Sijos įlinkis: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Sijos įlinkis su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: gembė, jėga gale, tolygi apkrova, superpozicija ir projektavimas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
P = 3 kNδL = 1,5 m

Gembė laisvajame gale apkrauta sutelktąja jėga P. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Sijos įlinkisPraktikuokitės dabar: Sijos įlinkisKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasgembė, jėga gale
  2. Vidutinistolygi apkrova
  3. Sunkussuperpozicija ir projektavimas

Pagrindinės formulės

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Išmokite Sijos įlinkis nuo nulio

Prieš tai: Skersinė jėga ir lenkimo momentas, Svorio centras ir inercijos momentas

1Kas yra įlinkis

Kiekviena sija šiek tiek išlinksta veikiama apkrovos. Atstumas, per kurį sijos taškas pasislenka žemyn, yra jos įlinkis δ, paprastai mm.

PδL

Sija gali būti pakankamai tvirta ir vis tiek per daug linkti. Tada grindys šokinėja, tinkas skilinėja, durys strigsta. Įprasta grindų riba yra tarpatramis/360: 3,6 m grindys gali įlinkti daugiausia 10 mm.

Sijos įlinkis priklauso nuo keturių dalykų:

  • apkrovos: dvigubai didesnė apkrova duoda dvigubai didesnį įlinkį;
  • tarpatramio: įlinkis labai greitai auga didėjant ilgiui (L³ arba L⁴);
  • medžiagos tamprumo modulio E: standesnė medžiaga linksta mažiau;
  • pjūvio inercijos momento I: aukštesnis pjūvis linksta mažiau.

E ir I visada pasirodo kartu kaip sandauga EI – sijos lenkimo standis.

Savikontrolė Siją pakeičiate sija, kurios inercijos momentas I dvigubai didesnis. Viskas kita išlieka tas pats. Kas nutinka įlinkiui?
  1. Ji padvigubėja
  2. Ji sumažėja perpus
  3. Jis tampa ketvirtadaliu
  4. Jos lieka tokios pačios

Atsakymas: Ji sumažėja perpus. Įlinkis yra atvirkščiai proporcingas EI. Padvigubinus I, δ sumažėja perpus.

2Standartinės formulės

Įlinkiai gaunami du kartus integruojant lenkimo momentą, bet dažniausiems atvejams rezultatas pateiktas lentelėse. Keturi atvejai apima daugumą klausimų:

  • Konsolė, sutelktoji apkrova P laisvajame gale: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • Konsolė, tolygiai pasiskirsčiusi apkrova w per visą ilgį: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • Laisvai atremta sija, sutelktoji apkrova P tarpatramio viduryje: δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • Laisvai atremta sija, tolygiai pasiskirsčiusi apkrova w per visą tarpatramį: δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

Konsolės didžiausias įlinkis yra laisvajame gale; laisvai atremtos sijos su simetrinėmis apkrovomis – tarpatramio viduryje.

Kai sija veikiama keliomis apkrovomis, kiekvienos apkrovos sukeltas įlinkis atskirai sumuojasi. Tai superpozicija.

Savikontrolė Konsolės su apkrova gale galo įlinkis yra 2 mm. Konsolė padaroma dvigubai ilgesnė. Koks naujas įlinkis?
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

Atsakymas: 16 mm. δ proporcingas L³, todėl padvigubinus L, δ padauginamas iš 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm gaunama laikant priklausomybę tiesine; 32 mm naudoja L⁴, tai tolygiai pasiskirsčiusios apkrovos atvejis.

3Vienetai: dirbkite N ir mm

Formulės veikia tik su nuosekliais vienetais. Saugus pasirinkimas yra niutonai ir milimetrai:

  • P – niutonais: kN × 1000.
  • w – N/mm: 1 kN/m lygiai 1 N/mm.
  • L – mm: m × 1000.
  • E – N/mm²: GPa × 1000. Plienas: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I – mm⁴: „36 × 10⁶ mm⁴“ reiškia 36 000 000 mm⁴.

Tada įlinkis gaunamas mm. Kadangi L keliamas trečiuoju ar ketvirtuoju laipsniu, skaičiai tampa dideli. Skaičiuotuvas su dešimties laipsniais padeda juos suvaldyti.

Savikontrolė Sija pagaminta iš plieno, E = 200 GPa. Kokią E vertę naudojate su N ir mm?
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

Atsakymas: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², taigi 200 GPa = 200 000 N/mm². Naudojant 200 įlinkis gaunamas 1000 kartų per didelis.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Nustatykite atvejį: konsolė ar laisvai atremta sija, sutelktoji ar tolygiai pasiskirsčiusi apkrova.
  2. Perskaičiuokite P, w, L, E ir I į N ir mm.
  3. Pasirinkite atitinkamą formulę.
  4. Apskaičiuokite δ milimetrais.
  5. Kelioms apkrovoms: apskaičiuokite kiekvieną atskirai ir sudėkite.
  6. Projektavimo klausimui: δ prilyginkite leidžiamajai vertei (pavyzdžiui, L/360) ir išspręskite I.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Plieninė konsolė (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) yra 3 m ilgio ir laisvajame gale veikiama 8 kN sutelktosios apkrovos. Raskite įlinkį laisvajame gale.

1

Nustatykite atvejį

P = 8 kNδL = 3 m

Konsolė su sutelktąja apkrova laisvajame gale: δ = PL³/(3EI).

