Santvara: mazgų metodas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Santvara: mazgų metodas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: simetrinė, nesimetrinė, vertikalioji + horizontalioji apkrova.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
ABCDEFGH15 kN25 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Santvara: mazgų metodasPraktikuokitės dabar: Santvara: mazgų metodasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassimetrinė
  2. Vidutinisnesimetrinė
  3. Sunkusvertikalioji + horizontalioji apkrova

Kaip spręsti uždavinius tema Santvara: mazgų metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Dažnos klaidos

  • Pradedama nuo mazgo su trimis nežinomaisiais.
  • Pamirštamos pasvirųjų strypų jėgų dedamosios.
  • Sukeičiami tempimas ir gniuždymas.

Pagrindinės formulės

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Išmokite Santvara: mazgų metodas nuo nulio

Prieš tai: Sijų atramų reakcijos

1Kas yra santvara

Santvara yra tiesių strypų karkasas, galuose sujungtas į trikampius. Ją matote stogų konstrukcijose, kranuose, stulpuose ir daugelyje tiltų.

ACBPAy​Cy​

Strypai vadinami elementais, o jungimo taškai – mazgais. Paprastame modelyje kiekvienas mazgas yra lankstas, o apkrovos veikia tik mazguose.

Tada kiekvienas elementas tempiamas ar gniuždomas tik išilgai savo ilgio. Jis neša vieną ašinę jėgą:

  • tempimas: elementas tempiamas ir pailgėja. Tai laikome teigiamu.
  • gniuždymas: elementas gniuždomas ir sutrumpėja. Tai laikome neigiamu.

Trikampiai naudojami todėl, kad trikampis negali pakeisti formos nepakeitęs vienos kraštinės ilgio. Dėl to santvara tvirta ir naudoja mažai medžiagos.

Savikontrolė Elemento jėga gaunama −12 kN. Ką tai reiškia?
  1. Apkrova nukreipta aukštyn
  2. Elementas gniuždomas, 12 kN
  3. Elementas neneša jėgos
  4. Elementas tempiamas, 12 kN

Atsakymas: Elementas gniuždomas, 12 kN. Kai tempimas laikomas teigiamu, neigiama jėga yra gniuždymas: elementas gniuždomas ir sutrumpėja.

2Jėgos mazge

Kiekvienas mazgas yra pusiausvyroje pats savaime. Taigi kiekviename mazge galioja dvi lygtys:

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Dvi lygtys reiškia, kad viename mazge galite rasti daugiausia dvi nežinomas elementų jėgas. Visada pradėkite nuo mazgo, kuriame nežinomos tik dvi.

Kiekvieną nežinomą elemento jėgą nubraižykite kaip tempimą: rodyklė nukreipta nuo mazgo, išilgai elemento. Jei atsakymas neigiamas, elementas gniuždomas.

FAB​FAC​Ay​αA

Pasvirusio elemento jėga turi dvi dedamąsias. Jei elementas su horizontale sudaro kampą α:

Fx = F · cos α Fy = F · sin α

Paties kampo retai reikia. Iš elemento horizontalios projekcijos a, aukščio h ir ilgio ℓ = √(a² + h²): cos α = a/ℓ ir sin α = h/ℓ.

Savikontrolė Elementas eina 4 m horizontaliai ir 3 m vertikaliai, taigi jo ilgis 5 m. Jis neša 10 kN. Kokia vertikalioji dedamoji?
  1. 10 kN
  2. 6 kN
  3. 7,5 kN
  4. 8 kN

Atsakymas: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, taigi Fy = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN yra horizontalioji dedamoji (cos α = 0,8).

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos santvaros: ΣMA = 0 duoda Cy, tada ΣFy = 0 duoda Ay (o ΣFx = 0 duoda Ax, jei yra horizontali apkrova).
  2. Pasirinkite mazgą, kuriame daugiausia dvi nežinomos elementų jėgos, dažniausiai atramos mazgą.
  3. Nubraižykite mazgą su visomis nežinomomis elementų jėgomis kaip tempimu (nuo mazgo).
  4. Užrašykite ΣFy = 0. Jei vertikaliąją dedamąją turi tik vienas elementas, tiesiogiai gaunate tą jėgą.
  5. Antrajai jėgai užrašykite ΣFx = 0.
  6. Pereikite prie kito mazgo, naudodami jau žinomas jėgas. Neigiamas rezultatas reiškia gniuždymą.

Pjūvių metodas yra alternatyva: perpjaukite reikiamus elementus ir imkite momentus taško, kuriame susitinka kiti perpjauti elementai, atžvilgiu.

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Santvaros tarpatramis 8 m, aukštis 3 m, o mazgas B yra virš tarpatramio vidurio. B veikia 30 kN vertikali apkrova. Raskite elementų AB ir AC jėgas.

1

Pažiūrėkite į santvarą

ACB30 kN8 m3 m4 m

A yra lankstas, o C – ritininė atrama. Kiekvieno pasvirusio elemento horizontali projekcija yra 4 m, aukštis 3 m, taigi jo ilgis √(4² + 3²) = 5 m.

2

Atramų reakcijos

Santvara ir apkrova simetriškos, todėl kiekviena atrama neša pusę apkrovos:

Ay = Cy = 30 / 2 = 15 kN
3

Mazgas A: vertikali pusiausvyra

FAB​FAC​15 kNαA

sin α = 3/5 = 0,6 ir cos α = 4/5 = 0,8. Mazge A vertikaliąją dedamąją turi tik AB.

