aukštyn. Šios jėgos aukštyn yra atramų reakcijos.
Sijų atramų reakcijos: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Sijų atramų reakcijos: kokios klaidos dažniausios?
Momento petys matuojamas nuo netinkamo taško.
Pamirštama išskirstytąją apkrovą pakeisti jos atstojamąja.
Supainiojama, kuri atrama perima kurią reakciją.
Sijų atramų reakcijos: ką lavinsite?
Lengvas: 1 sutelktoji jėga
Vidutinis: 2 sutelktosios jėgos
Sunkus: sutelktoji jėga + išskirstytoji apkrova
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.