Skersinė jėga ir lenkimo momentas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Skersinė jėga ir lenkimo momentas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: sutelktoji jėga, išskirstytoji apkrova visame tarpatramyje, sutelktoji jėga + išskirstytoji apkrova.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta viena sutelktąja jėga P. Raskite skersinę jėgą Vx iš karto dešiniau apkrovos. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 60 kN ties 2,5 m
kN
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Skersinė jėga ir lenkimo momentasPraktikuokitės dabar: Skersinė jėga ir lenkimo momentasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassutelktoji jėga
  2. Vidutinisišskirstytoji apkrova visame tarpatramyje
  3. Sunkussutelktoji jėga + išskirstytoji apkrova

Kaip spręsti uždavinius tema Skersinė jėga ir lenkimo momentas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Dažnos klaidos

  • Įskaitomos apkrovos iš abiejų pjūvio pusių.
  • Naudojama neteisinga teigiamų ir neigiamų lenkimo momentų ženklų taisyklė.
  • Atsakoma skersine jėga, kai klausiama lenkimo momento.

Pagrindinės formulės

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Išmokite Skersinė jėga ir lenkimo momentas nuo nulio

Prieš tai: Sijų atramų reakcijos

1Kas vyksta sijos viduje

Reakcijų pamokoje radote jėgas, veikiančias siją iš išorės. Dabar pažvelkite į vidų: ką turi atlaikyti medžiaga viename sijos taške?

Įsivaizduokite, kad siją kažkur perpjaunate per pusę. Abi dalys nukristų. Kad viena dalis liktų vietoje, kita jai turi atlaikyti dviem vidinėmis jėgomis:

  • skersinė jėga V neleidžia vienai pusei slysti aukštyn ar žemyn kitos atžvilgiu (kN);
  • lenkimo momentas M neleidžia vienai pusei pasisukti kitos atžvilgiu (kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Sija, kuri išlinksta kaip šypsena, o apačia ištempta, yra išlenkta žemyn (teigiamas momentas). Sija, kuri išlinksta kaip nusivylusi burna, pavyzdžiui, balkonas, yra išlenkta aukštyn (neigiamas momentas).

Inžinieriams reikia M, nes lenkimo įtempis sijoje auga kartu su juo, ir V, nes sija prie atramų neturi būti nukirpta.

Savikontrolė Laisvai atremta sija neša apkrovą žemyn. Kuri sijos pusė ištempta?
  1. Abi pusės vienodai
  2. Apačia: sija išlenkta žemyn
  3. Nei viena pusė, sija tik sutrumpėja
  4. Viršus: sija išlenkta aukštyn

Atsakymas: Apačia: sija išlenkta žemyn. Dviejose atramose gulinti sija veikiant apkrovai žemyn išlinksta kaip šypsena. Apatinės skaidulos pailgėja (tempimas), viršutinės sutrumpėja (gniuždymas).

2Pjūvių metodas

Norėdami rasti V ir M atstumu x nuo A, perpjaukite siją ten ir palikite tik dalį kairėje nuo pjūvio. Ši dalis pati savaime yra pusiausvyroje.

RA​VMAx

Įprastos ženklų taisyklės: aukštyn nukreipta jėga kairiojoje dalyje laikoma teigiama skersine jėga, o išlenkimas žemyn – teigiamu momentu. Taip gaunami du trumpi receptai:

  • Skersinė jėga: V = RA minus visos žemyn nukreiptos apkrovos kairėje nuo pjūvio.
  • Lenkimo momentas: M = RA·x minus kiekvienos apkrovos, esančios kairėje nuo pjūvio, sandauga iš jos atstumo iki pjūvio.

Tolygiai pasiskirsčiusios apkrovos dalis kairėje nuo pjūvio veikia kaip viena jėga w·ℓ savo viduryje, kaip ir reakcijų pamokoje.

Galite palikti dešiniąją dalį. Gausite tas pačias V ir M, o tai naudingas patikrinimas.

Savikontrolė RA = 10 kN. Pirmoji apkrova yra 5 m nuo A. Koks lenkimo momentas ties x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Atsakymas: 30 kN·m. Kairėje nuo pjūvio apkrovų nėra, todėl M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN čia yra skersinė jėga, o ne momentas.

