Kolonų klupimas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Kolonų klupimas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: šarnyriniai galai, kitos atrėmimo sąlygos, projektavimas ir kritinis įtempis.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
PL = 2,5 m40 × 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 80 mm
kN
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Kolonų klupimasPraktikuokitės dabar: Kolonų klupimasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasšarnyriniai galai
  2. Vidutiniskitos atrėmimo sąlygos
  3. Sunkusprojektavimas ir kritinis įtempis

Pagrindinės formulės

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Išmokite Kolonų klupimas nuo nulio

Prieš tai: Svorio centras ir inercijos momentas

1Kas yra klupdymas

Spauskite plastikinę liniuotę už abiejų galų. Iš pradžių atrodo, kad nieko nevyksta. Tada staiga ji išlinksta į šoną. Tai klupdymas.

Kolona yra elementas, apkrautas gniuždymu išilgai: pastato kolona, stogo statramstis, stūmoklio strypas.

PL

Trumpa, stora kolona suyra sutraiškoma: įtempis P/A pasiekia medžiagos stiprį. Ilga, liekna kolona išklumpa esant daug mažesnei apkrovai, kai įtempis dar toli gražu nepasiekia to stiprio.

Apkrova, kuriai esant liekna kolona išklumpa, yra jos kritinė apkrova Pcr. Ją viršijus, kolona tampa nestabili ir griūva.

Savikontrolė Dvi plieninės kolonos turi tą patį skerspjūvį. Viena 2 m ilgio, kita 4 m. Kuri išklumpa esant mažesnei apkrovai?
  1. 2 m kolona
  2. 4 m kolona
  3. Abi esant tai pačiai apkrovai
  4. Nei viena: plieninės kolonos negali išklumpti

Atsakymas: 4 m kolona. Ilgesnė kolona yra liesesnė ir klumpa lengviau. Ilgis yra svarbiausias klupdymo veiksnys.

2Oilerio formulė

Leonhardas Euleris rado lieknos kolonos kritinę apkrovą:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E yra medžiagos tamprumo modulis (Jungo modulis): plieno 200 GPa.
  • I yra skerspjūvio inercijos momentas. Naudokite mažiausią: kolona linksta lengviausiu būdu.
  • L yra ilgis, o K – efektinio ilgio koeficientas, priklausantis nuo to, kaip įtvirtinti galai.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Lankstinis galas gali suktis; standus įtvirtinimas – ne. Tvirčiau įtvirtinus galus gaunamas trumpesnis efektinis ilgis KL ir daug didesnė Pcr, nes KL keliamas kvadratu.

Apvaliam strypui I = π·d⁴/64. Stačiakampiui b × h, kai b yra mažesnė kraštinė, Imin = h·b³/12.

Savikontrolė Dviem lankstiniais galais atremtos kolonos Pcr = 100 kN. Ta pati kolona padaroma standžiai įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje (K = 2). Kam dabar lygi Pcr?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Atsakymas: 25 kN. Pcr dalijama iš K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN gaunama pamiršus pakelti K kvadratu; 200 ir 400 kN gaunama dauginant vietoj dalybos.

3Lieknumas ir kritinis įtempis

Padalijus Pcr iš ploto gaunamas kritinis įtempis. Gražiausiai jis užrašomas per inercijos spindulį r ir lieknumo santykį λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Pilnaviduriam apvaliam strypui r = d/4.

Eulerio formulė galioja tik tol, kol σcr lieka mažesnis už medžiagos takumo ribą. Konstrukciniam plienui tai reiškia maždaug λ > 100. Storesnės kolonos suyra pasiekusios takumą arba dėl abiejų priežasčių kartu ir joms reikia kitų projektavimo taisyklių.

Savikontrolė Stačiakampis kolonos skerspjūvis yra 20 mm × 40 mm. Koks mažiausias inercijos momentas?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Atsakymas: 26 667 mm⁴. Silpnoji ašis kelia kubu mažesnę kraštinę: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 yra stiprioji ašis; 320 000 gaunama pamiršus /12; 7854 – pagal apskritimo formulę.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Perskaitykite galų sąlygas ir pasirinkite K: 1, 2, 0,7 arba 0,5.
  2. Raskite mažiausią skerspjūvio I, mm⁴.
  3. Perskaičiuokite į N ir mm: L mm, E N/mm² (GPa × 1000).
  4. Efektinis ilgis: KL.
  5. Kritinė apkrova: Pcr = π²EI/(KL)², N. Padalykite iš 1000, kad gautumėte kN.
  6. Jei prašoma, patikrinkite lieknumą KL/r arba kritinį įtempį Pcr/A.