2

Perskaičiuokite į N ir mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

3

Lenkimo standis

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

Galo įlinkis

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

Patikrinkite atsakymą

10 mm 3 m konsolei yra L/300. Tai realus dydis apkrautai plieninei sijai: nei milimetro dalis, nei dešimtys centimetrų.

Atsakymas

Laisvasis galas įlinksta δ = 10 mm.

6Dažnos klaidos

  • Vienetų painiojimas: L metrais, o E N/mm² duoda nesąmones. Pirmiausia viską perskaičiuokite į N ir mm.
  • E palikimas GPa, todėl δ gaunamas 1000 kartų per didelis.
  • Netinkamo atvejo naudojimas, pavyzdžiui, PL³/(48EI) konsolei. Patikrinkite atramas ir apkrovos tipą.
  • Pamirštamas 5 formulėje 5wL⁴/(384EI).
  • Superpozicijoje kiekvienai apkrovai naudojama skirtinga formulė, bet viena iš apkrovų pamirštama.
Savikontrolė Laisvai atremta sija veikiama sutelktosios apkrovos tarpatramio viduryje, kuri viena duoda 4 mm, ir tolygiai pasiskirsčiusios apkrovos, kuri viena duoda 6 mm. Koks įlinkis tarpatramio viduryje?
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

Atsakymas: 10 mm. Pagal superpoziciją kiekvienos apkrovos įlinkiai sudedami: 4 + 6 = 10 mm. Paėmus tik didesnį, skirtumą ar sandaugą gaunami neteisingi rezultatai.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvas: konsolė su apkrova gale. Raskite δ = PL³/(3EI). Variantai: laisvai atremta sija su apkrova viduryje, posūkio kampas gale arba apkrova, sukelianti tam tikrą įlinkį.
  • Vidutinis: tolygi apkrova. Konsolė (wL⁴/8EI) arba laisvai atremta sija (5wL⁴/384EI). Variantai: ne per vidurį veikiančios apkrovos ir posūkio kampai galuose.
  • Sunkus: superpozicija ir projektavimas. Sudėkite sutelktosios ir tolygiai pasiskirsčiusios apkrovų įlinkius arba raskite mažiausią I, kuriam esant δ lieka mažesnis už L/360.

Projektavimo atveju: Ireq = 5wL⁴ / (384·E·δallow), kai δallow = L/360.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
P = 19 kNABδ2 m2 m

Laisvai atremta sija tarpatramio viduryje apkrauta sutelktąja jėga P. Raskite įlinkį tarpatramio viduryje δmax.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Raskite δmax (mm)

Rodyti užuominas
  1. Laisvai atremtos sijos su sutelktąja jėga viduryje įlinkis tarpatramio viduryje δ = PL³/(48EI).
  2. Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Atsakymas

δmax = 10,56 mm
Pavyzdys 2Vidutinis
P = 26 kNABδ2 m4 m

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δB laisvajame gale B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Raskite δB (mm)

Rodyti užuominas
  1. Dalis tarp A ir apkrovos elgiasi kaip a ilgio gembė su jėga gale: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
  2. Už apkrovos momento nėra, todėl ta dalis lieka tiesi: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Atsakymas

δB = 16,51 mm
Pavyzdys 3Sunkus
w = 4 kN/mABδ3 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 100 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 100 mm

Raskite hreq (mm)

Rodyti užuominas
  1. Įlinkį tarpatramio viduryje 5wL⁴/(384EI) prilyginkite ribai ir raskite reikiamą I.
  2. Tada stačiakampiui naudokite I = bh³/12 ir išreiškite h.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

Atsakymas

hreq = 176,8 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

Klausimai ir atsakymai

Sijos įlinkis: kas tai?

Kiekviena sija šiek tiek išlinksta veikiama apkrovos. Atstumas, per kurį sijos taškas pasislenka žemyn, yra jos įlinkis δ, paprastai mm.

Sija gali būti pakankamai tvirta ir vis tiek per daug linkti. Tada grindys šokinėja, tinkas skilinėja, durys strigsta. Įprasta grindų riba yra tarpatramis/360: 3,6 m grindys gali įlinkti daugiausia 10 mm.

Sijos įlinkis: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Sijos įlinkis: kokios klaidos dažniausios?
  • PL³/(3EI) yra gembei su jėga gale. Laisvai atremta sija su jėga viduryje įlinksta PL³/(48EI).
  • Koeficientas 5/384 tinka tolygiai apkrovai (su wL⁴). Sutelktajai jėgai viduryje naudokite 1/48.
  • Tai įlinkis po apkrova. Už apkrovos sija tiesi, bet pasvirusi, todėl pridėkite θ·(L − a).
Sijos įlinkis: ką lavinsite?
  • Lengvas: gembė, jėga gale
  • Vidutinis: tolygi apkrova
  • Sunkus: superpozicija ir projektavimas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Skersinė jėga ir lenkimo momentasSvorio centras ir inercijos momentas

Skaičiuoklės

Sijos įlinkio skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Medžiagų mechanikaStatybinė mechanikaFE Mechanical egzamino praktikaFE Civil egzamino praktika

Daugiau temų: Statybos inžinerija

Skersinė jėga ir lenkimo momentasSantvara: mazgų metodasSvorio centras ir inercijos momentasKolonų klupimasEfektinis įtempis grunteKonsolidacinis nuosėdisHidrostatinė jėgaTekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Sijos įlinkis su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Sijos įlinkisPraktikuokitės dabar: Sijos įlinkisKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.