3Diagramos ir didžiausias momentas

Jei apskaičiuosite V ir M kiekviename x, gausite skersinių jėgų diagramą ir lenkimo momentų diagramą. Jų formos paklūsta paprastoms taisyklėms:

  • Tarp sutelktųjų apkrovų V yra pastovi, o M – tiesė.
  • Po tolygiai pasiskirsčiusia apkrova V tiesiškai mažėja, o M yra kreivė (parabolė).
  • Sutelktoji apkrova V šoktelėja apkrovos dydžiu.
  • M didžiausias ten, kur V keičia ženklą, eidama per nulį.

Du rezultatai pasitaiko taip dažnai, kad verta juos žinoti:

  • Sutelktoji apkrova P tarpatramio viduryje: Mmax = P·L / 4
  • Tolygiai pasiskirsčiusi apkrova w per visą tarpatramį: Mmax = w·L² / 8
Savikontrolė 6 m ilgio laisvai atremta sija visu tarpatramiu veikiama tolygiai pasiskirsčiusios 4 kN/m apkrovos. Koks didžiausias lenkimo momentas?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Atsakymas: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m tarpatramio viduryje. 36 gaunama naudojant /4 (sutelktosios apkrovos taisyklė); 12 kN yra reakcija wL/2.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją pjūvyje x ir palikite kairiąją dalį.
  3. Skersinė jėga: V = RA minus visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiojoje dalyje.
  4. Lenkimo momentas: M = RA·x minus kiekviena kairiojoje dalyje esanti apkrova, padauginta iš jos atstumo iki pjūvio.
  5. Didžiausiam momentui: raskite, kur V = 0, ir apskaičiuokite M toje vietoje.

Nubraižykite kairiąją dalį kaip nedidelį atskirą eskizą. Tada aišku, kurias apkrovas įtraukti.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

6 m tarpatramio laisvai atremta sija per visą ilgį veikiama tolygiai pasiskirsčiusios 4 kN/m apkrovos. Raskite skersinę jėgą V ir lenkimo momentą M ties x = 2 m nuo A.

1

Pažvelkite į siją

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Atramų reakcijos

Visa apkrova yra 4 · 6 = 24 kN, veikianti viduryje. Dėl simetrijos kiekviena atrama laiko pusę:

RA = RB = 12 kN
3

Palikite kairiąją dalį

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

Tolygiai pasiskirsčiusi apkrova kairiojoje dalyje yra 4 · 2 = 8 kN. Ji veikia savo viduryje, 1 m nuo pjūvio.

4

Skersinė jėga

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Lenkimo momentas

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Jis teigiamas, todėl sija čia išlenkta žemyn.

6

Patikrinkite atsakymą

Vietoj to naudokite dešiniąją dalį: ji 4 m ilgio, su RB = 12 kN ir 16 kN tolygiai pasiskirsčiusia apkrova 2 m nuo pjūvio.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Visa diagrama yra parabolė, kurios viršūnė wL²/8 = 18 kN·m tarpatramio viduryje. 16 kN·m ties x = 2 m tinka.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Atsakymas

V = 4 kN ir M = 16 kN·m (išlenkimas žemyn).

6Dažnos klaidos

  • Apkrovų iš abiejų pjūvio pusių įtraukimas. Naudokite tik palikta dalį.
  • Petys matuojamas nuo A, o ne nuo pjūvio. Skaičiuojant M, kiekvienas atstumas matuojamas nuo apkrovos iki pjūvio.
  • Atsakymas V, kai klausiama M, arba atvirkščiai. Patikrinkite vienetą: kN ar kN·m.
  • Imama visa tolygiai pasiskirsčiusi apkrova, o ne tik dalis kairėje nuo pjūvio.
  • Ženklų taisyklių painiojimas. Pagal įprastas taisykles laisvai atremtos sijos, veikiamos apkrovų žemyn, momentai visur teigiami (išlenkimas žemyn).
Savikontrolė 4 m laisvai atremta sija viduryje neša 20 kN, taigi RA = 10 kN. Koks M ties x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Atsakymas: 10 kN·m. Kairėje nuo pjūvio lieka tik RA: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 klaidingai atima apkrovą, kuri yra dešinėje nuo pjūvio. 20 kN·m yra PL/4, didžiausias momentas viduryje. 10 kN yra skersinė jėga.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvas: viena sutelktoji apkrova. Raskite M ties apkrova arba V čia pat šalia jos. Variantuose naudojama konsolė, kurios M didžiausias įtvirtinime.
  • Vidutinis: tolygiai pasiskirsčiusi apkrova per visą tarpatramį, kaip pavyzdyje. Raskite V arba M ties duotu x arba didžiausią momentą.
  • Sunkus: sutelktoji ir tolygiai pasiskirsčiusi apkrovos kartu arba dalinė tolygiai pasiskirsčiusi apkrova. Raskite M pjūvyje arba didžiausią momentą ten, kur V = 0.