Projektavimo uždaviniui su saugos koeficientu n kolonos Pcr turi būti n·P. Eulerio formulę išspręskite I atžvilgiu, o paskui – skersmens.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Pilnavidurė apvali plieninė kolona (E = 200 GPa), kurios skersmuo 40 mm, o ilgis 2 m, abiem galais atremta lankstiškai. Raskite jos kritinę klupdymo apkrovą Pcr. Tada raskite ją dar kartą tai pačiai kolonai, standžiai įtvirtintai apačioje ir laisvai viršuje.

1

Pažvelkite į koloną

PL = 2 m

Abu galai lankstiniai, todėl K = 1 ir KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Inercijos momentas

Apvalaus skerspjūvio I yra vienodas apie bet kurią ašį:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Kritinė jėga

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Patikrinkite, ar Eulerio formulė taikytina

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Tai gerokai mažiau nei plieno takumo riba (apie 250 MPa), todėl kolona liekna ir Eulerio formulė galioja.

5

Standus pagrindas, laisvas viršus

Dabar K = 2, todėl efektinis ilgis padvigubėja iki 4000 mm, o Pcr sumažėja 2² = 4 kartus:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Atsakymas

Pcr = 62,0 kN, kai abu galai lankstiniai, ir 15,5 kN, kai apačia standžiai įtvirtinta, o viršus laisvas.

6Dažnos klaidos

  • Neteisingo K pasirinkimas arba pamirštamas jo kėlimas kvadratu.
  • Didesnio stačiakampio I naudojimas. Kolona visada klumpa apie silpnąją ašį.
  • Vienetų painiojimas: L metrais, o E N/mm². Visą laiką dirbkite N ir mm.
  • π·d⁴/32 (polinis inercijos momentas J iš sukimo) naudojimas vietoj π·d⁴/64.
  • Eulerio formulės taikymas trumpai, storai kolonai, kurios kritinis įtempis viršytų takumo ribą.
Savikontrolė Abiem galais lankstiškai atremtos kolonos Pcr = 40 kN. Ta pati kolona abiem galais standžiai įtvirtinama (K = 0,5). Kam lygi Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Atsakymas: 160 kN. Pcr dalijama iš K² = 0,25, todėl ji tampa keturis kartus didesnė: 160 kN. 80 kN gaunama pamiršus pakelti K kvadratu; 10 kN – dauginant iš K² vietoj dalybos.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvas: lankstiniai galai. Raskite apvalios arba stačiakampės plieninės ar aliuminio kolonos Pcr.
  • Vidutinis: kitos galų sąlygos. Tas pats klausimas su K = 2, 0,7 arba 0,5.
  • Sunkus: projektavimas ir kritinis įtempis. Raskite mažiausią skersmenį, atlaikantį apkrovą su saugos koeficientu, arba raskite lieknumą ir σcr.

Projektavimo atveju su apvaliu strypu: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
PL = 5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

Raskite Pcr (kN)

Rodyti užuominas
  1. Oileris: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 kolonai, kuri yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose.
  3. I = 306796 mm⁴.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Atsakymas

Pcr = 8,478 kN
Pavyzdys 2Vidutinis
PL = 2,5 md = 30 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

Raskite Pcr (kN)

Rodyti užuominas
  1. Oileris: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 2 kolonai, kuri yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje.
  3. I = 39761 mm⁴.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Atsakymas

Pcr = 3,139 kN
Pavyzdys 3Sunkus
PL = 2,5 md = 25 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm

Raskite σcr (MPa)

Rodyti užuominas
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², kur r = √(I/A) – inercijos spindulys.
  2. Naudokite mažiausią I, nes kolona klumpa silpniausios ašies atžvilgiu.
  3. r = 6,25 mm.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Atsakymas

σcr = 4,318 MPa

Klausimai ir atsakymai

Kolonų klupimas: kas tai?

Spauskite plastikinę liniuotę už abiejų galų. Iš pradžių atrodo, kad nieko nevyksta. Tada staiga ji išlinksta į šoną. Tai klupdymas.

Trumpa, stora kolona suyra sutraiškoma: įtempis P/A pasiekia medžiagos stiprį. Ilga, liekna kolona išklumpa esant daug mažesnei apkrovai, kai įtempis dar toli gražu nepasiekia to stiprio.

Kolonų klupimas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Kolonų klupimas: ką lavinsite?
  • Lengvas: šarnyriniai galai
  • Vidutinis: kitos atrėmimo sąlygos
  • Sunkus: projektavimas ir kritinis įtempis

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Svorio centras ir inercijos momentas

Skaičiuoklės

Oilerio klupumo skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Medžiagų mechanikaStatybinė mechanikaMašinų elementaiFE Mechanical egzamino praktikaFE Civil egzamino praktika

Daugiau temų: Statybos inžinerija

Skersinė jėga ir lenkimo momentasSantvara: mazgų metodasSijos įlinkisSvorio centras ir inercijos momentasEfektinis įtempis grunteKonsolidacinis nuosėdisHidrostatinė jėgaTekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Kolonų klupimas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Kolonų klupimasPraktikuokitės dabar: Kolonų klupimasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.