15 + FAB · 0,6 = 0 ⇒ FAB = −25 kN

Neigiama, taigi AB gniuždomas.

4

Mazgas A: horizontali pusiausvyra

FAC + FAB · 0,8 = 0 ⇒ FAC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Teigiama, taigi AC tempiamas. Jis suriša santvaros pagrindus.

5

Patikrinkite atsakymą

Dėl simetrijos FBC = −25 kN taip pat. Mazge B abu elementai stumia aukštyn 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, o tai atsveria 30 kN apkrovą.

Atsakymas

FAB = −25 kN (gniuždymas) ir FAC = 20 kN (tempimas).

5Dažnos klaidos

  • Pradedama nuo mazgo su trimis nežinomomis jėgomis. Dviem lygtimis trijų nežinomųjų išspręsti negalima.
  • Sukeičiami sin ir cos. Patikrinkite, kuri trikampio kraštinė yra vertikali.
  • Kai kurie nežinomieji braižomi kaip gniuždymas, o kiti kaip tempimas, ir paskui ženklai skaitomi neteisingai. Braižykite visus kaip tempimą.
  • Pamirštama atramos reakcija mazge arba jai suteikiama netinkama kryptis.
  • Reakcijoms skaičiuoti momentų lygtyje pamirštama horizontali apkrova.
Savikontrolė Ritininėje atramoje C reakcija Cy = 9 kN aukštyn. Elementas BC yra vienintelis, turintis ten vertikaliąją dedamąją, sin γ = 0,6. Kiek yra FBC?
  1. +15 kN (tempimas)
  2. −11,25 kN (gniuždymas)
  3. −15 kN (gniuždymas)
  4. −5,4 kN (gniuždymas)

Atsakymas: −15 kN (gniuždymas). ΣFy = 0: 9 + FBC·0,6 = 0, taigi FBC = −15 kN. +15 kN praranda ženklą; −5,4 dauginama iš sin γ vietoj dalybos; −11,25 naudoja cos γ = 0,8.

6Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: simetriška. B yra virš tarpatramio vidurio, o apkrova vertikali, kaip pavyzdyje. Reakcijos yra po pusę apkrovos.
  • Vidutiniai: nesimetriška. B nėra virš tarpatramio vidurio, todėl AB ir BC turi skirtingus kampus. Pirmiausia raskite Cy iš momentų apie A.
  • Sunkūs: B veikia vertikali ir horizontali apkrova. A lankstas taip pat gauna horizontalią reakciją. Mazgas C vis dar yra lengviausias pradėti, nes ritininė atrama duoda tik Cy.

Prašoma vieno elemento jėgos: AB, BC ar AC. Tempimą nurodykite kaip teigiamą, o gniuždymą – kaip neigiamą.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
ABBCACACB45 kN6 m3 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kN

Raskite FAB (kN)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia iš visos santvaros raskite atramų reakcijas.
  2. Mazge A tik strypas AB turi vertikaliąją dedamąją. ΣFy = 0 iš karto duoda FAB.
  3. Ay = 22,5 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Atsakymas

FAB = −40,56 kN (gniuždymas)
Pavyzdys 2Vidutinis
ABBCACACB45 kN6 m1 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kN

Raskite FBC (kN)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia iš visos santvaros raskite atramų reakcijas.
  2. Pereikite prie mazgo C. Ten tik BC turi vertikaliąją dedamąją, todėl pradėkite nuo ΣFy = 0.
  3. Cy = 7,5 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Atsakymas

FBC = −20,19 kN (gniuždymas)
Pavyzdys 3Sunkus
ABBCACACB60 kN30 kN5 m1 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←

Raskite FBC (kN)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia iš visos santvaros raskite atramų reakcijas.
  2. Pereikite prie mazgo C. Ten tik BC turi vertikaliąją dedamąją, todėl pradėkite nuo ΣFy = 0.
  3. Cy = −6 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 − 30·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −6 = 66 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6/0,6 = 10 kN

Atsakymas

FBC = 10 kN (tempimas)

Klausimai ir atsakymai

Santvara: mazgų metodas: kas tai?

Strypai vadinami elementais, o jungimo taškai – mazgais. Paprastame modelyje kiekvienas mazgas yra lankstas, o apkrovos veikia tik mazguose.

Tada kiekvienas elementas tempiamas ar gniuždomas tik išilgai savo ilgio. Jis neša vieną ašinę jėgą:

Santvara: mazgų metodas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Santvara: mazgų metodas: kokios klaidos dažniausios?
  • Pradedama nuo mazgo su trimis nežinomaisiais.
  • Pamirštamos pasvirųjų strypų jėgų dedamosios.
  • Sukeičiami tempimas ir gniuždymas.
Santvara: mazgų metodas: ką lavinsite?
  • Lengvas: simetrinė
  • Vidutinis: nesimetrinė
  • Sunkus: vertikalioji + horizontalioji apkrova

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Sijų atramų reakcijos

Toliau

Rėmai ir mechanizmai

Skaičiuoklės

Santvaros skaičiuoklė (mazgų metodas)

Kursai su šia tema

StatikaStatybinė mechanikaFE Civil egzamino praktika

Daugiau temų: Statybos inžinerija

Skersinė jėga ir lenkimo momentasSijos įlinkisSvorio centras ir inercijos momentasKolonų klupimasEfektinis įtempis grunteKonsolidacinis nuosėdisHidrostatinė jėgaTekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Santvara: mazgų metodas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Santvara: mazgų metodasPraktikuokitės dabar: Santvara: mazgų metodasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.