Kai kuriuose variantuose sija išsikiša už atramos. Išsikišusi dalis išlinksta aukštyn, todėl M ten neigiamas.

Visada pradėkite nuo reakcijų ir užrašykite jas ant eskizo.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Rodyti užuominas
  1. Lenkimo momento viršūnės yra ten, kur skersinė jėga keičia ženklą, prie įtvirtintos sienos arba virš atramos šalia gembės.
  2. Pirmiausia raskite atramų reakcijas: R1 = 33,33 kN.
  3. Palyginkite momentus galimose žymėse; didžiausias dydis yra 66,67 kN·m.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Atsakymas

Žymė B: MB = 66,67 kN·m
Pavyzdys 2Vidutinis
w = 5 kN/mABpjūvis0,5 m5,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 0,5 m

Raskite Mx (kN·m)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia iš visos sijos pusiausvyros raskite atramų reakcijas.
  2. Tada perpjaukite siją ties x = 0,5 m ir nagrinėkite tik kairiau pjūvio esančią dalį. Susumuokite tų jėgų momentus pjūvio atžvilgiu.
  3. RA = 15 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15pjūvis0,5 m5,5 m

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Atsakymas

Mx = 6,875 kN·m
Pavyzdys 3Sunkus
w = 6 kN/mP = 45 kNABpjūvis1,5 m3,5 m1 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 45 kN ties 1,5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 5 m

Raskite Mx (kN·m)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia iš visos sijos pusiausvyros raskite atramų reakcijas.
  2. Tada perpjaukite siją ties x = 5 m ir nagrinėkite tik kairiau pjūvio esančią dalį. Susumuokite tų jėgų momentus pjūvio atžvilgiu.
  3. RA = 51,75 kN.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25pjūvis1,5 m3,5 m1 m

Perpjaukite ties x = 5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Atsakymas

Mx = 26,25 kN·m

Klausimai ir atsakymai

Skersinė jėga ir lenkimo momentas: kas tai?

Reakcijų pamokoje radote jėgas, veikiančias siją iš išorės. Dabar pažvelkite į vidų: ką turi atlaikyti medžiaga viename sijos taške?

Įsivaizduokite, kad siją kažkur perpjaunate per pusę. Abi dalys nukristų. Kad viena dalis liktų vietoje, kita jai turi atlaikyti dviem vidinėmis jėgomis:

Skersinė jėga ir lenkimo momentas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas: kokios klaidos dažniausios?
  • Įskaitomos apkrovos iš abiejų pjūvio pusių.
  • Naudojama neteisinga teigiamų ir neigiamų lenkimo momentų ženklų taisyklė.
  • Atsakoma skersine jėga, kai klausiama lenkimo momento.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas: ką lavinsite?
  • Lengvas: sutelktoji jėga
  • Vidutinis: išskirstytoji apkrova visame tarpatramyje
  • Sunkus: sutelktoji jėga + išskirstytoji apkrova

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Sijų atramų reakcijos

Toliau

Sijos įlinkis

Skaičiuoklės

Skersinių jėgų ir lenkimo momentų diagramų skaičiuoklėLenkimo įtempio skaičiuoklė (σ = My/I)

Kursai su šia tema

StatikaMedžiagų mechanikaStatybinė mechanikaFE Mechanical egzamino praktikaFE Civil egzamino praktika

Daugiau temų: Statybos inžinerija

Santvara: mazgų metodasSijos įlinkisSvorio centras ir inercijos momentasKolonų klupimasEfektinis įtempis grunteKonsolidacinis nuosėdisHidrostatinė jėgaTekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Skersinė jėga ir lenkimo momentas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Skersinė jėga ir lenkimo momentasPraktikuokitės dabar: Skersinė jėga ir lenkimo momentasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.